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1、精选优质文档-倾情为你奉上2016-2018年高考真题解答题专项训练:函数与导数(理科)教师版1已知函数, ,其中a>1.(I)求函数的单调区间;(II)若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行,证明;(III)证明当时,存在直线l,使l是曲线的切线,也是曲线的切线.【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(天津卷)【解析】分析:(I)由题意可得.令,解得x=0.据此可得函数的单调递减区间,单调递增区间为.(II)曲线在点处的切线斜率为.曲线在点处的切线斜率为.原问题等价于.两边取对数可得.(III)由题意可得两条切线方程分别为l1: .l2: .则原问题等价于当时,存在
2、, ,使得l1和l2重合.转化为当时,关于x1的方程存在实数解,构造函数,令,结合函数的性质可知存在唯一的x0,且x0>0,使得,据此可证得存在实数t,使得,则题中的结论成立.详解:(I)由已知, ,有.令,解得x=0.由a>1,可知当x变化时, , 的变化情况如下表:x00+极小值所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为.(II)由,可得曲线在点处的切线斜率为.由,可得曲线在点处的切线斜率为.因为这两条切线平行,故有,即.两边取以a为底的对数,得,所以.(III)曲线在点处的切线l1: .曲线在点处的切线l2: .要证明当时,存在直线l,使l是曲线的切线,也是曲线的切线,只需证明
3、当时,存在, ,使得l1和l2重合.即只需证明当时,方程组有解,由得,代入,得. 因此,只需证明当时,关于x1的方程存在实数解.设函数,即要证明当时,函数存在零点.,可知时, ;时, 单调递减,又, ,故存在唯一的x0,且x0>0,使得,即.由此可得在上单调递增,在上单调递减. 在处取得极大值.因为,故,所以.下面证明存在实数t,使得.由(I)可得,当时,有,所以存在实数t,使得因此,当时,存在,使得.所以,当时,存在直线l,使l是曲线的切线,也是曲线的切线.2设函数f(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex(1)若曲线y=fx在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a;(2)若f
4、(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(北京卷)详解:解:()因为f(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex,所以f (x)=2ax(4a+1)ex+ax2(4a+1)x+4a+3ex(xR)=ax2(2a+1)x+2exf (1)=(1a)e由题设知f (1)=0,即(1a)e=0,解得a=1此时f (1)=3e0所以a的值为1()由()得f (x)=ax2(2a+1)x+2ex=(ax1)(x2)ex若a>12,则当x(1a,2)时,f (x)<0;当x(2,+)时,f (x)>0所以f (x)<0在x=
5、2处取得极小值若a12,则当x(0,2)时,x2<0,ax112x1<0,所以f (x)>0所以2不是f (x)的极小值点综上可知,a的取值范围是(12,+)3已知函数f(x)=1x-x+alnx(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:fx1-fx2x1-x2<a-2【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标I卷)详解:(1)f(x)的定义域为(0,+),f'(x)=-1x2-1+ax=-x2-ax+1x2.(i)若a2,则f'(x)0,当且仅当a=2,x=1时f'(x)=0,所以f(x)在
6、(0,+)单调递减.(ii)若a>2,令f'(x)=0得,x=a-a2-42或x=a+a2-42.当x(0,a-a2-42)(a+a2-42,+)时,f'(x)<0;当x(a-a2-42,a+a2-42)时,f'(x)>0.所以f(x)在(0,a-a2-42),(a+a2-42,+)单调递减,在(a-a2-42,a+a2-42)单调递增.(2)由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x1<x2,则x2>1.由于f(x1)-f(x2)x1-x2=
7、-1x1x2-1+alnx1-lnx2x1-x2=-2+alnx1-lnx2x1-x2=-2+a-2lnx21x2-x2,所以f(x1)-f(x2)x1-x2<a-2等价于1x2-x2+2lnx2<0.设函数g(x)=1x-x+2lnx,由(1)知,g(x)在(0,+)单调递减,又g(1)=0,从而当x(1,+)时,g(x)<0.所以1x2-x2+2lnx2<0,即f(x1)-f(x2)x1-x2<a-2.4已知函数fx=2+x+ax2ln1+x-2x(1)若a=0,证明:当-1<x<0时,fx<0;当x>0时,fx>0;(2)若x=
