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1、高中数学基础知识归类献给2010 年高三 ( 理科 )考生一. 集合与简易逻辑1. 注意区分集合中元素的形式.如：|lg x yx函数的定义域；|lg y yx函数的值域； ( ,) |l gx yyx函数图象上的点集. 2. 集合的性质：任何一个集合A是它本身的子集,记为AA. 空集是任何集合的子集,记为A. 空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为AB,在讨论的时候不要遗忘了A的情况如：012|2xaxxA,如果AR,求a的取值 .(答：0a) ()UUUCABC AC B,()UUUCABC AC B；ABCABC（）（）；ABCABC（）（）. ABAABBUUABC BC AUAC
2、BUC ABR. AB元素的个数：()()card ABcardAcardBcard AB. 含n个元素的集合的子集个数为2n；真子集 (非空子集 )个数为21n；非空真子集个数为22n. 3. 补集思想 常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如： 已知函数12)2(24)(22ppxpxxf在区间1 ,1上至少存在一个实数c,使0)(cf,求实数p的取值范围 .(答：32( 3, ) 4. 原命题 : pq；逆命题 : qp；否命题 : pq；逆否命题 : qp；互为逆否的两个命题是等价的.如： “sinsin”是“”的条件 .(答：充分非必要条件) 5. 若pq且qp,则p是q的充分非
3、必要条件(或q是p的必要非充分条件). 6. 注意命题pq的否定 与它的 否命题 的区别 : 命题pq的否定 是pq；否命题 是pq. 命题“p或q”的否定是“p且q”； “p且q”的否定是“p或q” . 如： “若a和b都是偶数，则ba是偶数”的否命题是“若a和b不都是偶数 ,则ba是奇数”否定是“若a和b都是偶数 ,则ba是奇数” . 7. 常见结论的否定形式二. 函数1. 映 射f:AB是：“一对一或多对一”的对应；集合A中的元素必有象且A中不同元素在B中可以有相同的象；集合B中的元素不一定有原象(即象集B). 一一映射f:AB： “一对一”的对应；A中不同元素的象必不同,B中元素都有原
4、象.2. 函数f: AB是特殊的映射.特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点,但与y轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.3. 函数的三要素：定义域,值域 ,对应法则 .研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则. 4. 求定义域 :使函数解析式有意义(如:分母0;偶次根式被开方数非负;对数真数0,底数0且1；零指数幂的底数0)；实际问题有意义；若( )f x定义域为 , a b,复合函数( )f g x定义域由( )ag xb解出；若 ( )f g x定义域为 , a b,则( )f x定义域相当于 , xa b时( )g x的值域 . 5. 求值域
5、常用方法: 配方法 (二次函数类 )；逆求法 (反函数法 )；换元法 (特别注意新元的范围). 三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；不等式法单调性法；数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域；判别式法（慎用） ：导数法 (一般适用于高次多项式函数). 6. 求函数解析式的常用方法：待定系数法(已知所求函数的类型)； 代换 (配凑 )法；方程的思想-对已知等式进行赋值，从而得到关于( )f x及另外一个函数的方程组。7. 函数的奇偶性和单调性函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；若( )f x是偶函数
6、,那么( )()(|)f xfxfx；定义域含零的奇函数必过原点(0)0f)；判断函数奇偶性可用定义的等价形式：( )()0f xfx或()( )1( ( )0)fxf xf x；复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 注意： 若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个(如( )0f x定义域关于原点对称即可). 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题 )等. 复合函数单调性由“同增异减”判定 . （提醒：求单调区间时注意定义域）如： 函数122log
7、 (2 )yxx的单调递增区间是_.(答：(1,2) 8. 函数图象的几种常见变换平移变换：左右平移- “左加右减”（注意是针对x 而言） ；上下平移 -“上加下减” (注意是针对( )f x而言 ).翻折变换：( )|( )|f xf x；( )(|)f xfx. 对称变换：证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴 )的对称点仍在图像上. 证明图像1C与2C的对称性 ,即证1C上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在2C上,反之亦然 . 函数( )yf x与()yfx的图像关于直线0 x(y轴)对称；函数( )yf x与函数()yfx的图像关于直线0y(x轴)对称；若函数( )y
