2022年高考真题：函数与导数解答题教师版 .pdf

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1、学习必备欢迎下载高考真题：函数与导数解答题（文科）教师版1设函数2,fxxaxb a bR.（ 1）当214ab时，求函数fx在1,1上的最小值g a的表达式；（ 2）已知函数fx在1,1上存在零点，021ba，求b的取值范围 .【来源】 20XX年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷带解析）试题解析：（1）当214ab时，212afxx，故其对称轴为2ax. 当2a时，2124ag afa. 当22a时，12ag af. 当2a时，2124ag afa. 综上，222,2,41, 22,2,24aaag aaaaa（ 2）设, s t为方程0fx的解，且11t，则stastb. 由于

2、021ba，因此2121122ttsttt. 当01t时，222222tttbtt，由于222032tt和21294 532ttt，所以294 53b. 当10t时，222222tttbtt，由于22202tt和2302ttt，所以30b. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页学习必备欢迎下载综上可知，b的取值范围是3,94 5. 考点： 1.函数的单调性与最值；2.分段函数； 3.不等式性质； 4.分类讨论思想. 视频2 （本小题满分12 分）设函数2lnxfxeax.（）讨论fx的导函数fx的零点的个数；（）证明

3、：当0a时22lnfxaaa.【来源】 20XX年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标带解析）试题解析：（）fx的定义域为0 +，2=2(0)xafxexx. 当0a时, 0fx，fx没有零点；当0a时，因为2 xe单调递增，ax单调递增，所以fx在0 +，单调递增 .又0fa,当 b 满足04ab且14b时，0fb,故当0a时，fx存在唯一零点 . （）由 （）， 可设fx在0 +，的唯一零点为0 x，当00 xx，时，0fx; 当0+xx ，时，0fx. 故fx在00 x，单调递减，在0+x ，单调递增，所以当0 xx时，fx取得最小值，最小值为0fx. 由于0202=0 xaex

4、，所以00022=2ln2ln2afxaxaaaxaa. 故当0a时，22lnfxaaa. 3设函数，xR，其中,a bR.（）求的单调区间；（） 若存在极值点，且，其中，求证：；（）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.【来源】 20XX年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷精编版）试题解析： （）解：由3fxxaxb，可得23fxxa，下面分两种情况精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 21 页学习必备欢迎下载讨论：（ 1）当0a时，有230fxxa恒成立，所以fx的单调递增区间为,. （ 2）当0a时，令0fx

5、，解得33ax或33ax. 当x变化时，fx，fx的变化情况如下表：x3,3a33a33,33aa33a3,3afx00 fx单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以fx的单调递减区间为33,33aa，单调递增区间为3,3a，3,3a. （）证明：因为fx存在极值点，所以由（）知0a且00 x. 由题意，得20030fxxa，即203ax，进而3000023afxxaxbxb，又3000000082282233aafxxaxbxaxbxbfx，且002xx，由题意及 （）知，存在唯一实数1x满足10fxfx，且10 xx，因此102xx，所以10+2=0 xx. （）证明：设在区间1,1上的最

6、大值为M，max, x y表示x，y两数的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页学习必备欢迎下载最大值，下面分三种情况讨论：（ 1）当3a时，331133aa，由（）知，fx在区间1,1上单调递减，所以fx在区间1,1上的取值范围为1 ,1ff，因此，max |1 |,|1 |max 1,1Mffababmax1,1abab1+ ,0,1,0,ab bab b所以12Mab. （ 2）当334a时，2 3332 3113333aaaa，由（）和（）知2 33133aafff，2 33133aafff，所以fx在区间1,

7、1上的取值范围为33,33aaff，因此 M= 3322max,max3,33399aaaaffabab2222331max3,3339999444aaaababab. （ 3）当304a时，2 32 31133aa，由（）和（）知，2 33133aafff，2 33133aafff，所以fx在区间1,1上的取值范围为1 ,1ff，因此，max |1 |,|1 |max1, 1Mffababmax 1, 1abab114ab. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 21 页学习必备欢迎下载综上所述，当0a时，在区间1,1上的最

