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1、学习必备欢迎下载高中数学必修 1-必修 5 知识点总结高中数学必修 1 知识点第一章集合与函数概念1.1 集合【1.1.1 】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集 .（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一 . （4）集合的表示法自然语言法列举法图示法（5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集. 含有无限个元素的集合叫做无限集. 不含有任何元素的集合叫做空集 (). 【1.1.2 】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集
2、合相等（7）已知集合A有(1)n n个元素，则它有2n个子集，它有21n个真子集，它有21n个非空子集，它有22n非空真子集 . 【1.1.3 】集合的基本运算（8）交集、并集、补集（1）含绝对值的不等式的解法（2）一元二次不等式的解法1.2 函数及其表示【1.2.1 】函数的概念（1）函数的概念设A、B是两个非空的数集， 如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数( )f x和它对应， 那么这样的对应 （包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作:fAB函数的三要素: 定义域、值域和对应法则精选学习资料 - - - - - - -
3、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 31 页学习必备欢迎下载只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（2）区间的概念及表示法设,a b是两个实数，且ab，满足axb的实数x的集合叫做闭区间，记做 , a b；满足axb的实数x的集合叫做开区间，记做( , )a b；满足axb，或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做 , )a b，( , a b；满足,xa xa xb xb的实数x的集合分别记做 ,),(,),(, ,(, )aabb（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：( )f x是整式时，定义域是全体实数( )f x是分式函数时，定义
4、域是使分母不为零的一切实数( )f x是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1tanyx中，()2xkkZ零（负）指数幂的底数不能为零若( )f x是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是： 若已知( )f x的定义域为 , a b，其复合函数( )f g x的定义域应由不等式( )ag xb解出对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，
5、还要符合问题的实际意义（4）求函数的值域或最值配方法：判别式法不等式法换元法反函数法数形结合法函数的单调性法【1.2.2 】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种（6）映射的概念设A、B是两个集合， 如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素， 在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应 （包括集合A，B以及A到B的对应法则f） 叫做集合A到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 31 页学习必备欢迎下载yxoB的映射，记作:fAB给定一个集合A到集合B的映射，且,aA b
6、B如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象 1.3 函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1 x2时，都有 f(x 1)f(x 2)， 那 么 就 说f(x) 在这个区间上是 增函数x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3） 利用函数图象 （在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2，当
7、 x1f(x 2)， 那 么 就 说f(x) 在这个区间上是 减函数y=f(X)yxoxx2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3） 利用函数图象 （在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数 对 于 复 合 函 数( )yf g x， 令( )ug x， 若( )yf u为 增 ，( )ug x为 增 ， 则( )yf g x为增；若( )yf u为减，( )ug x为减，则( )yf g x为增；若( )yf u为增 ，( )ug x为
8、减 ， 则 ( )yf g x为 减 ；若( )yf u为 减，( )ug x为 增， 则( )yf g x为减（2）打“”函数( )(0)af xxax的图象与性质( )f x分别在(,a、,)a上为增函数，分别在,0)a、(0,a上为减函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 31 页学习必备欢迎下载（3）最大（小）值定义一般地，设函数( )yfx的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的xI，都有( )f xM；（2）存在0 xI，使得0()f xM那么，我们称M是函数( )f x的最大值，记作max( )fx
9、M一般地，设函数( )yf x的定义域为I，如果存在实数m满足： （1）对于任意的xI，都有( )f xm； （2）存在0 xI，使得0()fxm那么，我们称m是函数( )f x的最小值，记作max( )fxm【1.3.2 】奇偶性（4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x) 定义域内任意一个x，都有f( x)= f(x) ,那么函数f(x) 叫做 奇函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x) 定义域内任意一个 x， 都有 f( x)= f(x) ,那么函数 f(x) 叫做 偶函数（
10、1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于 y 轴对称）若函数( )f x为奇函数，且在0 x处有定义，则(0)0f奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充知识函数的图象（1）作图利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂
