2022年北师大版高一数学教案高一数学必修5第二章解三角形教案 .pdf

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1、第二章解三角形课标要求 : 本章的中心内容是如何解三角形,正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习, 学生应当达到以下学习目标:(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、 余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题。(2)能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。编写意图与特色1数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分,有利于学生加深数学知识的理解和掌握。本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学,并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两

2、个主要数学结论是正弦定理和余弦定理, 它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中,学生已经学习了相关边角关系的定性的知识,就是“在任意三角形中有大边对大角,小边对小角” , “如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等, 那么这两个三角形全”等。教科书在引入正弦定理内容时,让学生从已有的几何知识出发,提出探究性问题: “在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系 . 我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?” ,在引入余弦定理内容时, 提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角, 根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形 . 我们仍然从量化的角

3、度来研究这个问题,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。 ”设置这些问题,都是为了加强数学思想方法的教学。2注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系,注意复习和应用已学内容,并为后续章节教学内容做好准备, 能使整套教科书成为一个有机整体,提高教学效益, 并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。本章内容处理三角形中的边角关系,与初中学习的三角形的边与角的基本关系,已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时, 让学生从已有的几何知识出发,提出探究性问题 “在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系. 我们是否

4、能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢 ?” ,在引入余弦定理内容时, 提出探究性问题 “如果已知三角形的两条边及其所夹的角, 根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形 . 我们仍然从量化的角度来研究这个问题,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样,从联系的观点,从新的角度看过去的问题, 使学生对于过去的知识有了新的认识,同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上,形成良好的知识结构。课程标准和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容,位置相对靠后,在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章

5、知识联系密切的内容,这使这部分内容的处理有了比较多的工具,某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明, 常用的方法是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 26 页借助于三角的方法, 需要对于三角形进行讨论, 方法不够简洁, 教科书则用了向量的方法,发挥了向量方法在解决问题中的威力。在证明了余弦定理及其推论以后,教科书从余弦定理与勾股定理的比较中,提出了一个思考问题 “勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系?” ,并进而指出, “从余弦定理

6、以及余弦函数的性质可知,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么第三边所对的角是直角; 如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角;如果大于第三边的平方, 那么第三边所对的角是锐角 . 从上可知,余弦定理是勾股定理的推广. ”3重视加强意识和数学实践能力学数学的最终目的是应用数学,而如今比较突出的两个问题是,学生应用数学的意识不强, 创造能力较弱。 学生往往不能把实际问题抽象成数学问题,不能把所学的数学知识应用到实际问题中去,对所学数学知识的实际背景了解不多,虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强,但当面临一种新的问题时却办法不多,对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、

7、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况, 本章重视从实际问题出发,引入数学课题,最后把数学知识应用于实际问题。教学内容及课时安排建议1.1 正弦定理和余弦定理(约3 课时)1.2 应用举例(约 4 课时) 1.3实习作业(约 1 课时)评价建议1要在本章的教学中,应该根据教学实际,启发学生不断提出问题,研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中,应该因势利导, 根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理,可以启发得到有应用向量方法的证明,对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。 在应用两个定理解决有关的

8、解三角形和测量问题的过程中, 一个问题也常常有多种不同的解决方案,应该鼓励学生提出自己的解决办法,并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序,得到在实际中可以直接应用的算法。2适当安排一些实习作业,目的是让学生进一步巩固所学的知识,提高学生分析问题的解决实际问题的能力、 动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力, 增强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导, 包括对于实际测量问题的选择, 及时纠正实际操作中的错误,解决测量中出现的一些问题。11 正弦定理(一)教学目标1知识与技能 : 通过对任意三角形边长

9、和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。2. 过程与方法 : 让学生从已有的几何知识出发, 共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系, 引导学生通过观察, 推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。3情态与价值: 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 26 页养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与

10、辩证统一。教学重点 :正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点 :已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。学法: 引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系:sinsinsinabcABC,接着就一般斜三角形进行探索, 发现也有这一关系; 分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导,让学生发现向量知识的简捷,新颖。教学设想 创设情景 如图 11-1,固定ABC的边 CB 及B,使边AC 绕着顶点C 转动。A 思考:C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系?显然,边 AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来? B C 探索研究 (图 11-