8、大值不小于14. 2.由函数 f （x） 在 （a， b） 上的单调性，求参数范围问题， 可转化为0fx（或0fx）恒成立问题，要注意“ ” 是否可以取到视频4设函数32.fxxaxbxc（）求曲线yfx在点0,0f处的切线方程；（）设4ab，若函数fx有三个不同零点，求c的取值范围；（）求证：230ab是fx有三个不同零点的必要而不充分条件.【来源】 20XX年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版）试题解析：（）由32fxxaxbxc，得232fxxaxb因为0fc，0fb，所以曲线yfx在点0,0f处的切线方程为ybxc（）当4ab时，3244fxxxxc，所以2384fxx

9、x令0fx，得23840 xx，解得2x或23xfx与fx在区间,上的情况如下：x, 2222,3232,3fx00fxc3227c所以，当0c且32027c时，存在14, 2x，222,3x，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 21 页学习必备欢迎下载32,03x，使得1230fxfxfx由fx的单调性知，当且仅当320,27c时，函数3244fxxxxc有三个不同零点（）当24120ab时，2320fxxaxb，,x，此时函数fx在区间,上单调递增，所以fx不可能有三个不同零点当24120ab时，232fxxaxb只有一

10、个零点，记作0 x当0,xx时，0fx，fx在区间0, x上单调递增；当0,xx时，0fx，fx在区间0,x上单调递增所以fx不可能有三个不同零点综上所述，若函数fx有三个不同零点，则必有24120ab故230ab是fx有三个不同零点的必要条件当4ab，0c时，230ab，232442fxxxxx x只有两个不同零点，所以230ab不是fx有三个不同零点的充分条件因此230ab是fx有三个不同零点的必要而不充分条件5设函数( )ln1f xxx（）讨论( )f x的单调性；（）证明当(1,)x时，11lnxxx；（）设1c，证明当(0,1)x时，1(1)xcxc.【来源】 20XX年全国普通高

11、等学校招生统一考试文科数学（新课标3 卷精编版）试题解析：（）由题设，( )f x的定义域为(0,)，1( )1fxx，令( )0fx，解得1x.当01x时，( )0fx，( )f x单调递增；当1x时，( )0fx，( )f x单调递减 .（）由（）知，( )f x在1x处取得最大值，最大值为(1)0f.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 21 页学习必备欢迎下载所以当1x时，ln1xx.故当(1,)x时，ln1xx，11ln1xx，即11lnxxx. （）由题设1c， 设( ) 1 (1 )xgxcx c， 则( )1l

12、 nxg xccc， 令()0g x，解得01lnlnlnccxc.当0 xx时，( )0g x，( )g x单调递增；当0 xx时，( )0g x，( )g x单调递减 . 由 （）知，11lnccc， 故001x， 又( 0 )( 1 ) 0gg， 故当01x时，( )0g x.所以当(0,1)x时，1(1)xcxc.6已知函数221xfxxea x.（）讨论fx的单调性；（）若fx有两个零点，求a的取值范围 .【来源】 20XX年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1 卷精编版）试题解析：（）12112.xxfxxea xxea（）设0a，则当,1x时，0fx；当1,x时，0fx

13、. 所以 f（x）在,1单调递减，在1,单调递增 . （）设0a，由0fx得 x=1 或 x=ln（ -2a）. 若2ea，则1xfxxee，所以fx在,单调递增 . 若2ea，则 ln（-2a） 1,故当,ln21,xa时，0fx；当ln2,1xa时，0fx，所以fx在,ln2, 1,a单调递增，在ln2,1a单调递减 . 若2ea，则21lna，故当,1ln2,xa时，0fx，当1,ln2xa时，0fx，所以fx在,1 , ln2,a单调递增，在1,ln2a单调递减 . （）（）设0a，则由（）知，fx在,1单调递减，在1,单调递增 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名

