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1、-高中数学选修2-1第三章空间向量检测题(一)-第 17 页选修2-1第三章空间向量检测题(一)第卷(选择题，共60分)题号123456789101112答案一、选择题(每小题5分，共60分)1已知向量a(2，3,5)与向量b(3，)平行，则()A. B. C D2在长方体ABCDA1B1C1D1中，等于()A.B.C.D.3若向量a(1，m,2)，b(2，1,2)，若cosa，b，则m的值为()A2 B2C2或 D2或4已知空间向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，则与向量ab方向相反的单位向量的坐标是()A(0,1,2) B(0，1，2)C(0，) D(0，)5已知A，B，C三点不共线，
2、对平面ABC内任一点O，下列条件中能确定M与点A，B，C一定共面的是()A. B.2C. D.6.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且2，现用基向量，表示向量，设xyz，则x，y，z的值分别是()Ax，y，z Bx，y，zCx，y，z Dx，y，z7.如图所示，已知三棱锥ABCD，O为BCD内一点，则()是O为BCD的重心的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件8已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，若ABCD是边长为2的正方形，AA11，A1ADA1AB60，则BD1的长为()A3 B
3、. C. D99.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF与BC1所成的角是()A45 B60 C90 D12010把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥的体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为()A90 B60 C45 D3011.如图所示，在三棱锥PABC中，APBBPCAPC90，M在ABC内，MPA60，MPB45，则MPC的度数为()A150 B45 C60 D12012已知直二面角PQ，APQ，B，C，CACB，BAP45，直线CA和平面所成的角为30，那么二面角B
4、ACP的正切值为()A2 B3 C. D.第卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13已知四面体ABCD中，a2c，5a6b8c，AC，BD的中点分别为E，F，则_.14在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，AA1，M是CC1的中点，则异面直线AB1与A1M所成角的大小为_15已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABCD是边长为a的正方形，AA1b，A1ABA1AD120，则AC1的长为_16.如图，平面ABCD平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AFADa，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为_三、解
5、答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17(10分)已知A(1，2,11)，B(6，1,4)，C(4,2,3)，D(12,7，12)，证明：A，B，C，D四点共面18(12分)如图，已知点P在正方体ABCDA1B1C1D1的体对角线BD1上，PDA60.(1)求DP与CC1所成角的大小；(2)求DP与平面AA1D1D所成角的大小19.(12分)如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点(1)求证A1EBD；(2)若平面A1BD平面EBD，试确定E点的位置20.(12分)如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE平面ABCD，BAD
6、ADC90，ABADCDa，PDa.(1)若M为PA的中点，求证：AC平面MDE；(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小21.(12分)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD2，AB1，BMPD于点M.(1)求证AMPD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值22.(12分)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，且BAD120，PA平面ABCD，PA2，M，N分别为PB，PD的中点(1)证明MN平面ABCD；(2)过点A作AQPC，垂足为点Q，求二面角AMNQ的平面角的余弦值第三章单元质量评估(一)1Cab，bma(mR)
