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1、- 1 - / 17 学年四川省内江市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共小题，共分）. 在空间直角坐标系中，点（， ）关于坐标原点对称的点的坐标为（）. . . . ，【答案】【解析】【分析】根据空间坐标的对称性进行求解即可【详解】解：空间坐标关于原点对称，则所有坐标都为原坐标的相反数，即点关于坐标原点对称的点的坐标为，故选：【点睛】本题主要考查空间坐标对称的计算，结合空间坐标的对称性是解决本题的关键比较基础. 某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为： ，现用分层抽样的方法抽出容量为的样本，其中甲种产品有件，则样本容量（）. . . . 【答案】【解析】【分析】由分
2、层抽样的特点，用种型号产品的样本数除以种型号产品所占的比例，即得样本的容量【详解】解：种型号产品所占的比例为，故样本容量故选：【点睛】本题考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比，属于基础题. 某高校调查了名学生每周的自习时间( 单位：小时 ) ，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 ， ，样本数据分组为，) ， ，) ， ，) ， ， ) ， ， 根据直方图，这名学生中每周的自习时间不少于小时的人数是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页- 2 - / 17 . . . .
3、【答案】【解析】【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于小时的频率，进而可得自习时间不少于小时的频数【详解】根据频率分布直方图，名学生中每周的自习时间不少于小时的频率为( ) ，故名学生中每周的自习时间不少于小时的人数为. 故选：【点睛】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目. 如图为某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）. . . . 【答案】【解析】【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是正四棱锥，结合图中数据，即可求出它的表面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页-
4、3 - / 17 【详解】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面边长为，高为的正四棱锥，所以该四棱锥的斜高为；所以该四棱锥的侧面积为 ，底面积为，所以几何体的表面积为故选：【点睛】本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目. 右图的正方体中, 异面直线与所成的角是（）. . . . 【答案】【解析】连接，由正方体的几何特征可得，则即为异面直线与所成的角， 连接，易得，为正三角形，故，异面直线与所成的角是，故选 . 【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角以及正方体的性质，属于中档题. 求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后
5、，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解. . 已知、是直线，是平面，给出下列命题：若，则；若，则；若， ? ，则；若与异面，且则与 相交；其中真命题的个数是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页- 4 - / 17 . . . . 【答案】【解析】【分析】利用正方体的棱的位置关系即可得出；若，利用“等角定理”可得；若， ? ，利用线面平行的性质可得：与平面 内的直线可以平行或为异面直线；由与异面，且，则与
6、相交，平行或 ? ，即可判断出【详解】解：利用正方体的棱的位置关系可得：与可以平行、相交或为异面直线，故不正确；若，利用“等角定理”可得，故正确；若， ? ，则与平面 内的直线可以平行或为异面直线，不正确；与异面，且，则与 相交，平行或 ? ，故不正确综上可知：只有正确故选：【点睛】熟练掌握空间空间中线线、线面的位置关系是解题的关键. 直线关于直线对称的直线方程是（）. . . . 【答案】【解析】【分析】设所求直线上任一点（，） ，关于的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程【详解】解： 解法一（利用相关点法） 设所求直线上任一点 （， ） ， 则它关于对称点为在直线上，化简得故
7、选答案解法二： 根据直线关于直线对称的直线斜率是互为相反数得答案或，再根据两直线交点在直线选答案故选：【点睛】本题采用两种方法解答，一是相关点法：求轨迹方程法；法二筛选和排除法本题还有点斜式、两点式等方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页- 5 - / 17 . 已知直线，直线，其中，则直线与的交点位于第一象限的概率为（）. . . . 【答案】【解析】试题分析：的斜率小于斜率时，直线与的交点位于第一象限，此时共有六种：因式概率为，选考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法（）列举法（）树状图法
8、： 适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法（）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化（）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 若变量，满足，则的最大值是（）. . . . 【答案】【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，利用数形结合进行求解即可【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页- 6 - / 17 设，则