11、函数、三角函数等各种基本精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 31 页学习必备欢迎下载初等函数的图象平移变换0,0,|( )()hhhhyf xyf xh左移个单位右移 |个单位0,0,|( )( )kkkkyf xyf xk上移 个单位下移 |个单位伸缩变换01,1,( )()yfxyfx伸缩01,1,( )( )AAyfxyAfx缩伸对称变换( )( )xyf xyf x轴( )()yyf xyfx轴( )()yf xyfx原点1( )( )y xyf xyfx直线( )(|)yyyyf xyfx去掉 轴左边图象保留 轴右
12、边图象，并作其关于轴对称图象( )|( ) |xxyfxyfx保留 轴上方图象将 轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第二章基本初等函数 ()2.1 指数函数【2.1.1 】指数与指数幂的运算（1）根式的概念如果,1nxa aR xR n，且nN，那么x叫做a的n次方根当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；
13、当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示； 0 的n次方根是 0；负数a没有n次方根式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0a 根 式 的 性 质 ：()nnaa； 当n为 奇 数 时 ，nnaa； 当n为 偶 数 时 ， (0)| (0) nnaaaaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 31 页学习必备欢迎下载（2）分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：(0,mnmnaaam nN且1)n0 的正分数指数幂等于 0正数的负分
14、数指数幂的意义是：11()() (0,mmmnnnaam nNaa且1)n0的负分数指数幂没有意义注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数（3）分数指数幂的运算性质(0, ,)rsrsaaaar sR()(0, ,)rsrsaaar sR()(0,0,)rrraba babrR【2.1.2 】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义函数(0 xyaa且1)a叫做指数函数图象1a01a定义域R值域(0,)过定点图象过定点(0,1)，即当0 x时，1y奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值的变化情况1 (0)1 (0)1 (0)xxxaxaxax1 (0)1 (0)1 (0)
15、xxxaxaxaxa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低2.2 对数函数xayxy(0,1)O1yxayxy(0,1)O1y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 31 页学习必备欢迎下载【2.2.1 】对数与对数运算（1）对数的定义若(0,1)xaN aa且，则x叫做以a为底N的对数，记作logaxN，其中a叫做底数，N叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：log(0,1,0)xaxNaN aaN（2）几个重要的对数恒等式log 10a，log1aa，logbaab（3）常用对数与
16、自然对数常用对数：lg N，即10logN；自然对数：ln N，即logeN（其中2.71828e） （4）对数的运算性质如果0,1,0,0aaMN，那么加法：logloglog ()aaaMNMN减法：logloglogaaaMMNN数乘：loglog()naanMMnRlogaNaNloglog(0,)bnaanMM bnRb换底公式：loglog(0,1)logbabNNbba且【2.2.2 】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数log(0ayx a且1)a叫做对数函数图象1a01a定义域(0,)值域RxyO(1,0)1xlogayxxyO(1,0)1xlogayx精选
17、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 31 页学习必备欢迎下载过定点图象过定点(1,0)，即当1x时，0y奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数函数值的变化情况log0 (1)log0 (1)log0 (01)aaaxxxxxxlog0 (1)log0 (1)log0 (01)aaaxxxxxxa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高(6) 反函数的概念设函数( )yf x的定义域为A， 值域为C， 从式子( )yf x中解出x，得式子( )xy如果对于y在C中的任何一
18、个值，通过式子( )xy，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子( )xy表示x是y的函数，函数( )xy叫做函数( )yf x的反函数，记作1( )xfy，习惯上改写成1( )yfx（7）反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式( )yf x中反解出1( )xfy；将1( )xfy改写成1( )yfx，并注明反函数的定义域（8）反函数的性质原函数( )yf x与反函数1( )yfx的图象关于直线yx对称函数( )yf x的定义域、值域分别是其反函数1( )yfx的值域、定义域若( , )P a b在原函数( )yf x的图象上，则( , )P b a在反函数1( )yf
19、x的图象上一般地，函数( )yf x要有反函数则它必须为单调函数2.3 幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数（2）幂函数的图象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 31 页学习必备欢迎下载（3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限 (图象关于y轴对称 )；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)单调
20、性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在0,)上为增函数如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当qp（其中,p q互质，p和qZ） ，若p为奇数q为奇数时， 则qpyx是奇函数， 若p为奇数q为偶数时， 则qpyx是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则qpyx是非奇非偶函数图象特征：幂函数,(0,)yxx，当1时，若01x，其图象在直线yx下方，若1x，其图象在直线yx上方，当1时，若01x，其图象在直线yx上方，若1x，其图象在直线yx下方补充知识二次函数（1）二次函数解析式的三种形式一般式：