8、f x对xR时，()()f axf ax或( )(2)f xfax恒成立 ,则( )yf x图像关于直线xa对称；若( )yf x对xR时 ,()()f axf bx恒成立 ,则( )yf x图像关于直线2abx对称；函数()yf ax,()yf bx的图像关于直线2bax对称 (由axbx确定 )；原结论否定原结论否定是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有 n个至多有1n个小于不小于至多有 n个至少有1n个对所有 x ,成立存在某 x,不成立p或qp且q对任何 x ,不成立存在某 x,成立p且qp或q精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
9、总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页函数()yf xa与()yf bx的图像关于直线2abx对称；函数( )yf x,( )yAf x的图像关于直线2Ay对称 (由( )( )2f xAf xy确定 )；函数( )yf x与()yfx的图像关于原点成中心对称；函数( )yf x,()ynf mx的图像关于点22(, )m n对称；函数( )yf x与函数1( )yfx的图像关于直线yx对称；曲线1C：( , )0f x y,关于yxa,yxa的对称曲线2C的方程为(,)0f ya xa(或(,)0fyaxa；曲线1C：( , )0f x y关于点( , )a b的对称曲线2C
10、方程为：(2,2)0faxby. 9. 函数的周期性：若( )yf x对xR时()()f xaf xa恒成立 ,则( )f x的 周期为2|a；若( )yf x是偶函数 ,其图像又关于直线xa对称 ,则( )f x的周期为2|a；若( )yf x奇函数 ,其图像又关于直线xa对称 ,则( )f x的周期为4|a；若( )yf x关于点( ,0)a,( ,0)b对称 ,则( )f x的周期为2|ab；( )yf x的图象关于直线xa,()xb ab对称 ,则函数( )yf x的周期为2|ab；( )yf x对xR时,()( )f xaf x或1( )()f xfxa,则( )yf x的周期为2|
11、a；10. 对数：loglognnaabb(0,1,0,)aabnR；对数恒等式log(0,1,0)aNaN aaN；log ()loglog;logloglog;loglognaaaaaaaaMNMNMNMNMnM；1loglognaaMnM；对数换底公式logloglogbbaNaN(0,1,0,1)aabb；推论：121123logloglog1loglogloglognabcaaananbcaaaaa. (以上120,0,0,1,0,1,0,1,0nMNaabbcca aa且12,na aa均不等于1) 11. 方程( )kf x有解kD(D为( )f x的值域 )；( )af x恒成
12、立( )af x最大值, ( )af x恒成立( )af x最小值. 12. 恒成立问题的处理方法：分离参数法(最值法 )； 转化为一元二次方程根的分布问题；13. 处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；14. 二次函数解析式的三种形式：一般式：2( )(0)f xaxbxc a；顶点式：2()()(0 )fxa xhk a； 零点式：12( )()()(0)fxa xxxxa. 15. 一元二次方程实根分布:先画图再研究0、轴与区间关系、区间端点函数值符号; 16. 复合函数：复合函数定义域求法：
13、若( )f x的定义域为 , a b,其复合函数 ( )f g x的定义域可由不等式( )ag xb解出；若 ( )f g x的定义域为 , a b,求( )f x的定义域，相当于 , xa b时 ,求( )g x的值域；复合函数的单调性由“同增异减”判定. 17. 对于反函数 ,应掌握以下一些结论：定义域上的单调函数必有反函数；奇函数的反函数也是奇函数；定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；周期函数不存在反函数；互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；( )yf x与1( )yfx互为反函数 ,设( )f x的定义域为A,值域为B,则有1( )()ffxx xB,1( )()f
14、f xx xA. 18. 依据单调性 ,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：()()()0fugx uh x(或0)()aub( )0( )0f af b(或( )0( )0f af b)；19. 函数(0,)axbcxdycadbc的图像是双曲线：两渐近线分别直线dcx(由分母为零确定)和直线acy(由分子、分母中x的系数确定 )；对称中心是点(, )dacc；反函数为bdxcxay；20. 函数(0,0)bxyaxab：增区间为(,)bbaa,减区间为,0),(0bbaa. 如：已知函数12( )axxf x在区间( 2,)上为增函数 ,则实数a的取值范围是_(答：12