14、师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 21 页学习必备欢迎下载又12fefa，取 b 满足 b0 且ln2ab，则22321022afbba ba bb，所以fx有两个零点 . （）设a=0，则2xfxxe，所以fx只有一个零点. （ iii）设 a 0，若2ea，则由（）知，fx在1,单调递增 . 又当1x时，fx0， 故fx不存在两个零点； 若2ea， 则由（）知，fx在1,ln2a单调递减， 在ln2,a单调递增 .又当1x时fx0， 故fx不存在两个零点. 综上， a 的取值范围为0,. 7已知函数.（ I）当时，求曲线在处的切线方程；（）若当时，求的取值范围 .试题解

15、析：（I）的定义域为.当时，曲线在处的切线方程为（ II）当时，等价于设，则，（ i） 当，时， 故在上单调递增，因此；（ ii）当时，令得. 由和得，故当时，在单调递减，因此. 综上，的取值范围是8已知函数（）求曲线在点处的切线方程；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 21 页学习必备欢迎下载（）求函数在区间上的最大值和最小值【来源】 20XX年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版）试题解析：（）因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（ ） 设， 则.当时，所以在区间上单调递减 .所以对任意有，即.

16、所以函数在区间上单调递减 .因 此在 区 间上 的 最 大 值为， 最 小 值 为. 9 已 知 函 数3211,32fxxaxaR.(I) 当a=2 时, 求曲线yfx在点3,3f处的切线方程；(II)设函数cossing xfxxaxx,z.x.x.k讨论g x的单调性并判断有无极值 , 有极值时求出极值.【来源】 20XX年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版）试题解析：（）由题意2fxxax，所以，当2a时，30f，22fxxx，所以33f，因此，曲线yfx在点3,3f处的切线方程是33yx，即390 xy.（）因为cossing xfxxaxx，所以cossincosg

17、xfxxxaxx，sinx xaxaxsinxaxx，令sinh xxx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 21 页学习必备欢迎下载则1cos0h xx，所以h x在R上单调递增，因为00h，所以，当0 x时，0h x；当0 x时，0h x.（ 1）当0a时，singxxaxx，当,xa时，0 xa，0gx，g x单调递增；当,0 xa时，0 xa，0gx，g x单调递减；当0,x时，0 xa，0gx，g x单调递增 .所以当xa时g x取到极大值，极大值是31sin6g aaa，当0 x时g x取到极小值，极小值是0ga

18、.（ 2）当0a时，singxx xx，当,x时，0gx，g x单调递增；所以g x在,上单调递增，g x无极大值也无极小值.（ 3）当0a时，singxxaxx，当,0 x时，0 xa，0gx，g x单调递增；当0,xa时，0 xa，0gx，g x单调递减；当,xa时，0 xa，0gx，g x单调递增 .所以当0 x时g x取到极大值，极大值是0ga；当xa时g x取到极小值，极小值是31sin6g aaa.综上所述：当0a时，函数g x在,a和0,上单调递增，在,0a上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是31sin6g aaa，极小值是0ga；当0a时，函数g x在,上单调递增，

19、无极值；当0a时，函数g x在,0和,a上单调递增，在0,a上单调递减，函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页学习必备欢迎下载既有极大值，又有极小值，极大值是0ga，极小值是31sin6g aaa.10设，. 已知函数，.（）求的单调区间；（）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（ i ）求证：在处的导数等于0；（ ii ）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围 .【来源】 20XX年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷精编版）试题解析：（I ）由，可得，令，解得，或. 由，得.

