《2022年数列知识点总结及题型归纳 2.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年数列知识点总结及题型归纳 2.pdf（6页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、数列一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作na，在数列第一个位置的项叫第1 项（或首项），在第二个位置的叫第2 项，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作na；数列的一般形式：1a，2a，3a，na，简记作na。（2）通项公式的定义：如果数列na的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如：1，2，3，4，5，：514131211，说明：na表示数列，na表示数列中的第n项，na=fn表示数列的通项公式；同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，na=(1)n=1,21()1,2nkkZn
2、k；不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，（3）数列的函数特征与图象表示：从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数()f n当自变量n从 1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),fff，()f n，通常用na来代替fn，其图象是一群孤立点。（4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1）1，2，3，4，5，6，(2)10,9,8,7,6,5,(3)1,0,1,0,1,0,(
3、4)a,a,a,a,a,（5）数列 na 的前 n 项和nS与通项na的关系：11(1)(2)nnnSnaSSn二、等差数列(一)、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为1(2)nnaad n或1(1)nnaad n例：等差数列12nan，1nnaa(二)、等差数列的通项公式：1(1)naand；说明：等差数列（通常可称为A P数列）的单调性：d0为递增数列，0d为常数列，0d为递减数列。例：1.已知等差数列na中，12497116aaaa，则，等于（）A
4、15 B30 C 31 D 64 2.na是首项11a，公差3d的等差数列，如果2005na，则序号n等于（A）667 （B）668 （C）669 （D）670 3.等差数列12,12nbnann，则na为nb为（填“递增数列”或“递减数列”）(三)、等差中项的概念：定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中2abAa，A，b成等差数列2abA即：212nnnaaa（mnmnnaaa2）例：1（06 全国 I）设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380a a a，则111 213aaa（）A120 B105C90 D75(四)、等差数列的性质：（1）在等
5、差数列na中，从第2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列na中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；（3）在等差数列na中，对任意m，nN，()nmaanm d，nmaadnm()mn；（4）在等差数列na中，若m，n，p，qN且mnpq，则mnpqaaaa；(五)、等差数列的前n和的求和公式：11()(1)22nnn aan nSnadnda）（2n2112。(),(2为常数BABnAnSnna是等差数列 )递推公式：2)(2)()1(1naanaaSmnmnn例：1.如果等差数列na中，34512aaa，那么127.aaa（A）14 （B）21 （C）28 （D）35 2
6、.（2009 湖南卷文）设nS是等差数列na的前 n 项和，已知23a，611a，则7S等于()A 13 B35 C49 D 63 3.（2009 全国卷理）设等差数列na的前n项和为nS，若972S,则249aaa=4.若一个等差数列前3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项5.已知等差数列na的前n项和为nS，若118521221aaaaS，则名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 6 页 -6.（2009 全国卷理）设等差数列na的前n项和为nS，若535aa则95SS7.
7、已知na数列是等差数列，1010a，其前 10 项的和7010S，则其公差d等于()3132BA C.31 D.328.（2009 陕西卷文）设等差数列na的前 n 项和为ns,若6312as,则na9（00 全国）设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列nSn的前n项和，求Tn。(六).对于一个等差数列：（1）若项数为偶数，设共有2n项，则S偶S奇nd；1nnSaSa奇偶；（2）若项数为奇数，设共有21n项，则S奇S偶naa中；1SnSn奇偶。1.一个等差数列共2011 项，求它的奇数项和与偶数项和之比_ 2.一个等差数列前20 项和为 75，其中奇数项
8、和与偶数项和之比1：2，求公差 d 3.一个等差数列共有10 项，其偶数项之和是15，奇数项之和是225，则它的首项与公差分别是_(七).对与一个等差数列，nnnnnSSSSS232,仍成等差数列。例：1.等差数列 an的前m项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前3m项和为（）A.130 B.170 C.210 D.260 2.一个等差数列前n项的和为48，前 2n项的和为60，则前 3n项的和为。3已知等差数列na的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，则前 110 项和为4.设nS为等差数列na的前n项和，971043014SSSS，则，=5（06 全国 II）设Sn
9、是等差数列an的前n项和，若36SS13，则612SSA310B13 C18D19(八)判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：）常数）（Nndaann(1na是等差数列中项法：)221Nnaaannn（na是等差数列通项公式法：),(为常数bkbknanna是等差数列前n项和公式法：),(2为常数BABnAnSnna是等差数列例：1.已知数列na满足21nnaa，则数列na为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列na的通项为52nan，则数列na为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断3.已知一
10、个数列na的前 n 项和422nsn，则数列na为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断4.已知一个数列na的前 n 项和22nsn，则数列na为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断5.已知一个数列na满足0212nnnaaa，则数列na为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断6.数列na满足1a=8，022124nnnaaaa，且（Nn）求数列na的通项公式；7（01 天津理，2）设Sn是数列 an的前n项和，且Sn=n2，则 an是（）A.等比数列，但不是等差数列 B.