15、( ,).三. 数列1. 由nS求na,1*1(1)(2,)nnnS naSSnnN注意验证1a是否包含在后面na的公式中 ,若不符合要单独列出 .如：数列na满足111534,nnnaSSa，求na(答：14(1)3 4(2)nnnan). 2. 等差数列1nnnaaad(d为常数 )112(2,*)nnnaaannN21122(,)(,)nnddaanb ad badSAnBn ABa；3. 等差数列的性质：()nmaanm d,mnaamnd；mnlkmnlkaaaa(反之不一定成立)；特别地,当2mnp时 ,有2mnpaaa；若na、nb是等差数列 ,则nnkatb(k、t是非零常数
16、)是等差数列；等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即232,mmmmmSSSSS仍是等差数列；等差数列na,当项数为2n时,SSnd偶奇,1nnSaSa奇偶；项数为21n时, (*)nSSaanN偶中奇,21(21)nnSna,且1SnSn奇偶；( )(21)nnnnAaBbf nfn. 首项为正 (或为负 )的递减 (或递增 )的等差数列前n 项和的最大 (或最小 )问题 ,转化为解不等式100nnaa(或100nnaa).也可用2nSAnBn的二次函数关系来分析. 若,()nmam an mn,则0mna；若,()nmSm Sn mn,则()mnSmn；若()mnSSmn,则 Sm+
17、n=0 ； S3m=3(S2m Sm)；m nmnSSSmnd. 4. 等比数列121111(0)(2,*)nnnnnnnnaaaq qaaannNaa q. 5. 等比数列的性质n mnmaa q,nn mmaqa；若na、nb是等比数列，则nka、nna b等也是等比数列；111111(1)1111(1)(1)(1)(1)nnnnqqaaaaaqqqqnaqnaqSqqq；mnlkmnlka aa a(反之不一定成精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页12200111sincos12200111sincos立)；mn
18、m nmnnmSSq SSq S. 等比数列中232,mmmmmSSSSS(注：各项均不为0) 仍是等比数列. 等比数列na当项数为2n时,SSq偶奇；项数为21n时,1SaSq奇偶. 6. 如果数列na是等差数列 ,则数列naA(naA总有意义 )是等比数列；如果数列na是等比数列 , 则数列log|(0,1)anaaa是等差数列；若na既是等差数列又是等比数列,则na是非零常数数列；如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊
19、到一般的方法探求其通项；三个数成等差的设法：, ,ad a ad；四个数成等差的设法：3 ,3ad ad ad ad；三个数成等比的设法：, ,aqa aq；四个数成等比的错误设法：33,aaqqaq aq(为什么？ ) 7. 数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式. 已知nS(即12( )naaaf n)求na用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn. 已知12( )naaaf n求na用作商法：( )(1)(1),(1),(2)nf nf nfnan.若1( )nnaaf n求na用迭加法 . 已知1( )nnaaf n,求na用迭乘法 . 已知数列递推式求n
20、a,用构造法 (构造等差、等比数列)： 形如1nnakab,1nnnakab,1nnakaa nb(,k b为常数 )的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后 , 再求na. 形如11nnnakaba的递推数列都可以用“取倒数法”求通项 . 8. 数列求和的方法：公式法：等差数列,等比数列求和公式；分组求和法；倒序相加；错位相减；分裂通项法.公式：12123(1)nn n；222216123(1)(21)nn nn；33332(1 )2123n nn；2135nn；常见裂项公式111(1)1n nnn；1111()()n nkknnk；1111(1)(1)2(1)(1)(2)n
21、nnn nnn；11(1)!(1)!nnnn常见放缩公式：21211112()2()nnnnnnnnn.9. “分期付款”、 “森林木材”型应用问题这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题 ,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.利率问题：单利问题：如零存整取储蓄(单利 )本利和计算模型：若每期存入本金p元,每期利率为r,则n期后本利和为：(1)2(1)(12 )(1)()nn nSprprpnrp nr(等差数列问题） ；复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利 )模型：若贷款(向银行借款 )p元,采用分
22、期等额还款方式 ,从借款日算起,一期 (如一年 )后为第一次还款日,如此下去 ,分n期还清 .如果每期利率为r（按复利），那么每期等额还款x元应满足：12(1)(1)(1)(1)nnnprxrxrxrx(等比数列问题 ). 四. 三角函数1.终边与终边相同2()kkZ；终边与终边共线()kkZ；终边与终边关于x轴对称()kkZ；终边与终边关于y轴对称2()kkZ；终边与终边关于原点对称2()kkZ；终边与终边关于角终边对称22()kkZ. 2. 弧长公式：|lr；扇形面积公式：21122|Slrr扇形；1弧度 (1rad)57.3. 3. 三角函数符号 (“正号”)规律记忆口诀： “ 一全二正