8、0是fx的极大值点,求a【来源】2018年全国卷理数高考试题文档版详解:(1)当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f'(x)=ln(1+x)-x1+x.设函数g(x)=f'(x)=ln(1+x)-x1+x,则g'(x)=x(1+x)2.当-1<x<0时,g'(x)<0;当x>0时,g'(x)>0.故当x>-1时,g(x)g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f'(x)0,且仅当x=0时,f'(x)=0.所以f(x)在(-1,+)单调递增.又f(0)=0,故当-1<x&l
9、t;0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.(2)(i)若a0,由(1)知,当x>0时,f(x)(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0),这与x=0是f(x)的极大值点矛盾.(ii)若a<0,设函数h(x)=f(x)2+x+ax2=ln(1+x)-2x2+x+ax2.由于当|x|<min1,1|a|时,2+x+ax2>0,故h(x)与f(x)符号相同.又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的极大值点当且仅当x=0是h(x)的极大值点.h'(x)=11+x-2(2+x+ax2)-2x(1+2ax)(2+x+ax2)2=x2(
10、a2x2+4ax+6a+1)(x+1)(ax2+x+2)2.如果6a+1>0,则当0<x<-6a+14a,且|x|<min1,1|a|时,h'(x)>0,故x=0不是h(x)的极大值点.如果6a+1<0,则a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0,故当x(x1,0),且|x|<min1,1|a|时,h'(x)<0,所以x=0不是h(x)的极大值点.如果6a+1=0,则h'(x)=x3(x-24)(x+1)(x2-6x-12)2.则当x(-1,0)时,h'(x)>0;当x(0,1)时,h'(x
11、)<0.所以x=0是h(x)的极大值点,从而x=0是f(x)的极大值点综上,a=-16.5已知函数f(x)=ex-ax2(1)若a=12,证明:当x0时,f(x)1;(2)若f(x)在(0,+)只有一个零点,求a的值.【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试理数(全国卷II)详解:(1)当a=1时,f(x)1等价于(x2+1)e-x-10设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,则g'(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x当x1时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,+)单调递减而g(0)=0,故当x0时,g(x)0,即f(x)1(2)设函数h
12、(x)=1-ax2e-xf(x)在(0,+)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+)只有一个零点(i)当a0时,h(x)>0,h(x)没有零点;(ii)当a>0时,h'(x)=ax(x-2)e-x当x(0,2)时,h'(x)<0;当x(2,+)时,h'(x)>0所以h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+)单调递增故h(2)=1-4ae2是h(x)在0,+)的最小值若h(2)>0,即a<e24,h(x)在(0,+)没有零点;若h(2)=0,即a=e24,h(x)在(0,+)只有一个零点;若h(2)<0,即a>e24,由于h
13、(0)=1,所以h(x)在(0,2)有一个零点,由(1)知,当x>0时,ex>x2,所以h(4a)=1-16a3e4a=1-16a3(e2a)2>1-16a3(2a)4=1-1a>0故h(x)在(2,4a)有一个零点,因此h(x)在(0,+)有两个零点综上,f(x)在(0,+)只有一个零点时,a=e246(2017.新课标3卷)已知函数f(x)=x-1-alnx(1)若f(x)0,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+12)(1+122)(1+12n)<m,求m的最小值试题解析:(1)fx的定义域为0,+.若a0,因为f12=-12+aln2<