21、2( )(0)f xaxbxc a顶点式：2( )()(0)f xa xhk a两根式：12( )()()(0)f xa xxxxa（2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求( )fx更方便精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 31 页学习必备欢迎下载（3）二次函数图象的性质二次函数2( )(0)f xaxbxc a的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bxa顶点坐标是24(,)24ba
22、cbaa当0a时，抛物线开口向上，函数在(,2ba上递减，在,)2ba上递增， 当2bxa时，2min4( )4acbfxa；当0a时，抛物线开口向下，函数在(,2ba上递增，在,)2ba上递减，当2bxa时，2max4( )4acbfxa二次函数2( )(0)f xaxbxc a当240bac时，图象与x轴有两个交点11221212( ,0),( ,0),| | |M xM xM Mxxa（4）一元二次方程20(0)axbxca根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达
23、定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布设一元二次方程20(0)axbxca的两实根为12,x x，且12xx令2( )f xaxbxc， 从以下四个方面来分析此类问题：开口方向：a对称轴位置：2bxa判别式：端点函数值符号kx1x2xy1x2x0aOabx20)(kfkxy1x2xOabx2k0a0)(kfx1x2k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 31 页学习必备欢迎下载xy1x2x0aOabx2k0)(kfxy1x2xOabx2k0a0)(kfx1kx2af( k) 0 0)(k
24、fxy1x2x0aOkxy1x2xOk0a0)(kfk1x1x2k2xy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfabx2xy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kfabx2有且仅有一个根x1（或 x2）满足 k1x1（或 x2）k2f( k1) f( k2)0，并同时考虑f(k1)=0或 f( k2)=0 这两种情况是否也符合xy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfxy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kfk1x1k2p1x2p2此结论可直接由推出（5）二次函数2( )(0)f xaxbxc a在闭区间, p q上的最值精选学习资料 - - - - - - - -
25、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 31 页学习必备欢迎下载设( )f x在区间, p q上的 最大值为M，最小值为m，令01()2xpq（）当0a时（开口向上）若2bpa，则( )mf p若2bpqa，则()2bmfa若2bqa，则( )mf q若02bxa，则( )Mf q02bxa，则( )Mfp( ) 当0a时( 开口向下 ) 若2bpa，则( )Mfp若2bpqa，则()2bMfa若2bqa，则( )Mf q若02bxa，则( )mf q02bxa，则( )mfp第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数)(Dxxfy，把使0)(
26、xf成立的实数x叫做函数xOf(p)f(q)()2bfaxOf(p)f(q)()2bfaxOf(p)f(q)()2bfaxOf(p)f(q)()2bfa0 xxOf(p)f(q)()2bfa0 xxOf(p)f(q)()2bfaxOf(p)f(q)()2bfaxOf(p)f(q)()2bfa0 xxOf(p)f(q)()2bfaxOf(p)f(q)()2bfa0 x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 31 页学习必备欢迎下载)(Dxxfy的零点。2、函数零点的意义： 函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根， 亦即函数
27、)(xfy的图象与x轴交点的横坐标。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点3、函数零点的求法：求函数)(xfy的零点：1（代数法）求方程0)(xf的实数根； 2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数)0(2acbxaxy），方程02cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点），方程02cbxax有两相等实根（二重根） ，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点），方程02cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无
28、交点，二次函数无零点高中数学必修 3 知识点第一章算法初步1.1.1算法的概念1、算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成. 2. 算法的特点 : (1)有限性 (2)确定性 (3)顺序性与正确性 (4)不唯一性 (5)普遍性1.1.2程序框图1、程序框图基本概念：（一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。（二）构成程序框的图形符号及
29、其作用学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：1 、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外，大多数流程图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 31 页学习必备欢迎下载符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4 、判断框分两大类， 一类判断框“是” 与“否” 两分支的判断， 而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。（三） 、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条
30、件结构、循环结构。1 、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A 框和 B 框是依次执行的，只有在执行完A 框指定的操作后，才能接着执行 B 框所指定的操作。2、条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。条件 P是否成立而选择执行A框或 B框。无论 P条件是否成立，只能执行A 框或 B框之一，不可能同时执行 A 框和
