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1、第 26 章反比例函数26.1 反比例函数的意义一、忆一忆回忆一下什么是正比例函数、一次函数，二次函数？它们的一般形式是怎样的？正比例函数：一次函数：二次函数：二、议一议1写出下列函数关系式,并看看这些函数有什么共同特点? (1)就沪线铁路全程长1463 千米 ,某次列车的平均速度是v(单位 : 千米 /时) 随此次列车的全程运行时间的变化而变化; (2)某住宅小区要种植一个面积为1000 平方米的矩形草坪,草坪的长y(单位 :米)随宽 x(单位 :米)的变化而变化 ; (3)已知北京市的总面积为1.68X104平方千米， 人均占有的土地面积S(单位 :平方千米 /人)随全市人口 n 的变化而
2、变化。归纳： 反比例函数：形如的函数是反比例函数，其中x 是自变量，反比例函数的自变量x 的取值范围是。三、练一练1下列等式中，哪些是反比例函数（1）3xy（2）xy2（3）xy 21 （ 4）25xy（5）xy23（ 6）31xy（7） yx4 2当 m 取什么值时，函数23)2(mxmy是反比例函数？3已知函数yy1y2，y1与 x 成正比例， y2与 x 成反比例，且当x1 时， y 4；当 x2 时， y5 （ 1）求 y 与 x 的函数关系式（ 2）当 x 2 时，求函数y 的值四、做一做1一个矩形的面积为202cm，相邻的两条边长分别为xcm 和 ycm。那么变量y 是变量 x 的
3、反比例函数吗？为什么？2某村有耕地346.2 公顷，人数数量n 逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m（公顷 /人）是全村人口数n 的反比例函数吗？为什么？3y 是 x 的反比例函数，下表给出了x 与 y 的一些值：x -2 -1 21211 3 y 322 -1 （ 1）写出这个反比例函数的表达式；（ 2）根据函数表达式完成上表。4苹果每千克x 元，花 10 元钱可买y 千克的苹果，求出y 与 x 之间的函数关系式。5若函数28)3(mxmy是反比例函数，求m。6矩形的面积为4，一条边的长为x，另一条边的长为y，求 y 与 x 的函数解析式。7 已 知y 与x 成 反 比 例 ， 且 当x
4、 2 时 ， y 3 ， 则y 与x 之 间 的 函 数 关 系 式是，当 x 3 时， y8函数21xy中自变量x 的取值范围是9已知函数yy1y2，y1与 x1 成正比例， y2与 x 成反比例，且当x1 时，y0；当 x4 时， y9，求当 x 1 时 y 的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页2612 反比例函数的图像和性质（1）一、忆一忆1一次函数ykx b（k、b 是常数， k0）的图象是什么？其性质有哪些？正比例函数ykx（k 0）呢？2画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意什么？二、探一探
5、探索活动 1 画出反比例函数xy6与xy6的图象探索活动 2反比例函数xy6与xy6的图象有什么共同特征? 它们之间有什么关系？归纳反比例函数图象的特征及性质：（1）（2）（3）三、练一练1若函数xmy)12(与xmy3的图象交于第一、三象限，则m 的取值范围是2反比例函数xy2，当 x 2 时，y；当 x 2 时；y 的取值范围是；当 x 2 时； y 的取值范围是3 已知反比例函数yaxa()226，当x0时， y 随 x 的增大而增大，求函数关系式。4在平面直角坐标系内，过反比例函数xky（k0）的图象上的一点分别作x 轴、 y 轴的垂线段，与 x 轴、 y 轴所围成的矩形面积是6，求函
6、数解析式。四、做一做1已知反比例函数xky3，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围（1）函数图象位于第一、三象限（2）在第二象限内，y 随 x 的增大而增大2函数 y axa与xay（a0）在同一坐标系中的图象可能是（）4已知反比例函数32) 1(mxmy的图象在第二、四象限，求m 值，并指出在每个象限内y 随x 的变化情况？5 过反比例函数xy1（x0）的图象上任意两点A、B 分别作 x 轴的垂线， 垂足分别为C、D，连接 OA 、OB，设 AOC 和 BOD 的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（）（ A） S1S2（B）S1S2 （C）S1S2（D）大小关系不能确定6比较正比例
7、函数和反比例函数的性质（填空并补充完整）正比例函数反比例函数解析式图像位置k0，分布在k0，分布在k0，分布在k0，分布在增减性k0，k0，k0，k0，(0)ykxk(0)kykx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页2612 反比例函数的图像和性质（2）一、忆一忆1什么是反比例函数？2反比例函数的图象是什么？有什么性质？二、想一想1已知反比例函数的图象经过点（2，6）（1）这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？（2）点 B（3，4）点 C（-2。5，-4。8） ，点 D（2，5）是否在这个函数的图象上
8、？解：2若点 A（ 2，a） 、B（ 1，b） 、C（3，c）在反比例函数xky（k0）图象上，则a、b、 c的大小关系怎样？解：3 如图，一次函数y kxb 的图象与反比例函数xmy的图象交于A（ 2， 1） 、B（1， n）两点（1）求反比例函数和一次函数的解析式（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围解：4设汽车前灯电路上的电压保持不变, 选用灯泡的电阻为R() ，通过电流的强度为I(A) 。（1）已知一个汽车前灯的电阻为30 ，通过的电流为0.40A ，求 I 关于 R的函数解析式，并说明比例系数的实际意义。（2）如果接上新灯泡的电阻大于30 ，那么与原来的相比