23、弦 ,三切四余弦”.注意：3tan15cot752；3tan75cot152；4. 三角函数同角关系中(八块图 )：注意“正、余弦三兄妹si nc o sxx、sincosxx”的关系 . 如2(sincos )12sincosxxxx等. 5. 对于诱导公式 ,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；(注意：公式中始终视为锐角)6. 角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角与其倍角或半角、两角与其和差角等变换. 如：()；2()()；2()()；22；222()()等； “1”的变换：221sincostancot2sin30tan45xxxx；7. 重要结论：22sincossin()
24、abaxbxx其中tanba） ；重要公式22cos1sin2；2cos1c o s 22；1cossin1cos21cos1cossintan；21sin2222(cossin)|cossin|. 万能公式：22 tan1tansin 2；221tan1tancos2；22tan1tantan2. 8. 正弦型曲线sin()yAx的对称轴2()kxkZ；对称中心(,0)()kkZ；余弦型曲线cos()yAx的对称轴()kxkZ；对称中心2(,0)()kkZ；9. 熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于180,一般用正、余弦定理实施边角互
25、化；正弦定理：sinsinsin2abcABCR；余弦定理：22222222()222cos ,cos1bcabcabcbcabcbcAA；正弦平方差公式：22sinsinsin()sin()ABABAB；三角形的内切圆半径2ABCSabcr；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页k面积公式：124sinabcRSabC；射影定理：coscosabCcB. 10.ABC中 ,易得：ABC,sinsin()ABC,coscos()ABC,tantan()ABC. 22sincosABC,22cossinABC,22tanc
26、otABC. sinsinabABAB锐角ABC中,2AB,sincos ,coscosABAB,222abc,类比得钝角ABC结论 . tantantantantantanABCABC. 11. 角的范围：异面直线所成角2(0,；直线与平面所成角20,；二面角和两向量的夹角0,；直线的倾斜角0,)；1l到2l的角0,)；1l与2l的夹角2(0,.注意术语 :坡度、仰角、俯角、方位角等.五. 平面向量1. 设11(,)ax y,22(,)bxy. (1)1221/0abx yx y；(2)121200aba bx xy y.2. 平面向量基本定理：如果1e和2e是同一平面内的两个不共线的向量,
27、那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数1、2,使1 122aee. 3. 设11(,)ax y,22(,)bxy,则1212| | cosa ba bx xy y； 其几何意义是a b等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积；a在b的方向上的投影12122222|cos|x xy ya babxy. 4. 三点A、B、C共线AB与AC共线；与AB共线的单位向量|ABAB.5. 平面向量数量积性质：设11(,)axy,22(,)bxy,则121222221122cos| |x xy ya babxyxy；注意 :,a b为锐角0a b,a b不同向；,a b为直角0a b；,a b为钝角0
28、a b,a b不反向 . 6.a b同向或有0| |abababab；a b反向或有0| |abababab；a b不共线| |ababab.7. 平面向量数量积的坐标表示：若11(,)ax y,22(,)bxy,则1212a bx xy y；221212|()()ABxxyy；若( , )ax y,则222aa axy.8. 熟记平移公式和定比分点公式. 当点P在线段21PP上时 ,0；当点P在线段21PP(或12PP) 延长线上时 ,1或10.分点坐标公式：若12PPPP；且111(,)P xy,( , )P x y222(,)P xy；则121211(1)xxyyxy, 中点坐标公式：1
29、21222(1)xxyyxy.1P,P,2P三点共线存在实数、使得12OPOPOP且1. 9. 三角形中向量性质：ABAC过BC边的中点：|()()ABACABACABACABAC；13()0PGPAPBPCGAGBGCG为ABC的重心；PA PBPB PCPA PCP为ABC的垂心；|0BC PACA PBAB PCP为ABC的内心；|()(0)ABACABAC所在直线过ABC内心 . 设1122(,),(,)A xyB xy, 12AOBABBASx yx y. 222121| sin| |()2ABCSABACAABACAB AC.O为ABC内一点 ,则0BOCAOCAOBSOASOBS