11、1)在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图11-2,在 RtABC中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有sinaAc,sinbBc,又sin1cCc, A 则sinsinsinabccABC b c 从而在直角三角形ABC中,sinsinsinabcABC C a B ( 图 11-2) 思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?(由学生讨论、分析)可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:如图 11-3,当ABC 是锐角三角形时,设边AB上的高是 CD ,根据任意角三角函数的定义,有CD=sinsi

12、naBbA, 则sinsinabAB, C 同理可得sinsincbCB, b a 从而sinsinabABsincCA c B (图 11-3) 思考:是否可以用其它方法证明这一等式?由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。(证法二):过点 A作jAC, C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 26 页由向量的加法可得ABAC CB则()jABjAC CB A B jABjAC jCBj00cos 900cos 90j ABAj CBCsinsincAaC,即sinsinacAC同理,过点 C作jBC,可得si

13、nsinbcBC从而sinsinabABsincC类似可推出,当ABC是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。(由学生课后自己推导)从上面的研探过程,可得以下定理正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即sinsinabABsincC 理解定理 : (1)正弦定理 说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使sinakA,sinbkB,sinckC;(2)sinsinabABsincC等价于sinsinabAB,sinsincbCB,sinaAsincC从而知正弦定理的基本作用为:已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如sinsinbAaB

14、;已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值。一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形 。 例题分析 : 例 1在ABC中,已知032.0A,081.8B,42.9acm ,解三角形。解:根据三角形内角和定理,0180()CAB000180(32.081.8 )066.2;根据正弦定理,00sin42.9sin81.880.1()sinsin32.0aBbcmA;根据正弦定理,00sin42.9sin66.274.1().sinsin32.0aCccmA评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例 2在ABC中,已知20acm ,28bcm ,040A,

15、解三角形(角度精确到01,边长精确到 1cm ) 。解:根据正弦定理,0sin28sin40sin0.8999.20bABa因为00B0180,所以064B,或0116 .B 当064B时,00000180() 180(4064 ) 76CAB,00sin20sin7630().sinsin40aCccmA 当0116B时,00000180() 180(40116 ) 24CAB,00sin20sin2413().sinsin40aCccmA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 26 页评述:应注意已知两边和其中一边的对角解三

16、角形时,可能有两解的情形。 随堂练习 第 47页练习 1、2 题。例 3已知ABC中,A060,3a, 求sinsinsinabcABC分析:可通过设一参数k(k0) 使sinsinabABsinckC, 证明出sinsinabABsincCsinsinsinabcABC解: 设sinsinabAB( o)sinck kC则有sinakA,sinbkB,sinckC从而sinsinsinabcABC=sinsinsinsinsinsinkAkBkCABC=k又sinaA032sin60k,所以sinsinsinabcABC=2 评述:ABC 中, 等式sinsinabABsincC0sinsi

17、nsinabck kABC恒成立。 补充练习 已知ABC中,sin:sin:sin1:2:3ABC,求:a b c(答案: 1:2:3) 课堂小结 (由学生归纳总结)(1)定理的表示形式:sinsinabABsincC0sinsinsinabck kABC;或sinakA,sinbkB,sinckC(0)k(2)正弦定理的应用范围:已知两角和任一边,求其它两边及一角;已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。(五): 课后思考题:在ABC 中,sinsinabAB(o)sinck kC, 这个 k 与ABC有什么关系?作业:第 52 页 习题 2.1A 组第 7、4 题。1.2 余弦定理教学目标

18、1知识与技能 : 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。2. 过程与方法 : 利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题,3情态与价值: 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;通过三角函数、 余弦定理、 向量的数量积等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点 :余弦定理的发现和证明过程及其基本应用;教学难点 :勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。学法:首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计

19、算出三角形的另一边和两个角的问题,利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 26 页教学设想 创设情景 C如图 11-4,在ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 已知 a,b 和C,求边 c b a A c B 探索研究 ( 图 11-4) 联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题?用正弦定理试求,发现因A、B均未知,所以较难求边c。由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图 11-5,设