31、B框，也不可能A框、 B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。3 、循环结构： 在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：（1） 、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P 成立时，执行A 框，A 框执行完毕后，再判断条件P 是否成立，如果仍然成立，再执行A 框，如此反复执行A 框，直到某一次条件P 不成立为止，此时不再执行A 框，离开循环结构。（2） 、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后
32、判断给定的条件P 是否成立，如果 P仍然不成立，则继续执行A 框，直到某一次给定的条件P 成立为止，此时不再执行A 框，离开循环结构。当型 循环结构直到型循环结构注意： 1 循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结构中一A B A 成立不成立P 不成立P 成立A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 31 页学习必备欢迎下载定包含条件结构，但不允许“死循环”。2 在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计
33、数一次。1.2.1输入、输出语句和赋值语句1 、输入语句（1）输入语句的一般格式（2）输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；（3） “提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量；（4）输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式；（5）提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开。2、输出语句（1）输出语句的一般格式（2）输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；（3） “提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据； （4）输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。3、赋值语句（1
34、）赋值语句的一般格式（2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；（3）赋值语句中的“”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；（5）对于一个变量可以多次赋值。注意： 赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。赋值号左右不能对换。如“A=B ” “B=A ”的含义运行结果是不同的。不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、 因式分解、解方程等）赋值号“= ”与数学中的等号意义不同。122 条件语句1、条件语句
35、的一般格式有两种： （1）IFTHEN ELSE 语句； （2）IFTHEN 语句。2、IFTHEN ELSE语句IFTHEN ELSE 语句的一般格式为图1，对应的程序框图为图2。图形计算器格式INPUT“提示内容”；变量INPUT “提示内容”，变量PRINT“提示内容”；表达式图形计算器格式Disp “提示内容”，变量变量表达式图形计算器格式表达式变量IF 条件THEN语句 1 ELSE 语句 2 END IF 否是满足条件？语句 1 语句 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 31 页学习必备欢迎下载图 1 图
36、2 分析：在 IFTHEN ELSE 语句中，“条件”表示判断的条件， “语句 1”表示满足条件时执行的操作内容；“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时，首先对IF 后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN 后面的语句1；若条件不符合，则执行ELSE 后面的语句 2。3、IFTHEN 语句IFTHEN 语句的一般格式为图3，对应的程序框图为图4。注意： “条件”表示判断的条件； “语句”表示满足条件时执行的操作内容， 条件不满足时，结束程序；END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对IF 后的条件进行判断，如果条件符合就执行
37、THEN 后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其它语句。123 循环语句循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（ WHILE型）和直到型（ UNTIL型）两种语句结构。即WHILE语句和 UNTIL语句。1、WHILE语句（1）WHILE语句的一般格式是对应的程序框图是（2）当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与 WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND 语句后，接
38、着执行WEND 之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。2、UNTIL语句（1）UNTIL语句的一般格式是对应的程序框图是IF 条件 THEN语句END IF （图 3）满足条件？语句是否（图 4）WHILE 条件循环体WEND 满足条件？循环体否是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 31 页学习必备欢迎下载（2）直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直
39、到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOP UNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。分析： 当型循环与直到型循环的区别：（先由学生讨论再归纳）（1）当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；在 WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体，在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环1.3.1 辗转相除法与更相减损术1、辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：（1） ：用较大的数m除以较小的数n 得到一个商0S和一个余数0R； （2） ：若0R0，则 n 为 m ，n 的最大公约数；若0R0，则用除数n 除以余数0R得到一个商1S