14、;0,所以不满足题意;若a>0,由f'x=1-ax=x-ax知,当x0,a时,f'x<0;当xa,+时,f'x>0,所以fx在0,a单调递减,在a,+单调递增,故x=a是fx在0,+的唯一最小值点.由于f1=0,所以当且仅当a=1时,fx0.故a=1.(2)由(1)知当x1,+时,x-1-lnx>0.令x=1+12n得ln1+12n<12n.从而ln1+12+ln1+122+ln1+12n<12+122+12n=1-12n<1.故1+121+1221+12n<e.而1+121+1221+123>2,所以m的最小值为3
15、.7已知函数, ,其中是自然对数的底数.()求曲线在点处的切线方程;()令,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(山东卷精编版)试题解析:()由题意又,所以,因此 曲线在点处的切线方程为,即 .()由题意得 ,因为,令则所以在上单调递增.因为所以 当时, 当时, (1)当时, 当时, , 单调递减,当时, , 单调递增,所以 当时取得极小值,极小值是 ;(2)当时, 由 得 , 当时, ,当时, , 单调递增;当时, , 单调递减;当时, , 单调递增.所以 当时取得极大值.极大值为,当时取到极小值,极小值是 ;当时, ,所以 当
16、时, ,函数在上单调递增,无极值;当时, 所以 当时, , 单调递增;当时, , 单调递减;当时, , 单调递增;所以 当时取得极大值,极大值是;当时取得极小值.极小值是.综上所述:当时, 在上单调递减,在上单调递增,函数有极小值,极小值是;当时,函数在和和上单调递增,在上单调递减,函数有极大值,也有极小值,极大值是极小值是;当时,函数在上单调递增,无极值;当时,函数在和上单调递增,在上单调递减,函数有极大值,也有极小值, 极大值是;极小值是.8已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)0.(1)求a;(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2<f(x0)<2-
17、2.【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标2卷精编版)试题解析:(1)fx的定义域为0,+设gx=ax-a-lnx,则fx=xgx,fx0等价于gx0因为g1=0,gx0,故g'1=0,而g'x=a-1x,g'1=a-1,得a=1若a=1,则g'x=1-1x.当0x1时,g'x0,gx单调递减;当x1时,g'x0,gx单调递增.所以x=1是gx的极小值点,故gxg1=0综上,a=1(2)由(1)知fx=x2-x-xlnx,f'(x)=2x-2-lnx设hx=2x-2-lnx,则h'(x)=2-1x当x0,1
18、2时,h'x0;当x12,+时,h'x0,所以hx在0,12单调递减,在12,+单调递增又he-20,h120,h1=0,所以hx在0,12有唯一零点x0,在12,+有唯一零点1,且当x0,x0时,hx0;当xx0,1时,hx0,当x1,+时,hx0.因为f'x=hx,所以x=x0是f(x)的唯一极大值点由f'x0=0得lnx0=2(x0-1),故fx0=x0(1-x0)由x00,1得f'x014因为x=x0是f(x)在(0,1)的最大值点,由e-10,1,f'e-10得fx0fe-1=e-2所以e-2fx02-29已知函数ae2x+(a2) e
19、xx.(1)讨论的单调性;(2)若有两个零点,求a的取值范围.【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标1卷精编版)试题解析:(1)的定义域为, ,()若,则,所以在单调递减.()若,则由得.当时, ;当时, ,所以在单调递减,在单调递增.(2)()若,由(1)知, 至多有一个零点.()若,由(1)知,当时, 取得最小值,最小值为.当时,由于,故只有一个零点;当时,由于,即,故没有零点;当时, ,即.又,故在有一个零点.设正整数满足,则.由于,因此在有一个零点.综上, 的取值范围为.10已知.()讨论的单调性;()当时,证明对于任意的成立.【来源】2016年全国普通高等学校
20、招生统一考试理科数学(山东卷精编版)试题解析:()的定义域为;.当,时, ,单调递增;,单调递减.当时, .(1),当或时, ,单调递增;当时, ,单调递减;(2)时,在内, ,单调递增;(3)时,当或时, ,单调递增;当时, ,单调递减.综上所述,当时,函数在内单调递增,在内单调递减;当时,在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增;当时,在内单调递增;当,在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增.()由()知,时, ,令,.则,由可得,当且仅当时取得等号.又,设,则在单调递减,因为,所以在上存在使得时,时,所以函数在上单调递增;在上单调递减,由于,因此,当且仅当取得等号,所以,即对于任意的恒