20、CBa,CA b,AB c,那么cab,则bcC a B 22222cc cababa ab ba baba b ( 图 11-5) 从而2222coscababC同理可证2222cosabcbcA2222cosbacacB余弦定理 : 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即2222coscababC2222cosabcbcA2222cosbacacB思考:这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角?(由学生推出)从余弦定理,又可得到以下推论:222cos2bcaAbc222cos2acbBac222c

21、os2bacCba 理解定理 从而知余弦定理及其推论的基本作用为:已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边;已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系?(由学生总结)若ABC中,C=090,则cos0C,这时222cab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 26 页由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例。例题: 例 1在ABC 中,已知2 3a,62c,060B,求 b 及 A 解

22、:2222 cosbacacB=22(2 3)( 62)22 3 ( 62)cos045=212 ( 62)4 3( 3 1)= 8 2 2.b求A可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理:解法一: cos222222(2 2)( 62 )(2 3)1,222 2 2 ( 62)bcaAbc060 .A解法二: sin02 3sinsin45 ,2 2aABb又622.41.43.8,2 32 1.83.6,ac,即00A090 ,060 .A评述:解法二应注意确定A的取值范围。例 2在ABC中,已知134.6acm,87.8bcm,161.7ccm,解三角形解:由余弦定理的推论得:cos2222

23、bcaAbc22287.8161.7134.62 87.8 161.70.5543,056 20A;cos2222cabBca222134.6161.787.82 134.6 161.70.8398,032 53B;0000180() 180(56 2032 53)CAB090 47. 随堂练习 第 51页练习第 1、2、3 题。 补充练习 在ABC中,若222abcbc,求角 A(答案: A=1200) 课堂小结 (1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例;(2)余弦定理的应用范围:已知三边求三角;已知两边及它们的夹角, 求第三边。(五) :作业 :第 52页

24、 习题 2.1A 组第 5 题。三角形中的几何计算教学目标1知识与技能 : 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形;三角形各种类型的判定方法;三角形面积定理的应用。2. 过程与方法 : 通过引导学生分析,解答三个典型例子,使学生学会综合运用正、余弦定理,三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。3. 情态与价值: 通过正、余弦定理, 在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 26 页和三角函数的关系,反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能,从而

25、从本质上反映了事物之间的内在联系。教学重点 :在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形;三角形各种类型的判定方法;三角形面积定理的应用。教学难点 :正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。学法:通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。教学设想 : 创设情景 : 思考:在ABC 中,已知22acm,25bcm,0133A,解三角形。从此题的分析我们发现, 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。 探索研究 : 例 1在ABC中,已知, ,a b A,讨论三角形解的情况

26、分析:先由sinsinbABa可进一步求出 B;则0180()CA B从而sinaCcA1当 A为钝角或直角时,必须 ab 才能有且只有一解;否则无解。2当 A为锐角时,如果ab,那么只有一解;如果 ab ,那么可以分下面三种情况来讨论: (1)若sinabA,则有两解;(2)若sinabA,则只有一解;(3)若sinabA,则无解。评述 :注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只有当A为锐角且sinbA ab 时,有两解;其它情况时则只有一解或无解。 随堂练习 1(1)在ABC中,已知80a,100b,045A,试判断此三角形的解的情况。(2)在ABC中,若1a,12c,040C

27、,则符合题意的 b 的值有 _个。(3)在ABC 中,axcm,2bcm,045B,如果利用正弦定理解三角形有两解,求 x 的取值范围。(答案: (1)有两解;(2)0; (3)22 2x)例 2在ABC中,已知7a,5b,3c,判断ABC的类型。分析:由余弦定理可知222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角abcAabcAabcAABC 是锐角三角形(注意:是锐角AABC 是锐角三角形)解:222753,即222abc,ABC是钝角三角形。 随堂练习 2(1)在ABC中,已知sin:sin:sin1:2:3ABC,判断ABC 的类型。(2)已知ABC满足条件

