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1、第1页二次根式知识点总结及常见题型资料编号 :20190802 一、二次根式的定义形如a（a 0）的式子叫做二次根式.其中 “” 叫做二次根号,a叫做被开方数. （1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数. 据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式, 应根据以下两个标准判断: 是否含有二次根号“”; 被开方数是否为非负数. 若两个标准都符合, 则是二次根式; 若只符合其中一个标准, 则不是二次根式. （3）形如am（a0） 的式子也是二次根式, 其中m叫做二次根式的系数, 它表示的是 : amam（a0） ; （4）根据二次根式有意义的条件, 若二次根式BA与AB都有意
2、义 , 则有BA. 二、二次根式的性质二次根式具有以下性质: （1）双重非负性:a0,a0;（主要用于字母的求值）（2）回归性 :aa2（a0）;（ 主要用于二次根式的计算）（3）转化性 :)0()0(2aaaaaa.（主要用于二次根式的化简）重要结论 : （1）若几个非负数的和为0, 则每个非负数分别等于0. 若02CBA, 则0,0,0CBA. 应用与书写规范 : 02CBA, A0,2B0,C 0 0, 0, 0CBA. 该性质常与配方法结合求字母的值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页第2页（2）BAAB
3、BABABABA2; 主要用于二次根式的化简. （3）0022ABAABABA, 其中B0; 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简: 可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内, 以达到化简的目的. （4）BABA22, 其中B0. 该结论主要用于二次根式的计算. 例 1. 式子11x在实数范围内有意义,则x的取值范围是_. 分析 : 本题考查二次根式有意义的条件, 即被开方数为非负数, 注意分母不能为0. 解:由二次根式有意义的条件可知:01x,1x. 例 2. 若yx,为实数 ,且2111xxy,化简 :11yy. 分析 : 本题考查二次根式有意义的条件, 且有重要结论
4、: 若二次根式BA与AB都有意义 , 则有BA. 解:1x 0,x10 x 1,x 11x1212100y11111yyyy. 习题 1. 如果53a有意义 ,则实数a的取值范围是_. 习题 2. 若233xxy,则yx_. 习题 3. 要使代数式x21有意义 ,则x的最大值是 _. 习题 4. 若函数xxy21,则自变量x的取值范围是_. 习题 5. 已知128123aab,则ba_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页第3页例 3. 若04412bba,则ab的值等于【】（A）2（B）0 （C）1 （D）2 分
5、析 : 本题考查二次根式的非负性以及结论: 若几个非负数的和为0, 则每个非负数分别等于0. 解:04412bba0212ba1a0,22b002,01ba2, 1 ba221ab.选择【D 】. 例 4. 无论x取任何实数 ,代数式mxx62都有意义 ,则m的取值范围是_. 分析 : 无论x取任何实数 , 代数式mxx62都有意义 , 即被开方数mxx620 恒成立, 所以有如下两种解法: 解法一 :由题意可知 :mxx62093622mxmxx023xm923x 0m9 0,m9. 解法二 :设mxxy62无论x取任何实数 ,代数式mxx62都有意义mxxy62 0恒成立即抛物线mxxy6
6、2与x轴最多有一个交点mm436462 0 解之得 :m 9. 例 5. 已知cba,是 ABC 的三边长 ,并且满足ccba20100862,试判断 ABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页第4页的形状 . 分析 : 非负数的性质常和配方法结合用于求字母的值. 解:ccba20100862010020862ccba010862cba6a0,8b0,210c0010, 08,06cba10, 8,6cba10010,10086222222cba222cba ABC 为直角三角形 . 习题6. 已知实数yx,满足08
7、4yx,则以yx,的值为两边长的等腰三角形的周长为【】（A）20 或 16 （B）20 （C）16 （D）以上答案均不对习题 7. 当x_时,119x取得最小值 ,这个最小值为 _. 习题 8. 已知24422xxxy,则yx的值为 _. 习题 9. 已知非零实数ba,满足ababaa415316822,求1ba的值 . 提示 : 由152ba0, 且012b可得 :5a0, a5. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页第5页例 6. 计算 : （1）26; （2）232x; （3）2323. 分析 : 本题考查二次