9、的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，由图象知，点到原点的距离最大，由得，即（， ） ，此时，故选：【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用两点间距离的几何意义，以及数形结合是解决本题的关键. 与圆和圆都相切的直线条数是（）. . . . 【答案】【解析】圆的圆心为 (- ), 半径为 ,圆心是 () ，半径为故两圆相外切与圆和都相切的直线共有条。故选： . . 如图，边长为的正方形中，点、分别是、的中点，将，分别沿，折起，使得、 、三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
10、第 6 页，共 17 页- 7 - / 17 . . . . 【答案】【解析】【分析】把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，从而可求球的表面积【详解】解：由题意可知是等腰直角三角形，且平面三棱锥的底面扩展为边长为的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：球的半径为，球的表面积为. 故选：【点睛】本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查球的表面积，考查空间想象能力. 已知圆：，直线：，在直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点为、，且四边形为正方形，则实数的取值范围
11、是（）. . . . 【答案】【解析】【分析】根据题意，由正方形的性质可得，分析可得的轨迹为以为圆心，为半径为圆，其方程为，进而可得若在直线上存在点，则直线与圆有交点，则有，解可得的取值范围，即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页- 8 - / 17 可得答案【详解】解：根据题意，圆：，圆心为（， ） ，半径，若过点作圆的两条切线，切点为、，且四边形为正方形，则，则的轨迹为以为圆心，为半径为圆，其方程为，若在直线上存在点，则直线与圆有交点，则有，解可得：或，即的取值范围为（， ，） ；故选：【点睛】本题考查直线与圆的
12、位置关系，涉及与圆有关的轨迹问题，关键是分析的轨迹，属于基础题二、填空题（本大题共小题，共分）. 如图茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为，乙组数据的平均数为，则，的值分别为，【答案】 (). (). 【解析】【分析】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页- 9 - / 17 根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出、的值【详解】根据茎叶图中的数据，得：甲组数据的中位数为，；又乙组数据的平均数为，解得：；综上，、的值分别为、 故答案为： (). (). 【
13、点睛】本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题. 执行如图所示的程序框图若输人的值为，则输出的值为【答案】【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】解：模拟程序的运行，可得不满足条件，执行循环体，不满足条件，执行循环体，不满足条件，执行循环体，此时，满足条件，退出循环，输出的值为故答案为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页- 10 - / 17 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时
14、应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题. 在平面直角坐标系中，以点（，）为圆心，且与直线（）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】（）【解析】【分析】根据题意，将直线的方程变形，分析可得其恒过点（，） ，结合直线与圆的位置关系可得以点（， ）为圆心，且与直线（）相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为，求出圆的半径，结合圆的标准方程分析可得答案【详解】解：根据题意，直线，即（），恒过定点（， ） ，设为（，）设要求圆的半径为，其圆心的坐标为（，） ，分析可得：以点（， ）为圆心，且与直线（）相切的所有圆中，半径最大为，此时（）（） ，则要求圆的方程为（） ，故答案为：（）
15、 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线过定点问题，注意分析直线所过的定点，属于基础题. 正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面中心）的底面边长为，高为，点、分别为，的中点，动点在正四棱锥的表面上运动，并且总保持平面，则动点的轨迹的周长为【答案】【解析】【分析】过做一个平面与面平行，且与正四棱锥的表面相交，交线之和即为动点的轨迹的周长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页- 11 - / 17 【详解】解：取，中点，连接，取中点，连接， ，因为、分别为，中点，所以，所以，不在面内，所以面因为是中位线所