40、和一个余数1R； （3） ：若1R0，则1R为 m ，n 的最大公约数； 若1R0，则用除数0R除以余数1R得到一个商2S和一个余数2R；依次计算直至nR0，此时所得到的1nR即为所求的最大公约数。2、更相减损术我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在九章算术中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母?子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。翻译为：（1） ：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2 约简；若不是，执行第二步。 （2） ：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为
41、止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。例 2 用更相减损术求98 与 63的最大公约数 . 分析：（略）3、辗转相除法与更相减损术的区别：（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0 则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到满足条件？循环体是否DO 循环体LOOP UNTIL 条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 31 页学习必备欢迎
42、下载1.3.2 秦九韶算法与排序1、秦九韶算法概念：f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0求值问题f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+.+a1)x+a0 =( anxn-2+an-1xn-3+.+a2)x+a1)x+a0 =.=(.( anx+an-1)x+an-2)x+.+a1)x+a0求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v1=anx+an-1 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 .vn=vn-1x+a0 这样，把 n 次多项式的求值问题转化成求n 个一
43、次多项式的值的问题。2、两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序1、直接插入排序基本思想：插入排序的思想就是读一个，排一个。将第个数放入数组的第个元素中，以后读入的数与已存入数组的数进行比较，确定它在从大到小的排列中应处的位置将该位置以及以后的元素向后推移一个位置，将读入的新数填入空出的位置中（由于算法简单，可以举例说明）2、冒泡排序基本思想： 依次比较相邻的两个数,把大的放前面 , 小的放后面 .即首先比较第1 个数和第 2 个数 , 大数放前 ,小数放后 . 然后比较第2 个数和第 3 个数 .直到比较最后两个数. 第一趟结束 , 最小的一定沉到最后. 重复上过程 , 仍从第 1个数开始 ,
44、到最后第 2 个数 . 由于在排序过程中总是大数往前, 小数往后 , 相当气泡上升 , 所以叫冒泡排序.1.3.3 进位制1、概念：进位制 是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数， 基数为 n，即可称 n 进位制， 简称 n 进制。现在最常用的是十进制，通常使用 10 个阿拉伯数字0-9进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。一般地，若k 是一个大于一的整数，那么以k 为基数的 k 进制可以表示为：110()
45、110.(0,0,.,)nnknna aa aakaa ak，而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示, 如 111001(2)表示二进制数 ,34(5)表示 5 进制数第二章统计2.1.1 简单随机抽样1总体和样本在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 31 页学习必备欢迎下载把每个研究对象叫做个体把总体中个体的总数叫做总体容量为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，研究，我们称它为样本其中个体的个数称为样本容量2简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组
46、、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。3简单随机抽样常用的方法：（1）抽签法；随机数表法；计算机模拟法；使用统计软件直接抽取。在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：总体变异情况； 允许误差范围；概率保证程度。4抽签法 : （1）给调查对象群体中的每一个对象编号；（2）准备抽签的工具，实施抽签（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。5随
47、机数表法：例：利用随机数表在所在的班级中抽取10 位同学参加某项活动。2.1.2 系统抽样1系统抽样（等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。K（抽样距离） =N（总体规模） /n（样本规模）前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。2系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框
48、的要求较低，实施也比较简单。更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 31 页学习必备欢迎下载2.1.3 分层抽样1分层抽样（类型抽样） ：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。两种方法：1先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中
49、抽取。2先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本。2分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。分层标准：（1）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。（2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。（3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。3分层的比例问题：（1）按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。（2）不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小
50、，其样本量就会非常少，此时采用该方法，主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时，则需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征1、本均值：nxxxxn212、 样本标准差：nxxxxxxssn222212)()()(3用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是