11、等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列(九).数列最值（1）10a，0d时，nS有最大值；10a，0d时，nS有最小值；（2）nS最值的求法：若已知nS，nS的最值可求二次函数2nSanbn的最值；可用二次函数最值的求法（nN）；或者求出na中的正、负分界项，即：若已知na，则nS最值时n的值（nN）可如下确定100nnaa或100nnaa。例：1等差数列na中，12910SSa，则前项的和最大。2设等差数列na的前n项和为nS，已知001213123SSa，求出公差d的范围，指出1221SSS，中哪一个值最大，并说明理由。3（02 上海）设an（
12、nN*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论错误名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 6 页 -的是（）A.d0 B.a70 C.S9S5 D.S6与 S7均为 Sn的最大值4已知数列na的通项9998nn（Nn），则数列na的前 30 项中最大项和最小项分别是5.已知na是等差数列，其中131a，公差8d。（1）数列na从哪一项开始小于0？（2）求数列na前n项和的最大值，并求出对应n的值(十).利用11(1)(2)nnnSnaSSn求通项1.数列na的前n项和21nSn（1）试写出数列的前5 项；（2）数列na是等差数列吗？（3）你能
13、写出数列na的通项公式吗？2.设数列na的前 n 项和为 Sn=2n2，求数列na的通项公式；3.（2010 安徽文）设数列na的前 n 项和2nSn，则8a的值为（）（A）15 (B)16 (C)49 （D）64 4、2005 北京卷）数列 an 的前n项和为Sn，且a1=1，113nnaS，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数列 an 的通项公式三、等比数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(0)q，即：1na：(0)naq q(一)、递推关系与通项公式mnmn
14、nnnnqaaqaaaa推广：通项公式：递推关系：111q1 在等比数列na中,2,41qa，则na2 在等比数列na中,3712,2aq,则19_.a3.（07 重庆文）在等比数列an 中，a28，a164，则公比 q 为（）（A）2（B）3（C）4（D）8 4.在等比数列na中，22a，545a，则8a=5.在各项都为正数的等比数列na中，首项13a，前三项和为21，则345aaa（）A 33 B 72 C 84 D 189(二)、等比中项：若三个数cba,成等比数列，则称b为ca与的等比中项，且为acbacb2，注：是成等比数列的必要而不充分条件.例：1.23和23的等比中项为()()1
15、A()1B()1C()2D2.（2009 重庆卷文）设na是公差不为0 的等差数列，12a且136,a a a成等比数列，则na的前n项和nS=（）A2744nnB2533nnC2324nnD2nn(三)、等比数列的基本性质，1.（1）qpnmaaaaqpnm，则若),(Nqpnm其中（2）)(2Nnaaaaaqmnmnnmnmn，（3）na为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.（4）na既是等差数列又是等比数列na是各项不为零的常数列.例：1在等比数列na中,1a和10a是方程22510 xx的两个根,则47aa()5()2A2()2B1()2C1()2D名师资料总结-精品资料欢迎
16、下载-名师精心整理-第 3 页，共 6 页 -2.在等比数列na，已知51a，100109aa，则18a=3.等比数列na的各项为正数，且5647313231018,loglogloga aa aaaa则（）A12 B10 C8 D2+3log 54.（2009 广东卷理）已知等比数列na满足0,1,2,nan，且25252(3)nna an，则当1n时，2123221logloglognaaa（）A.(21)nn B.2(1)n C.2n D.2(1)n(四)、等比数列的前n 项和，)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn例：1.已知等比数列na的首相51a，公比2q，则其
17、前 n 项和nS2（2006 年北京卷）设4710310()22222()nf nnN，则()f n等于（）A2(81)7nB12(81)7n C32(81)7n D 42(81)7n3（1996 全国文，21）设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S62S9，求数列的公比q；(五).等比数列的前n 项和的性质若数列na是等比数列，nS是其前 n 项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等比数列.例：1.（2009 辽宁卷理）设等比数列 na的前 n 项和为nS，若63SS=3，则69SS=A.2 B.73 C.83 D.3 2.一个等比数列前n项的和为48，前 2n项的和为 60