9、，汽车前灯的亮度将发生什么变化？三、练一练1. 当质量一定时，二氧化碳体积V与密度 p 成反比例。且V=5m3时， p=198kgm3（ 1）求 p 与 V的函数关系式，并指出自变量的取值范围。（ 2）求 V=9m3时，二氧化碳的密度。2、已知反比例函数y=k/x （k0）的图像经过点（4， 3） ，求当 x=6 时， y 的值。3、 已知 y2 与 x+a（其中 a 为常数）成正比例关系，且图像过点A（0，4） 、B（ 1，2） ，求 y 与 x 的函数关系式4、已知一次函数y= -x+8和反比例函数y =xk（ 1）k 满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？（ 2）
10、如果其中一个交点为（1，9） ，求另一个交点坐标。5已知反比例函数xky12的图象在每个象限内函数值y 随自变量x 的增大而减小， 且 k 的值还满足) 12(29k2k1，若 k 为整数，求反比例函数的解析式6 已知一次函数bkxy的图像与反比例函数xy8的图像交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是2 ，求（ 1）一次函数的解析式；（2） AOB的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页实际问题与反比例函数（一）一、想一想1某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全，迅速通过这片湿地
11、，他们沿着路线铺了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成的任务的情境。（1）当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S （m2）的变化，人和木板对地面的压强P（Pa）将如何变化？（P=SF）（2）如果人和木板反湿地的压力合计600N，那么 P是 S 的反比例函数吗？为什么？（3）如果人和木板对湿地的压力合计为600N，那么当木板面积为0.2m2时，压强是多少？2某煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室。（1）储存室的底面积S（单位： m2）与其深度d（单位： m ）有怎样的函数关系？（2）公司决定把储存室的底面积S定为 500 m2，施工队施工时应该向下掘进多深？（
12、3）当施工队施工的计划掘进到地下15m时，碰到了岩石，为了节约资金，公司临时改设计，把储存室的深改为15m ，相应的，储存室的底面积改为多少才能满足需要。（保留两位小数）？二、练一练1近视眼镜的度数y（度）与焦距x（m ）成反比例，已知400?度近视眼镜镜片的焦距为0.25m（1）试求眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式；（2）求 1 000 度近视眼镜镜片的焦距2如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V（m3/h ）与排完水池中的水所用的时间t （h）之间的函数关系图象（1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；（2）写出此函数的解析式；（3）若要 6h 排完水池中的水，那么每小时的
13、排水量应该是多少？（4）如果每小时排水量是5 000m3，那么水池中的水将要多少小时排完？3 制作一种产品， 需先将材料加热到达60后，再进行操作设该材料温度为y （），从加热开始计算的时间为x （分钟）据了解，设该材料加热时，温度y 与时间 x 完成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x?成反比例关系（如图所示）已知该材料在操作加工前的温度为15，加热 5?分钟后温度达到60（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与 x 的函数关系式；（ 2）根据工艺要求，当材料的温度低于15时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？四、做一做1A、B两城市相距720
14、 千米，一列火车从A城去 B城（1）求火车的速度v（千米 / 时）和行驶的时间t （时）之间的函数关系式。（2）若到达目的地后，按原路匀速原回，并要求在3 小时内回到A城，则返回的速度不能低于多少？ 2有一面积为60 的梯形，其上底长是下底长的13，若下底长为x，高为 y，求 y 与 x 的函数关系式。3已知矩形的面积为10，则它的长y 与宽 x 之间的关系用图象大致可表示为（）4 面积为 2 的 ABC ， 一边长为 x， 这边上的高为y， 则 y 与 x?的变化规律用图象表示大致是（）5 （拓展）为了预防流行性感冒，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒已知，?药物燃烧时，室内每立方米空气中的
15、含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y 与 x 成反比例（如图所示） 现测得药物8 分钟燃毕，此室内空气中每立方米的含药量为6 毫克，请你根据题中所提供的信息，解答下列问题：（ 1）求药物燃烧时y 关于 x 的函数关系式，并求自变量的取值范围。（ 2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6 毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室；（ 3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3 毫克且持续时间不低于10?分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