30、OC.10.( , )( , )(,)ah kP x yP x y按平移,有xxhyyk(PPa)；(, )( )()ah kyf xykf xh按平移.六. 不等式1. 掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意：若0ab,ba,则11ab.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变. 如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论. 2. 掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法 ,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法. 3. 掌握重要不等式,(1)均值不
31、等式：若0,ba,则2222211abababab(当且仅当ba时取等号 )使用条件：“一正二定三相等”常用的方法为：拆、凑、平方等；(2), ,a b cR，222abcabbcc a(当且仅当abc时,取等号 )；(3)公式注意变形如：22222()abab, 22()abab； (4)若0,0abm,则bbmaam(真分数的性质)；4. 含绝对值不等式：,a b同号或有0| |abababab；,a b异号或有0| |abababab. 5. 证明不等式常用方法：比较法：作差比较：0ABAB.注意：若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小；综合法： 由因导果； 分析法：
32、执果索因 .基本步骤： 要证需证 ,只需证；反证法： 正难则反； 放缩法： 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的. 放缩法的方法有：添加或舍去一些项,如：21|aa；(1)n nn.将分子或分母放大(或缩小 ) 利用基本不等式,如：(1)(1)2nnn n.利用常用结论：0111121kkkkk；02211111111(1)(1)1kkkkkkkkk(程度大 )；0322111111211()kkkk(程度小 )；换元法：换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简 ,常用的换元有三角换元代数换元 .如：知222xya,可设cos ,sinxaya；知221xy,可设cosx
33、r,sinyr(01r)；知22221xyab,可设cos ,sinxayb；已知22221xyab,可设sec ,tanxayb. 最值法 ,如：( )af x最大值,则( )af x恒成立 .( )af x最小值,则( )af x恒成立 . 七. 直线和圆的方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页1. 直线的倾斜角的范围是0, ）；2. 直线的倾斜角与斜率的变化关系2tan()k(如右图 )：3. 直线方程五种形式： 点斜式 ：已知直线过点00(,)xy斜率为k，则直线方程为00()yyk xx,它不包括垂直于x轴
34、的直线 . 斜截式 ：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为ykxb,它不包括垂直于x轴的直线 . 两点式 ：已知直线经过111(,)Pxy、222(,)P xy两点 ,则直线方程为112121yyxxyyxx,它不包括垂直于坐标轴的直线. 截距式 ：已知直线在x轴和y轴上的截距为,a b,则直线方程为1xyab,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.一般式 ：任何直线均可写成0AxByC(,A B不同时为0)的形式 . 提醒 ：直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？) 直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为
35、1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点 . 截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形. 4. 直线1111:0lA xB yC与直线2222:0lA xB yC的位置关系 ：平行12210A BA B(斜率 )且12210B CB C(在y轴上截距 )；相交12210A BA B；(3) 重合12210A BA B且12210B CB C. 5. 直线系方程：过两直线1l：1110A xB yC,2l：2220A xB yC.交点的直线系方程可设为111222()0A xB yCA xB yC；与直线:0lAxBy
36、C平行的直线系方程可设为0()A xB ymmc；与直线:0lAxByC垂直的直线系方程可设为0BxAyn. 6. 到角和夹角公式：1l到2l的角是指直线1l绕着交点按逆时针方向转到和直线2l重合所转的角, (0,)且2112121tan(1)kkk kk k；1l与2l的夹角是指不大于直角的角2,(0,且211 2121tan|(1)kkk kk k. 7. 点00(,)P xy到直线0AxByC的距离公式0022AxByCdAB；两条平行线10AxByC与20AxByC的距离是1222CCdAB. 8. 设三角形ABC三顶点11(,)A xy,22(,)B xy,33(,)C xy,则重心