28、coscosaA bB ,判断ABC的类型。(答案: (1)ABC 是钝角三角形; (2)ABC是等腰或直角三角形)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 26 页例 3在ABC中,060A,1b,面积为32,求sinsinsinabcABC的值分析:可利用三角形面积定理111sinsinsin222SabCacBbcA以及正弦定理sinsinabABsincCsinsinsinabcABC解:由13sin22SbcA得2c,则2222cosabcbcA=3,即3a,从而sinsinsinabcABC2sinaA 随堂练习 3(

29、1)在ABC中,若55a,16b,且此三角形的面积220 3S,求角 C (2)在ABC 中,其三边分别为a、b、c,三角形的面积2224abcS,求角 C (答案: (1)060或0120; (2)045) 课堂小结 (1)在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形;(2)三角形各种类型的判定方法;(3)三角形面积定理的应用。(五) 课时作业 :(1)在ABC中,已知4b,10c,030B,试判断此三角形的解的情况。(2)设 x、x+1、x+2 是钝角三角形的三边长,求实数x 的取值范围。(3)在ABC中,060A,1a,2bc,判断ABC的形状。(4) 三角形的

30、两边分别为3cm , 5cm,它们所夹的角的余弦为方程25760 xx的根,求这个三角形的面积。正弦定理、余弦定理的应用教学目的: 1进一步熟悉正、余弦定理内容;2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化;3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状;4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式教学重点: 利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向教学难点 : 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系教学方法 :启发引导式1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时,要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系,并注意特殊正、 余弦关系的应用, 比如互补角的正弦值相等,互补角的余弦值互为相反数等;

31、2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断,重在发挥正、余弦定理的边角互换作用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 26 页教学过程 :一、复习引入:正弦定理:RCcBbAa2sinsinsin余弦定理:,cos2222AbccbabcacbA2cos222,cos2222BcaacbcabacB2cos222Cabbaccos2222,abcbaC2cos222二、讲解范例:例1 在任一 ABC中求证:0)sin(sin)sin(sin)sin(sinBAcACbCBa证:左边 =)sin(sinsin2)sin(s

32、insin2)sin(sinsin2BACRACBRCBAR=sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin2BCACABCBCABAR=0=右边例 2 在ABC中,已知3a,2b,B=45 求 A、C及 c解一:由正弦定理得:23245sin3sinsinbBaAB=4590即ba A=60 或 120当 A=60时 C=7522645sin75sin2sinsinBCbc当 A=120时 C=1522645sin15sin2sinsinBCbc解二:设 c=x 由余弦定理Baccabcos2222将已知条件代入,整理:0162xx解之:226x当226c时2)13

33、(231226223)226(22cos2222bcacbA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 26 页从而 A=60 ,C=75当226c时同理可求得: A=120 ,C=15例 3 在ABC中,BC=a, AC=b, a, b是方程02322xx的两个根,且2cos(A+B)=1 求(1)角 C的度数(2)AB的长度(3)ABC 的面积解: (1)cosC=cos(A+B)=cos(A+B)=21C=120(2)由题设:232babaAB2=AC2+BC22AC ?BC ?osC120cos222abbaabba221

34、02)32()(22abba即 AB= 10(3)SABC=2323221120sin21sin21abCab例 4 如图,在四边形ABCD中,已知AD CD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135 求 BC的长解:在 ABD中,设 BD=x 则BDAADBDADBDBAcos2222即60cos1021014222xx整理得:096102xx解之:161x62x(舍去)由余弦定理:BCDBDCDBBCsinsin2830sin135sin16BC例 5 ABC中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角,1 求最大角 ; 2求以此最大角为内角,夹此角两边之和为4 的平行四边

35、形的最大面积解:1 设三边1, 1kckbkaNk且1kC为钝角0) 1(242cos222kkaccbaC解得41kNk2k或 3 但2k时不能构成三角形应舍去当3k时109,41cos,4,3,2CCcba2 设夹 C角的两边为yx,4yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 26 页S)4(415415)4(sin2xxxxCxy当2x时 S最大= 15例 6 在ABC中,AB 5,AC 3,D为 BC中点,且 AD 4,求 BC边长分析:此题所给题设条件只有边长,应考虑在假设BC为后,建立关于 的方程 而正弦定理涉及