20、当变化时，的变化情况如下表：所以，的单调递增区间为，单调递减区间为.（ II ） （i ）因为，由题意知，所以，解得.所以，在处的导数等于0.（ ii ）因为，由，可得.又因为，故为的极大值点，由（I ）知.另一方面，由于，故，由（ I ）知在内单调递增，在内单调递减，故 当时 ，在上 恒 成 立 ， 从 而在上恒成立 .由，得，.令，所以，令，解得（舍去），或.因为，故的值域为.所以，的取值范围是.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 21 页学习必备欢迎下载11设函数21xfxxe.（ I ）讨论函数fx的单调性；（ I

21、I ）当0 x时，1fxax，求实数a的取值范围 .【来源】 20XX年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2 卷精编版）【 答 案 】（ I ） 函 数fx在,21和21,+上 单 调 递 减 ， 在21,21上单调递增 .（ II ）1,.【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符 号 确 定 单 调 区 间 ；（ 2 ） 对a分 类 讨 论 ， 当a1时 ，11e11xfxxxxax， 满 足 条 件 ； 当0a时 ， 取20000051,11112xfxxxax， 当0 a 1时 ， 取05412ax，20000111fxxxax.试题解析：解（ 1

22、）f (x)=(1-2x-x2)ex令f (x)=0 得x=-1-2，x=-1+2当x（ - ， -1-2）时，f (x)0；当x（ -1-2，+）时，f (x)1 时，=0，解得 x1=，x2=易得， g(x)在(- ，x1)上单调递增，在x1， x2上单调递减，在(x2，+) 上单调递增g(x)的极大值g(x1)=g()=0g(x)的极小值g(x2)=g()=-若 g(x2) 0，由 g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点，不合题意若即， 也就是， 此时，且，从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意所以，的取值范围是点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值 )最有

23、效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 21 页学习必备欢迎下载14设函数.（）若曲线在点处的切线斜率为0，求 a；（）若在处取得极小值，求a的取值范围 .【来源】 2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷）【答案】 （）（）【解析】 分析：（1）求导，构建等量关系，解方程可得参数的值；（ 2） 对分及两种情况进行分类讨论，通过研究的变化情况可得取得极值的可能，进而可求参数的取值范围 .详解：解： （）因为

24、，所以.，由题设知，即，解得.（）方法一：由（）得.若 a1，则当时，；当时，.所以在 x=1 处取得极小值 .若，则当时，所以.所以 1 不是的极小值点 .综上可知， a 的取值范围是.方法二：.（ 1）当 a=0 时，令得 x=1.随 x 的变化情况如下表：x1+0-极大值在 x=1 处取得极大值，不合题意.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 21 页学习必备欢迎下载（ 2）当 a0 时，令得.当，即 a=1 时，在上单调递增，无极值，不合题意.当，即 0a1 时，随 x 的变化情况如下表：x+0-0+极大值极小值在

25、x=1 处取得极小值，即a1 满足题意 .（ 3）当 a0 时，令得.随 x 的变化情况如下表：x-0+0-极小值极大值在 x=1 处取得极大值，不合题意.综上所述， a 的取值范围为.点睛：导数类问题是高考数学中的必考题，也是压轴题，主要考查的形式有以下四个：考查导数的几何意义，涉及求曲线切线方程的问题；利用导数证明函数单调性或求单调区间问题；利用导数求函数的极值最值问题；关于不等式的恒成立问题.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 21 页学习必备欢迎下载解题时需要注意的有以下两个方面：在求切线方程问题时，注意区别在某一

26、点和过某一点解题步骤的不同；在研究单调性及极值最值问题时常常会涉及到分类讨论的思想，要做到不重不漏； 不等式的恒成立问题属于高考中的难点，要注意问题转换的等价性.15 （2018 年新课标I 卷文）已知函数（ 1）设是的极值点求，并求的单调区间；（ 2）证明：当时，【来源】 2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）详解：（1）f（ x）的定义域为，f （x）=aex由题设知， f （2）=0，所以 a=从而 f（x）=，f （x）=当 0 x2 时， f （x）2 时， f （x）0所以 f（x）在（ 0，2）单调递减，在（2，+）单调递增（ 2）当 a时， f（x）设