21、成立。11设函数f(x)=ax2-a-lnx,其中a R.(I)讨论f(x)的单调性;(II)确定a的所有可能取值,使得f(x)>1x-e1-x在区间(1,+)内恒成立(e=2.718为自然对数的底数)。【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(四川卷精编版)试题解析:()f'(x)=2ax-1x=2ax2-1x(x>0).当a0时, f'(x)<0,f(x)在(0,+)内单调递减.当a>0时,由f'(x)=0,有x=12a.此时,当x (0,12a)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x (12a,+)时,f
22、39;(x)>0,f(x)单调递增.()令g(x)=1x-1ex-1,s(x)=ex-1-x.则s'(x)=ex-1-1.而当x>1时,s'(x)>0,所以s(x)在区间(1,+)内单调递增.又由s(1)=0,有s(x)>0,从而当x>1时,f(x)>0.当a0,x>1时,f(x)=a(x2-1)-lnx<0.故当f(x)>g(x)在区间(1,+)内恒成立时,必有a>0.当0<a<12时,12a>1.由()有f(12a)<f(1)=0,从而g(12a)>0,所以此时f(x)>g(x)
23、在区间(1,+)内不恒成立.当a12时,令h(x)=f(x)-g(x)(x1),当x>1时,h'(x)=2ax-1x+1x2-e1-x>x-1x+1x2-1x=x3-2x+1x2>x2-2x+1x2>0,因此,h(x)在区间(1,+)单调递增.又因为h(1)=0,所以当x>1时,h(x)=f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x)恒成立.综上,a12,+).12设函数xR,其中a,bR.()求f(x)的单调区间;()若f(x)存在极值点x0,且f(x1)= f(x0),其中x1x0,求证:x1+2x0=3;()设a0,函数g(x)= |f(x
24、)|,求证:g(x)在区间0,2上的最大值不小于.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(天津卷精编版)试题解析:()解:由,可得.下面分两种情况讨论:(1)当时,有恒成立,所以的单调递增区间为.(2)当时,令,解得,或.当变化时,的变化情况如下表:00单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为,单调递增区间为, .()证明:因为存在极值点,所以由()知,且,由题意,得,即,进而.又,且,由题意及()知,存在唯一实数满足,且,因此,所以.()证明:设在区间上的最大值为,表示两数的最大值.下面分三种情况讨论:(1)当时, ,由()知,在区间上单调递减,所以在区间上的
25、取值范围为,因此,所以.(2)当时, ,由()和()知, , ,所以在区间上的取值范围为,因此.(3)当时, ,由()和()知, ,所以在区间上的取值范围为,因此.综上所述,当时,在区间上的最大值不小于.13设函数,曲线在点处的切线方程为.()求, 的值;()求的单调区间.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(北京卷精编版)试题解析:()因为,所以.依题设, 即解得.()由()知.由及知,与同号.令,则.所以,当时,在区间上单调递减;当时,在区间上单调递增.故是在区间上的最小值,从而.综上可知,.故的单调递增区间为.【考点】导数的应用;运算求解能力14设函数,其中0,记的最大
26、值为A()求;()求A;()证明当.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标3卷精编版)【试题解析:() .()当时,.因此.当时,将变形为令,则是在上的最大值, , ,且当时, 取得极小值,极小值为令,解得(舍去),()当时, 在内无极值点, , , ,所以()当时,由,知又,所以综上, ()由()得.当时, .当时, ,所以.当时, ,所以.15()讨论函数的单调性,并证明当>0时, ;()证明:当时,函数有最小值.设g(x)的最小值为,求函数的值域.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标2卷精编版)试题解析:() 的定义域为.且仅当时,
27、 ,所以在单调递增,因此当时, 所以()由()知, 单调递增,对任意因此,存在唯一使得即,当时, 单调递减;当时, 单调递增.因此在处取得最小值,最小值为于是,由单调递增所以,由得因为单调递增,对任意存在唯一的 使得所以的值域是综上,当时, 有最小值, 的值域是16已知函数有两个零点.()求a的取值范围;()设x1,x2是的两个零点,证明: .【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标1卷精编版)试题解析:() ()设,则, 只有一个零点()设,则当时, ;当时, 所以在单调递减,在单调递增又, ,取满足且,则,故存在两个零点()设,由得或若,则,故当时, ,因此在单调递增又当时,所以不存在两个零点若,则,故当时, ;当时, 因此在单调递减,在单调递增又当时, ,所以不存在两个零点综上, 的取值范围为()不妨设,由()知, , 在单调递减,所以等价于,即由于,而,所以设,则所以当时, ,而,故当时, 从而,故专心-专注-专业