16、以，所以，因为不在面内，所以面，因为，所以面面动点在正四棱锥的表面上运动，并且总保持平面，则动点的轨迹的周长为的周长正四棱锥的底面边长为，高为，所以，所以动点的轨迹的周长为【点睛】本题考查面面平行的位置关系，属于中档题三、解答题（本大题共小题，共分）. （）求经过直线与直线的交点，且垂直于直线的直线方程；（）求过点（， ） ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程【答案】（） ； （）或【解析】【分析】（）联立直线方程求出点的坐标，再求出所求直线的斜率，代入直线方程点斜式得答案；（）当直线过原点时，直线方程为；当直线不过原点时，设直线方程为，把点的坐标代入求得，则直线方程可求【详解】解： （）联
17、立，解得，两直线的焦点坐标为（，） ，直线斜率为，则所求直线的斜率为直线方程为（） ，即；（）当直线过原点时，直线方程为；当直线不过原点时，设直线方程为，则，即是求直线方程为所求直线方程为或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页- 12 - / 17 【点睛】本题考查直线方程的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题. 如图，在直三棱柱中，已知，设的中点为，求证：（）平面；（）平面【答案】（）详见解析； （）详见解析 . 【解析】【分析】（）由正方形性质得为的中点，从而，由此能证明平面（）由线面垂直得，由，得平面
18、，由此能证明平面【详解】证明： （）因为四边形为正方形，所以为的中点，又为的中点，因此又因为 ?平面， ? 平面，所以平面（）因为棱柱是直三棱柱，底面所以平面因为? 平面，所以又因为， ? 平面， ? 平面，所以平面又因为? 平面，所以因为，所以矩形是正方形，因此因为， ? 平面，所以平面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页- 13 - / 17 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养. 已知一圆经过点，, 且它的圆心在直线上. （）求此圆的方程；（）
19、若点为所求圆上任意一点，且点, 求线段的中点的轨迹方程 . 【答案】（） （） （） （） （） （）【解析】试题分析：（）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程； （）首先设出点的坐标，利用中点得到点坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点的轨迹方程试题解析：（）由已知可设圆心（，），又由已知得，从而有，解得：于是圆的圆心（， ） ，半径所以，圆的方程为（）（） （分）（）设（，） ， （， ） ，则由（，）及为线段的中点得：，解得： 又点在圆： （） （）上，所以有（）（） ，化简得：故所求的轨迹方程为考点：轨迹方程；直线与圆的位置关系. 某地区
20、年至年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的数据如表：年份年份代号人均纯收入精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页- 14 - / 17 （）求关于的线性回归方程；（）利用（）中的回归方程，分析年至年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区年农村居民家庭人均纯收入附：参考公式：，【答案】（）； （）预测该地区年农村居民家庭人均纯收入为千元. 【解析】【分析】（）根据公式计算可得：（）代入计算可得【详解】解： （），关于的线性回归方程为：（）年至年该地区农村居民家庭人均纯收入逐步提高，翻了一番当时，千元预测
21、该地区年农村居民家庭人均纯收入为千元【点睛】本题考查了线性回归方程，属于基础题. 如图：高为的等腰梯形中， ，现将沿折起，使平面平面，连接、（）在边上是否存在点，使平面？（）当点为边中点时，求点到平面的距离精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页- 15 - / 17 【答案】（）在边上存在点，满足，使平面；（）【解析】【分析】（）在边上存在点，满足，使平面，证明，即可证明平面, （）当点为边中点时，利用等体积方法，即可求点到平面的距离【详解】解： （）在边上存在点，满足，使平面连接，交于，连接，则由题意， ，又，：
22、： ，?平面， ? 平面，平面；（）由题意，平面平面，平面，到平面的距离为，中， ，中，设点到平面的距离为，则由等体积可得，【点睛】本题考查线面平行的判定，考查点到平面距离的计算，考查体积的计算，考查空间精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页- 16 - / 17 中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题. 已知圆：，直线： （）若直线与圆相切，求的值；（）若直线与圆交于不同的两点，当为锐角时，求的取值范围；（）若，是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点为，探究：直线是否
23、过定点【答案】（）；（） （）（，） ； （）直线过定点（） 【解析】【分析】（）由直线与圆相切，得圆心（，）到直线的距离等于半径，由此能求出（）设，的坐标分别为（，） ， （， ） ，将直线：代入，得（），由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出的取值范围（）由题意知， ， ，四点共圆且在以为直径的圆上，设（，） ，其方程为， ，在圆： 上， 求出直线：（ ） ，联立方程组能求出直线过定点（） 【详解】解： （）圆：，直线：直线与圆相切，圆心（，）到直线的距离等于半径，即，解得（）设，的坐标分别为（，） ， （， ） ，将直线：代入，整理，得（），（）（），即，当为锐角时，（） （），解得，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页- 17 - / 17 又，或故的取值范围为（）（，） （）由题意知， ， ，四点共圆且在以为直径的圆上，设（，） ，其方程为（） （） ，又，在圆：上，两圆作差得： ，即（），由，得，直线过定点（） 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页