36、到两个角,故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用 因为D为BC中点,所以BD、DC可表示为2x,然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程解:设 BC边为,则由 D为 BC中点,可得 BD DC 2x,在ADB 中,cosADB ,2425)2(42222222xxBDADABBDAD在ADC 中,cosADC .2423)2(42222222xxDCADACDCAD又ADB ADC 180cosADB cos(180 ADC ) cosADC2423)2(42425)2(4222222xxxx解得, 2, 所以, BC边长为 2评述:此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能,

37、体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用,并注意总结这一性质的适用题型另外,对于本节的例2,也可考虑上述性质的应用来求解sin A,思路如下:由三角形内角平分线性质可得35DCBDACAB,设 BD 5,DC 3,则由互补角 ADC 、ADB 的余弦值互为相反数建立方程,求出BC后,再结合余弦定理求出 cosA,再由同角平方关系求出sin A三、课堂练习 :1半径为 1 的圆内接三角形的面积为025,求此三角形三边长的乘积解:设 ABC三边为 a,b,c 则ABCBacsin21bBabcBacabcSABC2sin2sin又RBb2sin,其中 R为三角形外接圆半径精选学习资料 - - -

38、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 26 页RabcSABC41, abc4RSABC410251 所以三角形三边长的乘积为1评述:由于题设条件有三角形外接圆半径,故联想正弦定理:RCcBbAa2sinsinsin,其中 R 为三角形外接圆半径,与含有正弦的三角形面积公式 ABCBacsin21发生联系,对 abc 进行整体求解2在ABC 中,已知角 B45,D是 BC边上一点, AD 5,AC 7,DC 3,求AB解:在 ADC 中,cosC,14113725372222222DCACADDCAC又 0C180, sin C 1435在ABC

39、中,CABBACsinsinAB .265721435sinsinACBC评述:此题在求解过程中,先用余弦定理求角,再用正弦定理求边,要求学生注意正、余弦定理的综合运用3在ABC 中,已知 cosA53,sin B135,求 cosC的值解: cosA5322cos45,0A45A90, sin A54sin B13521sin30 ,0B0B30或 150B180若 B150,则 BA180与题意不符0B30 cos B1312cos(AB)cosAcosBsin Asin B651613554131253又 C180( AB)cosC cos180( AB) cos(AB)6516评述:此

40、题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时, 应根据已知的三角函数值具体确定角的范围, 以便对正负进行取舍, 在确定角的范围时, 通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较四、 小结通过本节学习,我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质,综合运用了正、 余弦定理求解三角形的有关问题,要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结,不断提高三角形问题的求解能力五、课后作业 :精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 26 页课后记: 1正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理,若将正弦定理代入得: sin2As

41、in2Bsin2C2sin Bsin CcosA这是只含有三角形三个角的一种关系式,利用这一定理解题,简捷明快,举例: 例 1在 ABC中,已知 sin2Bsin2Csin2A3sin Asin C,求 B的度数解:由定理得 sin2Bsin2Asin2C2sin Asin C cosB,2sinAsinCcosB3 sinAsinCsin Asin C0 cos23B150例 2求 sin210cos240sin10 cos40的值解:原式 sin210sin250sin10 sin50 在 sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA,令B10,C50,则A120sin2120

42、sin210sin2502sin10 sin50 cos120sin210sin250sin10 sin50 (23)243例 3在 ABC中,已知 2cosBsin Csin A,试判定 ABC的形状解: 在原等式两边同乘以sin A得: 2cosBsin Asin Csin2A, 由定理得 sin2Asin2Csin2sin2A,sin2C sin2BBC故ABC 是等腰三角形2一题多证 : 例 4在ABC中已知 a2bcosC,求证: ABC 为等腰三角形证法一:欲证 ABC为等腰三角形 可证明其中有两角相等, 因而在已知条件中化去边元素,使只剩含角的三角函数由正弦定理得 aBAbsin