27、 g（ x）=，则当 0 x1 时， g （x）1 时， g （x）0所以 x=1是 g（x）的最小值点故当 x0 时， g（x） g（1）=0因此，当时，点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果 .16 （2018 年全国卷文）已知函数（ 1）求曲线在点处的切线方程；（ 2）证明：当时，【来源】 2018 年全国卷文数高

28、考试题文档版详解：（1），因此曲线在点处的切线方程是（ 2）当时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 21 页学习必备欢迎下载令，则当时，单调递减；当时，单调递增；所以因此点睛：本题考查函数与导数的综合应用，由导数的几何意义可求出切线方程，第二问当时，（）,令，将问题转化为证明很关键，本题难度较大。17 （题文）已知函数（ 1）若，求的单调区间；（ 2）证明：只有一个零点【来源】 2018 年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II ）分析：（1）将代入，求导得，令求得增区间，令求得减区间；（2）令，即，则将问题转化为

29、函数只有一个零点问题，研究函数单调性可得 .详解：（ 1）当 a=3 时， f（x） =，f （x）=令 f （x）=0 解得 x=或 x=当 x（ ，）（，+）时， f （x）0；当 x（，）时， f （x）0故 f（ x）在（ ，），（，+）单调递增，在（，）单调递减（ 2）由于，所以等价于设=，则 g （x）=0 ，仅当 x=0 时 g （ x）=0，所以 g（x）在（ ，+）单调递增故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点又 f（3a 1）=， f（3a+1）=，故 f（x）有一个零点综上， f（x）只有一个零点二、填空题18 （ 本 小 题 满 分14分 ） 设,a bR

30、，| 1a. 学 & 科 网 已 知 函 数32( )63 (4)f xxxa axb，( )e( )xg xf x .（）求( )f x 的单调区间；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 21 页学习必备欢迎下载（）已知函数( )yg x 和exy的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（ i ）求证：( )f x 在0 xx 处的导数等于0；（ ii ）若关于x 的不等式( )exg x在区间001,1xx上恒成立，求b的取值范围 .【来源】 20XX年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷正式版）【答案】 （

31、1）递增区间为(, )a，(4,)a，递减区间为(),4aa.（ 2） （）( )f x在0 xx处的导数等于0. （）b的取值范围是 7 ,1.【解析】（ I）由324( )63 ()fxxaxxab，可得2( )3123 ()3()(44)f xxaxaa xxa，令( )0f x，解得xa，或4xa. 由| 1a，得4aa.当x变化时，( )f x，( )f x的变化情况如下表：x(, )a(),4aa(4,)a( )f x( )f x所以，( )f x的单调递增区间为(, )a，(4,)a，单调递减区间为(),4aa.（ II ） （i ）因为( )e ( )( )xxxgff x，由

32、题意知0000()e()exxxxgg，所以0000000()eee ()()exxxxfffxxx，解得00()1()0fxxf.所以，( )f x在0 xx处的导数等于0.（ ii ）因为( )exg x，0011,xxx，由e0 x，可得( )1f x.又因为0()1fx，0()0f x，学 . 科网故0 x为( )f x的极大值点，由（I ）知0 xa.另一方面，由于| 1a，故14aa，由（ I ）知( )f x在(, )1aa内单调递增，在(),1a a内单调递减，故 当0 xa时 ，( )( )1ffxa在1,1aa上 恒 成 立 ， 从 而()exg x在00,11xx上恒成立 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页学习必备欢迎下载由32( )63 ()14aafaaaab，得32261baa，11a。令32( )261t xxx， 1,1x，所以2( )612t xxx，令( )0t x，解得2x（舍去），或0 x.因为( 1)7t，(1)3t，(0)1t，故( )t x的值域为 7 ,1.所以，b的取值范围是 7 ,1.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页