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1、饶平二中 20102011 学年度高三理科数学试卷（2）2010.8.10 第 1 页 共 12 页饶平二中 20102011 学年度高三理科数学试卷（2）一、填空题 ( 本题 4 小题，每小题5 分，共 20 分) 1复数22)1 (ii= 2黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第 n 个图案中有白色地面砖块。3若不等式121axx对一切非零实数x均成立 , 则实数a的最大值是 _ _ ；4已知关于x的不等式12011xaxa（a是常数）的解是非空集合，则a的取值范围是二、解答题 ( 本题共 6 小题，第 5，6 小题每题12 分，第 7 至第 10 小题每题14 分，
2、共 80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 5在ABC中，已知222abcab，且sin()2cossinABAB，(1) 求C的大小 ; (2) 证明ABC是等边三角形. 第 1 个第 2 个第 3 个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页饶平二中 20102011 学年度高三理科数学试卷（2）2010.8.10 第 2 页 共 12 页6先阅读以下不等式的证明, 再类比解决后面的问题：若123123,1aaaR aaa, 则22212313aaa. 证明 : 构造二次函数222123( )()()()0,
3、f xxaxaxa将( )f x 展开得：2222123123( )32()f xxaaaxaaa222212332xxaaaQ对一切实数x恒有( )0f x，且抛物线的开口向上222123412()0aaa，22212313aaa（1）类比猜想：若1212,1nna aaR aaaLL, 则22212naaaL（在横线上填写你的猜想结论）（2）证明你的猜想结论7某社区举办2010 年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有10 张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案，参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖（）
4、活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是152，求抽奖者获奖的概率；（）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用表示获奖的人数，求的分布列及E精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页饶平二中 20102011 学年度高三理科数学试卷（2）2010.8.10 第 3 页 共 12 页8把边长为a的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器( 不计接缝 ) ，设容器的高为x，容积为( )V x. （
5、）写出函数( )V x的解析式，并求出函数的定义域；（）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积. 9 （本小题满分14 分）已知数列na满足：11a，且对任意nN*都有121111112()nnnaaaaaL（1） 求2a ，3a 的值 , 猜想数列na的通项公式；（2） 证明你的猜想；（3）证明：12231nna aa aa aL=1nnaa（nN*）. 10. 已知函数1lnxfxxax(0)a（1）求函数( )f x的极值点；（2）当1a时，求fx在1,22上的最大值和最小值；（3）当1a时，求证对大于1的任意正整数n，1111ln234nnL精选学习资料 - - - - - -
6、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页饶平二中 20102011 学年度高三理科数学试卷（2）2010.8.10 第 4 页 共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页饶平二中 20102011 学年度高三理科数学试卷（2）2010.8.10 第 5 页 共 12 页饶平二中 20102011 学年度高三理科数学试卷（2）答题卷姓名： _ 座号： _班级： _ 成绩： _ 一、 填空题 :( 本题 4 小题，每小题5 分，共 20 分 ) 1. _ 2. _ 3. _ 4
7、. _ 二、解答题 ( 本题共 6 小题，第 5，6 小题每题12 分，第 7 至第 10 小题每题14 分，共 80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 5. 解：6. 解：（1） 若1212,1nna aaR aaaLL, 则22212naaaL（ 2）证明：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页饶平二中 20102011 学年度高三理科数学试卷（2）2010.8.10 第 6 页 共 12 页7. 解：8. 解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
8、6 页，共 12 页饶平二中 20102011 学年度高三理科数学试卷（2）2010.8.10 第 7 页 共 12 页9. 解: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页饶平二中 20102011 学年度高三理科数学试卷（2）2010.8.10 第 8 页 共 12 页10. 解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页饶平二中 20102011 学年度高三理科数学试卷（2）2010.8.10 第 9 页 共 12 页饶平二中 20102011