37、123123(,)33xxxyyyG；9. 有关对称的一些结论点( , )a b关于 x 轴、y轴、原点、直线yx的对称点分别是( ,)ab,(, )a b,(,)ab,( , )b a. 曲线( , )0f x y关于下列点和直线对称的曲线方程为：点( , )a b：(2,2)0faxby； x 轴：( ,)0f xy；y轴：(, )0fx y；原点：(,)0fxy；直线yx：(,)0fy x；直线yx：(,)0fyx；直线xa：(2, )0fax y. 10. 圆的标准方程：222()()xaybr. 圆的一般方程：22220 (40)xyD xE yFDEF.特别提醒 ：只有当2240D
38、EF时,方程220 xyDxEyF才表示圆心为22(,)DE,半径为22142DEF的圆 (二元二次方程220AxBxyCyDxEyF表示圆0AC,且220,40BDEAF). 圆的参数方程：cossinxarybr(为参数 ),其中圆心为( , )a b,半径为r.圆的参数方程主要应用是三角换元：222cos ,sinxyrxryr；222cos ,sin (0)xytxryrrt. 以11(,)A x y、22(,)B xy为直径的圆的方程1212()()()()0 xxxxyyyy；11. 点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点00(,)P xy及圆的方程222()
39、()xaybr.22200()()xaybr点P在圆外；22200()()xaybr点P在圆内；22200()()xaybr点P在圆上 . 12. 圆上一点的切线方程：点00(,)P xy在圆222xyr上,则过点P的切线方程为：200 x xy yr；过圆222()()xaybr上一点00(,)P xy切线方程为200()()()()xaxaybybr. 13. 过圆外一点作圆的切线,一定有两条 ,如果只求出了一条,那么另外一条就是与x轴垂直的直线. 14. 直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题 .dr相离dr相切dr相交15. 圆与
40、圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为d, 两圆的半径分别为, r R：dRr两圆相离；dRr两圆相外切；|RrdRr两圆相交；|dRr两圆相内切；|dRr两圆内含；0d两圆同心 . 16. 过圆1C：221110 xyD xE yF,2C：222220 xyD xE yF交点的圆 (相交弦 )系方程为2222111222()()0 xyD xE yFxyD xE yF.1时为两圆相交弦所在直线方程. 17. 解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形 ,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等). 18.
41、 求解线性规划问题的步骤是：(1)根据实际问题的约束条件列出不等式；(2)作出可行域 ,写出目标函数 (判断几何意义 )；(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解.八. 圆锥曲线方程1. 椭圆焦半径公式：设00(,)P xy为椭圆22221(0)xyabab上任一点 ,焦点为1(,0)Fc,2( ,0)F c, 则1020,PFaexPFaex(“左加右减” )；2. 双曲线焦半径：设00(,)P xy为双曲线22221(0,0)xyabab上任一点 ,焦点为1(,0)Fc,2( ,0)F c, 则：当P点在右支上时,1020|,|PFaexPFaex；当P点在左支上时 ,10|PFaex
42、, 20|PFaex；(e为离心率 ).另：双曲线22221(0,0)xyabab的渐近线方程为22220 xyab. 3. 抛物线焦半径公式：设00(,)P xy为抛物线22(0)ypx p上任意一点 ,F为焦点 ,则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页02|pPFx；22(0)ypx p上任意一点 ,F为焦点，则02|pPFx. 4. 共渐近线bayx的双曲线标准方程为2222xyab(为参数 ,0). 5. 两个常见的曲线系方程：过曲线1( , )0fx y,2( ,)0fx y的交点的曲线系方程是12( , )
43、( , )0f x yfx y(为参数 ).共焦点的有心圆锥曲线系方程22221xyakbk,其中22max,kab.当22min,kab时 ,表示椭圆；当2222min,max,abkab时,表示双曲线 . 6. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式221212()()ABxxyy或2121|ABkxx2212112221(1)()41|kxxx xyyk(弦端点1122(,),(,)A xyB xy,由方程( , )0ykxcbF x y消去y得到02cbxax,0,k为斜率 ). 这里体现了解几中“设而不求”的思想；7. 椭圆、双曲线的通径(最短弦 )为22ba,焦准距为2bcp,抛物线的通径为