16、 - - - - - - -第 4 页，共 8 页26.2 实际问题与反比例函数（二）一、学一学公元前 3 世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡也可这样描述：阻力阻力臂动力动力臂为此，他留下一句名言：给我一个支点，我可以撬动地球！二、想一想1小伟想用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，?分别是 1200N和 0.5m（1）动力 F 和动力臂L 有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m 时， ?撬动石头至少要多大的力？（2）若想使动力F 不超过第（ 1）题中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？（3）你能由此题，利用反比例函数知识解释
17、：为什么使用撬棍时，?动力臂越长越省力？2 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110-220 欧。已知电压为220 伏，这个用电器的电路图如图所示。（1）输出功率P与电阻 R有怎样的函数关系？（2）这个用电器输出功率的范围多大？三、练一练1某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示（?千帕是一种压强单位） （1）写出这个函数的解析式；（2）当气球体积为0.8m3时，气球内的气压是多少千帕？（3）当气球内的气压大于144 千帕时，气球将爆炸，为了完全起见， ?气球的体积应不小于多少？四、做一做1在某一电路中，电流I 、
18、电压 U、电阻 R三者之间满足关系I=UR（1）当哪个量一定时，另两个量成反比例函数关系？（2）若 I 和 R之间的函数关系图象如图，试猜想这一电路的电压是_伏2已知力F 对一个物体作的功是15 焦，则力 F?与此物体在力在方向上移动的距离S之间的函数关系式的图象大致是（）3在一定的范围内，?某种物品的需求量与供应量成反比例?现已知当需求量为500 吨时，市场供应量为10 000 吨， ?试求当市场供应量为16000?吨时的需求量。4某电厂有5 000 吨电煤（1）求这些电煤能够使用的天数x（天）与该厂平均每天用煤吨数y（吨） ?之间的函数关系式。（2）若平均每天用煤200 吨，这批电煤能用多
19、少天？（3）若该电厂前10 天每天用200 吨，后因各地用电紧张，每天用煤300 吨，这批电煤共可用多少天 ? 4( 提升 ) 一种电器的使用寿命n（月）与平均每天使用时间t（小时）成反比例，?其关系如图所示（1）求使用寿命n（月）与平均每天使用时间t （小时）之间的函数关系式。（2）当 t=5 小时时，电器的使用寿命是多少个月？5某人用50N的恒定压力用气筒给车胎打气（1）求打气所产生的压强P（帕）与受力面积S （米2）之间的函数关系（2）若受力面积是100cm2，则产生的压强是多少？（3）你能根据这一知识解释：为什么刀刃越锋利，刀具就越好用吗？为什么坦克的轮子上安装又宽又长的履带呢？精选学
20、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页反比例函数复习一、练一练1 、 反比例函数y = -x2的图象是，分布在第象限，在每个象限内， y 都随x 的增大而；若 P1 (x1 , y1) 、P2(x2 , y2) 都在第二象限且x1x2 , 则 y1 y2。3、已知反比例函数，若 x1x2 , 其对应值y1 、y2的大小关系是4、如图在坐标系中，直线y=x+ k与双曲线xky在第一象限交与点A，与x轴交于点C，AB垂直x轴，垂足为B，且 SAOB1 1）求两个函数解析式（ 2）求ABC的面积5 、你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过
21、程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y (m)是面条的粗细( 橫截面积)s(2) 的反比例函数，其图象如图所示。(1)写出y 与s 的函数关系式；(2)求当面条粗1.62时，面条的总长度是多少？3P(4,32)204060801001245Y /ms/2o6、已知反比例函数xky的图象经过点)21,4(，若一次函数y=x+1 的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B(2，m)，求平移后的一次函数的图象与x 轴的交点坐标。二、反馈：一、选择题：1.已知反比例函数xky的图象经过点)2,1(，则函数kxy可确定为（）A. xy2B. xy21C. xy21D. xy22.如果
22、反比例函数的图象经过点)2,3(，那么下列各点在此函数图象上的是（）A. )23,2(B. )32, 9(C. )32,3(D. )23, 6(3.如右图，某个反比例函数的图象经过点P，则它的解析式为（）A. )0(1xxyB. )0(1xxyC. )0(1xxyD. )0(1xxy4.如右图是三个反比例函数xky1，xky2，xky3在x轴上方的图象， 由此观察得到1k 、2k 、3k 的大小关系为（）A. 321kkkB. 123kkk C. 132kkkD. 213kkk5.已知反比例函数xy1的图象上有两点),(11yxA、),(22yxB且21xx，那么下列结论正确的是（）A. 21
