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1、- 1 - 圆的一般方程一、教学目标( 一) 知识教学点使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程( 二) 能力训练点使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力( 三) 学科渗透点通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础二、教材分析1重点： (1) 能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径； ( 2) 能用待定系数法，由已知条件导出圆的方
2、程( 解决方法： (1) 要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法； (2) 加强这方面题型训练) 2难点：圆的一般方程的特点( 解决方法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆) 3疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F0( 解决方法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件) 三、活动设计讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板四、教学过程( 一) 复习引入新课精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页- 2 - 前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现
3、将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0 可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0 的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题复习引出课题为“圆的一般方程”( 二) 圆的一般方程的定义1分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 左边配方得：(1) (1) 当 D2+E2-4F0 时，方程 (1) 与标准方程比较，可以看出方程半径的圆；(3) 当 D2+E2-4F0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形这时，教师引导
4、学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法2圆的一般方程的定义当 D2+E2-4F 0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 称为圆的一般方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页- 3 - ( 三) 圆的一般方程的特点请同学们分析以下问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 (2) 与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0， (D2+E2-4F0)(3) 的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 具有条
5、件：(1)x2和 y2 的系数相同，不等于零，即A=C 0；(2) 没有 xy 项，即 B=0；(3)D2+E2-4AF 0它才表示圆条件(3) 通过将方程同除以A或 C配方不难得出教师还要强调指出：(1) 条件 (1) 、(2) 是二元二次方程(2) 表示 圆的必要条件，但不是充分条件；(2) 条件 (1) 、(2) 和(3) 合起来是二元二次方程(2) 表示圆的充要条件( 四) 应 用与举例同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 也含有三个系数D、E、F，因此必具备三个独立的条件，才能确定一个圆下面看一看它们的应用例 1 求以下圆的半径和圆心
6、坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0 此例由学生演板，教师纠错，并给出正确答案：(1) 圆心为 (4，-3) ，半径为5；(2) 圆心为(0 ，-b) ，半径为 |b| ，注意半径不为b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页- 4 - 同时强调：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握例 2 求过三点O(0，0) 、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由 O、A、B在圆上，则有解得： D=-8，E=6，F=0，故所求圆的
7、方程为x2+y2-8x+6=0 例 2 小结：1用待定系数法求圆的方程的步骤：(1) 根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；(2) 根 据条件列出关于a、b、r 或 D、E、F 的方程；(3) 解方程组，求出a、b、r 或 D、E 、 F的值，代入所设方程，就得要求的方程2关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程再看下例：例 3 求圆心在直线 l ：x+y=0 上，且过两圆C1x2+y2-2x+10y-24=0和 C2x2+y
8、2+2x+2y-8=0 的交点的圆的方程(0 ，2) 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l 上所以得方程组为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页- 5 - 故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10这时，教师指出：(1) 由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆 的标准方程(2) 此题也可以用圆系方程来解：设所求圆的方程为：x2+ y2-2x+10y-24+(x2+y2+2x+2y-8)=0( -1) 整理并配方得：由圆心在直线
9、l 上得 =-2将 = -2 代入所假设的方程便可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0 此法到圆与圆的位置关系中再介绍，此处为学生留下悬念的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线此例请两位学生演板，教师巡视，并提示学生：(1) 由于曲线表示的图形未知，所以只能用轨迹法求曲线方程，设曲线上任一点M(x，y) ，由求曲线方程的一般步骤可求得；(2) 应将圆的一般方程配方成标准方程，进而得出圆心坐标、半径，画出图形( 五) 小结1圆的一般方程的定义及特点；2用配方法求出圆的圆心坐标和半径；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共
10、7 页- 6 - 3用待定系数法，导出圆的方程五、布置作业1求以下各圆的一般方程：(1) 过点 A(5， 1)，圆心在点C(8， -3) ；(2) 过三点 A(-1 ，5) 、 B(5，5) 、C(6， -2) 2求经过两圆x2+y2+6x-4=0 和 x2+y2+6y-28=0 的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程3等腰三角形的顶点是A(4，2) ，底边一个端点是B(3，5) ，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么4A、B、 C为已知直线上的三个定点，动点P不在此 直线上，且使APB= BPC ，求动点 P的轨迹作业答案：1(1)x2+y2-16x+6y+48=0 (2)
11、x2+y2-4x-2y-20=0 2x2+y2-x+7y-32=0 3所求的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+10=0(x3，x5) ，轨迹是以4以 B为原点，直线ABC为 x 轴建立直角坐标系，令A(-a ，0) ，C(c，0)(a 0，c 0)，P(x， y) ，可得方程为：(a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0当 a=c 时，则得x=0(y 0)，即 y 轴去掉原点；当ac 时，则得 (x- 与 x 轴的两个交点六板书设计精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页- 7 - 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页