9、学年度高三理科数学试卷（1）参考答案二、解答题 ( 本题共 6 小题，第 5，6 小题每题12 分，第 7 至第 10 小题每题14 分，共 80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 一、填空题 ( 本题 4 小题，每小题5 分，共 20 分) 1. 2.3. 3 4. )1004,(二、 解答题 ( 本题共 6 小题，第5，6 小题每题12 分，第 7 至第 10 小题每题14 分，共 80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 5、解 : (1) 222abcabQ, 由余弦定理，得2221cos22abcCab -3分又C为ABC的内角，60Co. -4分 (2)sin()
10、2cossinABABQ，2cossinsin()ABAB2cossinsincoscossinABABAB，6分sin()0AB8分,A B为ABC的内角，AB10分又60Co，ABC是等边三角形. -12分另证：sin()sin2cossinsinABCABBQ， -5分由余弦定理和正弦定理，得222bcacbcb， -8分整理得，ab.-10分又60Co，ABC是等边三角形. -12分6解：（1）222121naaanL4 分（2）证明 : 构造二次函数22212( )()()()0nfxxaxaxaL 6 分22221212( )2()nnf xnxaaaxaaaLL 8 分22221
11、22()nnxxaaaL 9 分Q对一切实数x恒有( )0f x，且抛物线的开口向上 10 分2221244 ()0nn aaaL 11 分即222121naaanL. 12 分7、解：（1）设“世博会会徽”卡有n张，由2210nCC=152，得n=4.3 分故“海宝”卡有6 张，抽奖者获奖的概率为3121026CC5分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页饶平二中 20102011 学年度高三理科数学试卷（2）2010.8.10 第 10 页 共 12 页（2）可能取的值为0， 1，2，3，4，则. .6分8116)
12、32()0(4P8132)32(31) 1(314CP8124)32()31()2(2224CP81832)31()3(314CP811)31()4(4P9分0 1 2 3 4 P811681328124818811 .10分E08116+18132+28124+3818+4811=348110812 分法二（ 1）设“海宝”卡有n张，由152210210CCn得078192nnn=6 或 n=13（舍去） 3分故“海宝”卡有6 张，抽奖者获奖的概率为3121026CC5分（2）)31,4( B.6分)4,3 ,2, 1 ,0()32()31()(44kCkPkkk0 1 2 3 4 P811
13、681328124818811 .10分E34314np8解： （） 因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为(2 3 )ax-1分. 则23( )(2 3 )4V xaxx。函数的定义域为3(0,)6a. - 4分（）实际问题归结为求函数( )V x在区间3(0,)6a上的最大值点. 先求( )V x的极值点 . 在开区间3(0,)6a内，223( )9 364Vxxaxa-6分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页饶平二中 20102011 学年度高三理科数学试卷（2）2010.8.10 第 11 页
14、共 12 页令( )0Vx，即令2239 3604xaxa，解得1233,(186xa xa 舍去 ). 因为1318xa在区间3(0,)6a内，1x可能是极值点. 当10 xx时，( )0Vx；当136xxa时，( )0Vx. -8分因此1x是极大值点，且在区间3(0,)6a内，1x是唯一的极值点，所以1318xxa是( )V x的最大值点，并且最大值331()1854faa即当正三棱柱形容器高为318a时，容器的容积最大为3154a.-10分9 （本小题满分14 分，其中（ 1）题 3 分， （2）题 7 分， （3）题 4 分）解： （ 1）依题意可得，12111112nnnaaaa a
15、L211211aaa得412a32212111aaaa得913a 2 分猜想数列na的通项公式为2.1nan 3分（2）当2n时，12121111nnnaaaaannnaaaaa112121111 得：nnnnnaaaaa1121211 5 分21111nnaa数列1,1212nnaa皆为等差数列 7 分122)1(11112nnaannnaan22) 1(1122 9 分综上，nan1，2.1nan 10 分（3）13221nnaaaaaa)1(1321211nn11131212111nn111n1nn 13 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
16、- - -第 11 页，共 12 页饶平二中 20102011 学年度高三理科数学试卷（2）2010.8.10 第 12 页 共 12 页1)1(221nnnnaann等式成立 . 14 分10（1） 对函数求导得：21( )0axfxaax， 定义域为(0,)， 依题意得：210axax，函数( )f x的极小值点为1xa（）当1a时，21( )xfxx，在1,22，若1,12x，则0fx，若1,2x则0fx， 故1x是函数fx在区间1,22上的唯一的极小值点，也就是最小值点，故min10fxf；313lnln1622ln 2222eff， 因为332.719.68316e，所以1202ff， 即122ff， 即函数fx在区间1,22上最大值是12f 综上知函数fx在区间1,22上最大值是1ln2，最小值是0（）当1a时，由（）知，函数1lnxfxxx在1,上为增函数当1n时令1nxn，则1x，故10fxf，即111lnln01111nnnnnfnnnnnn，即1ln1nnn故21ln12，31ln23，1ln1nnn，相加得23111lnlnln12123nnnLL，而232 3lnlnlnlnln1211 21nnnnnLL，即1111ln234nnL精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页