8、根式的性质:aa2（a0）.该性质主要用于二次根式的计算. 解:（1）662; （2）32322xx; （3）6329323323222. 注意 :BABA22, 其中B0. 该结论主要用于二次根式的计算. 例 7. 化简 : （1）225; （2）2710; （3）962xx3x. 分析 : 本题考查二次根式的性质:)0()0(2aaaaaa. 该性质主要用于二次根式的化简. 解:（1）2525252; （2）7107107102; （3）339622xxxx3x原式x3. 注意 :结论 :BAABBABABABA2. 该结论主要用于二次根式和绝对值的化简.例 8. 当3x有意义时 ,化简
9、:22125xxx. 解:二次根式3x有意义3x0 x 3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页第6页xy图（ 1）O22125xxx23125125xxxxxxx例 9. 化简 :2223xx. 分析 :222xx, 继续化简需要x的取值范围 , 而取值范围的获得需要挖掘题目本身的隐含条件 :3x的被开方数3x为非负数 . 解:由二次根式有意义的条件可知:3x0 x 32223xx522323xxxxx例 10. 已知10a,化简2121aaaa_. 解:10aaa12121aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
10、21111111122例 11. 已知直线23nxmy（nm,是常数） , 如图（ 1）,化简1442mnnnm. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页第7页解:由函数23nxmy的图象可知 : 02,03nm2, 3 nm1442mnnnm1121212122mnnmmnnmmnnmmnnm例 12. 已知cba,在数轴上的位置如图（2）所示 ,化简 :222baccaa. bac图（ 2）0解:由数轴可知 :bac00ca222baccaababcacaabaccaa习题 10. 要使2222xx,x的取值范围是
11、_. 习题 11. 若02aa,则a的取值范围是 _. 习题 12. 计算 :243_. 习题 13. 计算 :2221_. 习题 14. 若332xx成立 ,则x的取值范围是_. 习题 15. 下列等式正确的是【】（A）332（B）332精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页第8页（C）333（D）332习题 16. 下列各式成立的是【】（A）21212（B）332（C）21212（D）74322习题 17. 计算 :272_. 习题 18. 化简 :22xx_. 习题 19. 若baabbaa22221,01213
12、则_. 习题 20. 已知01a,化简414122aaaa得_. 习题 21. 实数cba,在数轴上对应的点如图（3）所示 ,化简代数式 : 222212babacbaa的结果为【】（A）12cb（B）1（C）12ca（D）1cbabc图（ 3）10习题 22. 化简 :2232144xxx. 例 13. 把aa1中根号外的因式移到根号内,结果是【】（A）a（B）a（C）a（D）a分析 :本题实为二次根式的化简: 某些二次根式在化简时, 把根号外的系数移到根号内, 可以达到化简的目的, 但要注意根号外面系数的符号. 有如下的结论: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
13、 - - - - - - -第 8 页，共 16 页第9页0022ABAABABA, 其中B0. 解:由二次根式有意义的条件可知:01a0aaaaaa112.选择【D 】. 习题 23. 化简212aa得 _. 三、二次根式的乘法一般地 ,有: abba（a0,b0）（1）以上便是二次根式的乘法公式, 注意公式成立的条件:a0,b0. 即参与乘法运算的每个二次根式的被开方数均为非负数; （2）二次根式的乘法公式用于二次根式的计算; （3）两个带系数的二次根式的乘法为:abmnbnam（a0,b0） ; （4）二次根式的乘法公式可逆用, 即有 : baab（a0,b0）公式的逆用主要用于二次根式
14、的化简. 注意公式逆用的条件不变. 例 14. 若66xxxx成立 ,则【】（A）x 6 （B）0 x6 （C）x0 （D）x为任意实数分析 : 本题考查二次根式乘法公式成立的条件:abba（a0,b0）解:由题意可得 :060 xx解之得 :x6. 选择【A 】. 例 15. 若1112xxx成立 ,则x的取值范围是_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页第10 页分析 : 本题考查二次根式乘法公式逆用成立的条件:baab（a0,b0）解:由题意可得 :0101xx解之得 :x1. 例 16. 计算 :aa812
15、（a 0）. 解:aaaaaaa21214181281222（a0）. 习题 24. 计算 :2731_. 习题 25. 已知21233m,则有【】（A）65m（B）54m（C）45m（D）56m习题 26. 化简12的结果是 _. 四、二次根式的除法一般地 ,有: baba（a0,0b）（1）以上便是二次根式的除法公式, 要特别注意公式成立的条件; （2）二次根式的除法公式用于二次根式的计算; （3）二次根式的除法公式可写为:baba（a0,0b）; （4）二次根式的除法公式可逆用, 即有 : baba（a0,0b）公式的逆用主要用于二次根式的化简, 注意公式逆用的条件不变. 五、最简二次根