23、yy B. 21yy C. 21yy D1y 与2y 之间的大小关系不能确定6、已知反比例函数xky的图象如图，则函数2kxy的图象是下图中的（）7、已知关于x的函数)1(xky和xky（k0） ，它们在同一坐标系内的图象大致是（）O x y A O x y B O x y C O x y D 8、如图，点A是反比例函数4xy图象上一点，ABy轴于点B，则AOB的面积是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 x1yO x y x O -2 y x O 2 y A B x 2 y C x -2 y D 21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
24、 -第 6 页，共 8 页9、某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（）成反比例 . 右图表示的是该电路中电流I与电阻R之间的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（）A. RI2B. RI3 C. RI6D. RI6二、填空题：1.点)6, 1(在双曲线xky上，则k=_. 2.近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例. 已知 400 度近视眼镜镜片的焦距为0.25 米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是_. 3.已知反比例函数xy6的图象经过点),2(aP，则a=_. 三、解答题：1.已知一次函数kkxy的图象与反比例函数xy8的图象在第一象限交于点),4(
25、nB，求k，n的值 . 2.已知反比例函数xky的图象与一次函数mkxy的图象相交于点)1,2(. （1）分别求这两个函数的解析式. （2）试判断点)5, 1(P关于x轴的对称点P是否在一次函数mkxy的图象上 . 3.在压力不变的情况下，某物承受的压强P（ Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其图象如右图所示 . （1）求P与S之间的函数关系式；（2）求当S=0.5m2时物体所受的压强P. 4 如图，反比例函数xy8与一次函数2xy的图象交于A、B两点 . （1）求A、B两点的坐标；（2）求AOB的面积 . 三、提升1.如右图，OPQ是边长为2 的等边三角形，若反比例函数的图象过点P
26、，则它的解析式是_. 2.已知反比例函数)0(kxky和一次函数6xy. （1）若一函数和反比例函数的图象交于点),3(m ，求m和k的值 . （ 2）当k满足什么条件时，这两个函数的图象有两个不同的交点？（ 3）当2k时，设（ 2）中的两个函数图象的交点分别为A、B，试判断A、B两点分别在第几象限？AOB是锐角还是钝角（只要求直接写出结论）？3.若一个圆锥的侧面积为20，则下图中表示这个圆锥母线长l与底面半径r之间函数关系的是（）O r l A O r l B O r l C O r l D 4 某单位为响应政府发出的全民健身的号召，打算在长和宽分别为20 米和 11 米的矩形大厅内修建一个
27、60 平方米的矩形健身房ABCD. 该健身房的四面墙壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁（如图为平面示意图） ，已知装修旧墙壁的费用为20 元/平方米，新建（含装修）墙壁的费用为80 元/平方米 . 设健身房的高为3 米，一面旧墙壁AB的长为x米，修建健身房的总投入为y元. （ 1）求y与x的函数关系式；（ 2） 为了合理利用大厅， 要求自变量x必须满足 8x 12. 当投入资金为4800 元时，问利用旧墙壁的总长度为多少米？1 1 O x y O x y A B O R ( ) I(A) (3,2) 3 2 O P Q x y A B C D 11 米20 米精选学习资料 - - - - - - -
28、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页反比例函数单元测试题一. 选择题 1. 函数ymxmm()2229是反比例函数，则m的值是（） A. m4或m2B. m4 C. m2D. m1 2. 下列函数中，是反比例函数的是（） A. yx2B. yx12 C. yx11D. yx12 3. 函数ykx与ykx（k0）的图象的交点个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定 4. 函数ykxb与ykxkb()0的图象可能是（）A B C D 5. 若 y 与 x 成正比， y 与 z 的倒数成反比，则z 是 x 的（） A. 正比例函数 B. 反比例函数 C
29、. 二次函数D. z 随 x 增大而增大 6. 下列函数中y 既不是 x 的正比例函数，也不是反比例函数的是（） A. yx19B. 105xy: C. yx412D. 152xy二. 填空题7. 一般地，函数_是反比例函数，其图象是_，当k0时，图象两支在_象限内。8. 已知反比例函数yx2，当y6时，x_。9. 反比例函数yaxaa()3224的函数值为4 时，自变量x 的值是 _。10. 反比例函数的图象过点（3， 5） ，则它的解析式为_ 11. 若函数yx4与yx1的图象有一个交点是（12，2） ，则另一个交点坐标是_。三 . 解答题12. 直线ykxb过 x 轴上的点A （32，0） ，且与双曲线ykx相交于 B、C两点，已知B点坐标为（12，4） ，求直线和双曲线的解析式。13. 已知一次函数yx2与反比例函数ykx的图象的一个交点为P（a，b） ，且 P 到原点的距离是 10，求 a、b 的值及反比例函数的解析式。14. 已知函数ymm xmm()21222是一次函数，它的图象与反比例函数ykx的图象交于一点，交点的横坐标是13，求反比例函数的解析式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页