44、2p,焦准距为p；双曲线22221(0,0)xyabab的焦点到渐近线的距离为b；8. 中心在原点 ,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为221AxBy(对于椭圆0,0AB)；9. 抛物线22(0)ypx p的焦点弦（过焦点的弦）为AB,11(,)A x y、22(,)B xy,则有如下结论：12|ABxxp；2124px x,212y yp； 112|pAFBF. 10. 椭圆22221(0)xyabab左焦点弦12|2()ABae xx,右焦点弦12|2()ABae xx. 11. 对于22(0)ypx p抛物线上的点的坐标可设为200(,)2yyp,以简化计算 . 12. 圆锥曲线中点
45、弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解 .在椭圆22221xyab中 , 以00(,)P xy为中点的弦所在直线斜率2020b xka y； 在双曲线22221xyab中 ,以00(,)P xy为中点的弦所在直线斜率2020b xka y；在抛物线22(0)ypx p中,以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率0pyk. 13. 求轨迹方程的常用方法：直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成( , )0F x y,是求轨迹的最基本的方法. 待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可. 代入法 (相关点法或转移法). 定义法：如果能
46、够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程. 交轨法 (参数法 )：当动点( , )P x y坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x、y均用一中间变量(参数 )表示 ,得参数方程 ,再消去参数得普通方程. 14. 解析几何与向量综合的有关结论：给出直线的方向向量(1, )uk或(, )um n.等于已知直线的斜率k或nm；给出OBOA与AB相交 ,等于已知OBOA过AB的中点；给出0PNPM,等于已知P是MN的中点 ; 给出()APAQBPBQ,等于已知QP,与AB的中点三点共线; 给出以下情形之一：ACAB /；存在实数,使ABAC； 若存在实数
47、, 且1；使OCOAOB,等于已知CBA,三点共线 . 给出1OAOBOP,等于已知P是AB的定比分点 ,为定比 ,即PBAP给出0MBMA,等于已知MBMA,即AMB是直角 ,给出0mMBMA,等于已知AMB是钝角或反向共线,给出0mMBMA,等于已知AMB是锐角或同向共线. 给出|()MAMBMAMBMP,等于已知MP是AMB的平分线 . 在平行四边形ABCD中,给出0)()(ADABADAB,等于已知ABCD是菱形 . 在平行四边形ABCD中,给出| |ABADABAD,等于已知ABCD是矩形 . 在ABC中 ,给出222OCOBOA，等于已知O是ABC的外心 (三角形的外心是外接圆的圆
48、心 ,是三角形三边垂直平分线的交点). 在ABC中 ,给出0OCOBOA，等于已知O是ABC的重心 (三角形的重心是三角形三条中线的交点). 在ABC中,给出OAOCOCOBOBOA，等于已知O是ABC的垂心 (三角形的垂心是三角形三条高的交点). 在ABC中,给出OAOP|()ABACABAC)(R等于已知AP通过ABC的内心 . 在ABC中,给出,0OCcOBbOAa等于已知O是ABC的内心 (三角形内切圆的圆心 ,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点). 在ABC中,给出12()ADABAC,等于已知AD是ABC中BC边的中线 .九. 直线、平面、简单几何体1. 从一点O出发的三条射线
49、OA、OB、OC.若AOBAOC,则点A在平面BOC上的射影在B O C的平分线上；2. 立平斜三角余弦公式：(图略 )AB和平面所成的角是1,AC在平面内 ,AC和AB的射影1AB成2, 设3BAC,则123coscoscos；3. 异面直线所成角的求法：平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线. 补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；4. 直线与平面所成角：过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,是产生线面角的关键. 5. 二面角的求法：定义法；三垂线法；垂面法；射影法：利用面积射影公式cosS
50、S射斜精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；6. 空间距离的求法：两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂线 ,然后再进行计算.求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解. 求点到平面的距离,一是用垂面法 ,借助面面垂直的性质来作.因此 ,确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解. 7. 用向量方法求空间角和距离：求异面直线所成的角：设a、b分别为异面直线a、b的方向向量 , 则两异面直线所成的