18、，则前 3n项的和为（）A83 B108 C75 D63 3.已知数列na是等比数列，且mmmSSS323010，则，(六)、等比数列的判定法（1）定义法：（常数）qaann 1na为等比数列；（2）中项法：)0(221nnnnaaaana为等比数列；（3）通项公式法：为常数）qkqkann,(na为等比数列；（4）前n项和法：为常数）（qkqkSnn,)1(na为等比数列。为常数）（qkkqkSnn,na为等比数列。例：1.已知数列na的通项为nna2，则数列na为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断2.已知数列na满足)0(221nnnnaaaa，
19、则数列na为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断3.已知一个数列na的前 n 项和1n22ns，则数列na为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断四、求数列通项公式方法（1）公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1 已知等差数列na满足：26,7753aaa，求na；2.等比数列na的各项均为正数，且13221aa，62239aaa，求数列na的通项公式3.已知数列na满足2122142nnnaaaaa且，（Nn），求数列na的通项公式；4.已知数列na满足，21a且1152(5)nnnnaa（N
20、n），求数列na的通项公式；5.数列已知数列na满足111,41(1).2nnaaan则数列na的通项公式=（2）累加法1、累加法适用于：1()nnaaf n名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 6 页 -若1()nnaaf n(2)n，则21321(1)(2)()nnaafaafaaf n两边分别相加得111()nnkaaf n例：1.已知数列na满足141,21211naaann，求数列na的通项公式。2.已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。3.已知数列na满足112 313nnnaaa，求数列na的通项公式。（3）累乘法适用于：1()nn
21、af n a若1()nnaf na，则31212(1)(2)()nnaaafff naaa，两边分别相乘得，1111()nnkaaf ka例：1.已知数列na满足112(1)53nnnanaa，求数列na的通项公式。2.已知数列na满足321a，nnanna11，求na。3.已知31a，nnanna23131)1(n，求na。（4）待定系数法适用于1()nnaqaf n例：1.已知数列na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。2.（2006，重 庆,文,14）在 数 列na中，若111,23(1)nnaaan，则 该 数 列 的 通 项na_ 3.已知数列na满足*111,
22、21().nnaaanN求数列na的通项公式；（5）递推公式中既有nS分析：把已知关系通过11,1,2nnnS naSSn转化为数列na或nS的递推关系，然后采用相应的方法求解。1.（2005 北京卷）数列 an的前n项和为Sn，且a1=1，113nnaS，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数列 an 的通项公式2.（2005 山东卷）已知数列na的首项15,a前n项和为nS，且*15()nnSSnnN，证明数列1na是等比数列(6)取倒数法。五、数列求和1直接用等差、等比数列的求和公式求和。dnnnaaanSnn2)1(2)(11)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn公比含字母时
23、一定要讨论名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 6 页 -2错位相减法求和：如：.,2211的和求等比等差nnnnbabababa例：1求和21123nnSxxnx2.求和：nnanaaaS323213裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项：111)1(1nnnn)121121(21)12)(12(1nnnn)211(21)2(1nnnn)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnn!)!1(!nnnn)!1(1!1)!1(nnnn数列na是等差数列，数列11nnaa的前n项和例：1.数列na的前n项和为nS，若1(1)nan n，则5S等于（）A1 B56 C16 D1302.已知数列na的通项公式为1(1)nan n，求前n项的和；4.已知数列na的通项公式为na12n，设13242111nnnTaaaaaa，求nT5求)(,32114321132112111*Nnn。3.已知等差数列na满足02a,1086aa.(1)求数列na的通项公式及nS（2）求数列21nna的前 n 项和7.已知等差数列na满足：26,7753aaa，na的前 n 项和nS（1）求na及nS（2）令112nnab（Nn），求数列nb前 n 项和nT名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 6 页 -