16、式符合以下条件的二次根式为最简二次根式: （1）被开方数中不含有完全平方数或完全平方式; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页第11 页（2）被开方数中不含有分母或小数. 注意 : 二次根式的计算结果要化为最简二次根式. 六、分母有理化把分母中的根号去掉的过程,叫做分母有理化. 如对21进行分母有理化,过程为 :2222221;对321进行分母有理化,过程为:723232323321. 由举例可以看出, 分母有理化是借助于分数或分式的性质实现的. 例 17. 计算 : （1）654; （2）3223238; （3）
17、22728yxy. 解:（1）39654654; （2）24338169388323383823383832383223238; （3）xxyxyyxy247287282222. 例 18. 化简 : （1）65; （2）4.0; （3）aaa9623（3a）. 解:（1）63066656565; （2）51052524.0; （3）3aaaaaaaaaaa3396962223注意 : 随着学习的深入, 在熟练时某些计算或化简的环节可以省略, 以简化计算 . 例 19. 式子2121xxxx成立的条件是 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
18、- -第 11 页，共 16 页第12 页分析 : 本题求解的是x的取值范围 , 考查了二次根式除法公式逆用成立的条件:baba（a0,0b）.解:由题意可得 :0201xx解之得 :2x. 例 20. 计算 : （1）7523; （2）5120; （3）2832. 解:（1）5225275237523; （2）552515205120; （3）解法 1:224416282322832. 解法 2:2248216642228322832. 二次根式的乘除混合运算例 21. 计算 : （1）21223222330; （ 2）182712. 解:（1）原式252382330232443216435
19、238302123（2）原式228324182712. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页第13 页习题 27. 下列计算正确的是【】（A）3212（B）2323（C）xxx3（D）xx2习题 28. 计算 :213827_. 习题 29. 计算 :32643xx_. 习题 30. 直线13xy与x轴的交点坐标是_. 习题 31. 如果0, 0baab,那么下面各式: baba; 1abba; bbaab. 其中正确的是 _（填序号） . 习题 32. 若0ab,则化简2ab的结果是 _. 习题 33. 计算 :
20、 （1）7225283212; （2）2143236181841. 例 22. 先化简 ,再求值 :1441132xxxxx,其中22x. 解:1441132xxxxx2221122211111322xxxxxxxxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页第14 页当22x时原式122242222222. 习题 34. 先化简 ,再求值 :11121122aaaaaa,其中12a. 习题 35. 先化简 ,再求值 :2222221yxyxyxxxyx,其中6,2 yx. 习题 36. 下列根式中是最简二次根式
21、的是【】（A）32（B）3（C）9（D）12例 23. 观察下列各式: .;34434343431;23323232321; 12212121211（1）请利用上面的规律直接写出100991的结果 ; （2）请用含n（n为正整数）的代数式表示上述规律,并证明 ; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页第15 页（3）计算 :20171201720161431321211. 分析 : 本题考查分母有理化. 解:（1）1131099100100991; （2）nnnn111; （3）原式20171201620173423
22、122016120171201712017习题 37. 化简 :891231121. 七、同类二次根式如果几个最简二次根式的被开方数相同,那么它们是同类二次根式. 同类二次根式的判断方法: （1）先化简二次根式; （2）看被开方数是否相同; （3）定结果 : 若相同 , 则它们是同类二次根式; 若不相同 , 则不是 . 同类二次根式的合并方法: 几个同类二次根式相加减, 将它们的系数相加减,二次根式保持不变. 八、二次根式的加减二次根式相加减,先把各个二次根式化简,再合并同类二次根式. 二次根式加减运算的步骤: （1）化简参与运算的二次根式; （2）合并同类二次根式; （3）检查结果 . 精选
23、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页第16 页例 24. 计算 : （1）12188; （2）451227. 解:（1）原式3225322322; （2）原式533533233. 注意 : 不是同类二次根式不能合并. 例 25. 计算 :1832225. 解:原式2324252272225例 26. 计算 : （1）32233223; （2）23225775. 解:（1）原式22322336199243（2）原式364875649. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页