43、sin2bcosCBAbsinsin,即 2cosCsin Bsin Asin(BC )sin BcosCcosBsin Csin BcosCcosBsin C 0 即 sin (BC)0,BC()B、C是三角形的内角,BC ,即三角形为等腰三角形证法二:根据射影定理,有abcosCccosB,又a2bcosC2bcosCbcosC ccosBbcosCccosB,即.coscosCBcb又.sinsinCBcb,coscossinsinCBCB即 tan Btan CB、C在ABC中,BCABC为等腰三角形证法三: cosC,2cos2222baCbacba及,22222baabcba化简后

44、得 b2c2bcABC是等腰三角形解三角形应用举例(第一课时 ) 教学目标 :知识与技能: 能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 26 页的实际问题,了解常用的测量相关术语过程与方法:首先通过巧妙的设疑,顺利地引导新课,为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况, 采用“提出问题引发思考探索猜想总结规律反馈训练” 的教学过程,根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系,铺开例题,设计变式,同时通过多媒体、图形观察等直观演示,帮助学生掌握解法,能够类比解决实际问题。

45、 对于例 2 这样的开放性题目要鼓励学生讨论,开放多种思路,引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正情感与价值:激发学生学习数学的兴趣, 并体会数学的应用价值;同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力教学重点 : 由实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后逐个解决三角形,得到实际问题的解教学难点: 根据题意建立数学模型,画出示意图学法: 让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形,让学生尝试绘制知识纲目图。生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理,因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础。解有关三角形的应用题有固定的解题思路,引导学生寻求实际问题

46、的本质和规律, 从一般规律到生活的具体运用,这方面需要多琢磨和多体会。教学设想 : 1、复习旧知 : 正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形?2、设置情境 : 请学生回答完后再提问:前面引言第一章“解三角形”中,我们遇到这么一个问题,“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢?”在古代,天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离,是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢?我们知道, 对于未知的距离、 高度等,存在着许多可供选择的测量方案,比如可以应用全等三角形、 相似三角形的方法, 或借助解直角三角形等等不同的方法, 但由于在实际测量问题的真实背景下,某些方法会不能实施。 如因为没有足够

47、的空间, 不能用全等三角形的方法来测量,所以,有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用,首先研究如何测量距离。3、新课讲授 : 解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意,正确做出图形,把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角,通过建立数学模型来求解例 1、如图,设 A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在 A 的同侧,在所在的河岸边选定一点 C,测出 AC的距离是 55m ,BAC=51,ACB=75。求 A、B两点的距离 (精确到 0.1m) 启发提问 1:ABC 中,根据已知

48、的边和对应角,运用哪个定理比较适当?启发提问 2:运用该定理解题还需要那些边和角呢?请学生回答。分析:这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题,题目条件告诉了边AB的对角, AC为已知边,再根据三角形的内角和定理很精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 26 页容易根据两个已知角算出AC的对角,应用正弦定理算出AB边。解:根据正弦定理,得ACBABsin = ABCACsin故 AB = ABCACBACsinsin = ABCACBsinsin55 = )7551180sin(75sin55= 54

49、sin75sin55 65.7(m) 答:A、B两点间的距离为65.7 米变式练习:两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于 a km, 灯塔 A 在观察站 C的北偏东 30 ,灯塔 B在观察站 C南偏东 60 ,则 A、B之间的距离为多少?画图,建立数学模型。解略:2a km 例 2、 (动画演示辅助点和辅助线)如图, A、B 两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量 A、B两点间距离的方法。分析:这是例 1 的变式题,研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形,所以需要确定C 、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法,分别求出 AC和

50、BC ,再利用余弦定理可以计算出AB的距离。解:测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得 CD=a ,并且在 C、D两点分别测得BCA= ,ACD= ,CDB= ,BDA = ,在ADC 和BDC 中,应用正弦定理得 AC = )(180sin)sin(a = )sin()sin(a BC = )(180sinsina = )sin(sina计算出 AC和 BC后,再在ABC中,应用余弦定理计算出AB两点间的距离 AB = cos222BCACBCAC分组讨论:还没有其它的方法呢?师生一起对不同方法进行对比、分析。变式训练:若在河岸选取相距40 米的 C、D两点,测得BCA=60,ACD=30,

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