7、，得.2A.3Cab6m，|a|，|b|3，cosa，b，解得m2或m.4D由已知得ab(0,1,2)且|ab|，则与向量ab方向相反的单位向量为(0,1,2)(0，)故选D.5D6D连接ON，M，N分别是对边OA，BC的中点，()，()()，x，yz.故选D.7C8A，|22()2|2|2|22224410221()2219，|3，即BD1的长为3.9B以点B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设各棱长为2，则E(0,1,0)，F(0,0,1)，C1(2,0,2)，B(0,0,0)，则(0，1,1)，(2,0,2)，cos，60，直线EF与BC1所成的角为60.10C翻折后A，B，C，
8、D四点构成三棱锥的体积最大时，平面ADC平面BAC，设未折前正方形对角线的交点为O，则DBO即为BD与平面ABC所成的角，大小为45.11.C如右图所示，过M作MH面PBC于H，则MHAP，MPH30，cos45cosHPBcos30，cosHPB，cosHPC.又cosHPCcos30cosMPC，cosMPC，MPC60.12A在平面内过点C作COPQ于O，连接OB.又，则OCOB，OCOA，又CACB，所以AOCBOC，故OAOB.又BAP45，所以OAOB.以O为原点，分别以OB，OA，OC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)不妨设AC2，由CAO30，知OA，OCOA
9、B中，ABOBAO45，则OBOA，所以B(，0,0)，A(0，0)，C(0,0,1)，(，0)，(0，1)，设平面ABC的法向量为n1(x，y，z)，由，取x1，则y1，z，所以n1(1,1，)，易知平面的一个法向量为n2(1,0,0)，则cosn1，n2，又二面角BACP为锐角，由此可得二面角BACP的正切值为2.133a3b5c解析：如图所示，取BC的中点M，连接EM，MF，则(a2c)(5a6b8c)3a3b5c.14.解析：由条件知AC，BC，CC1两两垂直，如图，以C为原点，CB，CA，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，A(0，0)，B1(1,0，
10、)，M，A1(0，)，(1，)，cos，0，即直线AB1与A1M所成角为.15.解析：设a，b，c，则|a|b|a，|c|b，abc，|2(abc)22a2b22ab，|.16.解析：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，F(a,0,0)，(a，a,0)，(0,2a,2a)，(a，a,0)，设平面AGC的一个法向量为n1(x1，y1,1)，由，得，则，故n1(1，1,1)设GB与平面AGC所成的角为，则sin.17证明：(5,1，7)，(3,4，8)，(11,9，23)，设xy，得，解得x1，y2.所以2，则，为共面
11、向量，又，有公共点A，因此A，B，C，D四点共面18解：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则(1,0,0)，(0,0,1)，连接BD，B1D1，在矩形BB1D1D中，延长DP交B1D1于H点设(m，m,1)(m0)，60，则|cos，可得2m，得m，所以(，1)(1)cos，所以，45，即DP与CC1所成的角为45.(2)平面AA1D1D的一个法向量为(0,1,0)，cos，所以，60，故DP与平面AA1D1D所成的角为30.19.(1)证明：如图所示，以D为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为a，则A(a,0,0)，B(a，a,0
12、)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，设E(0，a，e)，则(a，a，ea)，(a，a,0)，a(a)a(a)(ea)00，则A1EBD. (2)解：当E为CC1的中点时，平面A1BD平面EBD.由题意可得DEBE，EOBD.同理A1OBD，A1OE为二面角A1BDE的平面角，EOa，A1Oa，A1E2(a)22a2，EO2A1O2a2A1E2，A1OE90，平面A1BD平面EBD.20解：四边形PDCE是矩形，且平面PDCE平面ABCD，平面PDCE平面ABCDCD，PD平面ABCD，则PDAD，PDDC，又ADC90，PD，AD，DC两两垂直以D为原点，分别以DA，
13、DC，DP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知，得D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E(0,2a，a)，C(0,2a,0)，B(a，a,0)(1)M为PA的中点，M(，0，)，则(a,2a,0)，(，0，)，(0,2a，a)设平面MDE的法向量为m(x，y，z)，由题意得，则，取m(2,1，)而m(a)22a00，且AC平面MDE，AC平面MDE.(2)平面PAD的一个法向量n1(0,1,0)，(0,2a，a)，(a，a，a)设平面PBC的法向量为n2(x0，y0，z0)，则有，即，取n2(1,1，)设平面PAD与PBC所成锐二面角的大小为，则有cos|
14、cosn1，n2|，则60，平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为60.21(1)证明：PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.ABAD，ADPAA，AB平面PAD.PD平面PAD，ABPD.BMPD，ABBMB，PD平面ABM.AM平面ABM，AMPD.(2)解：如右图所示，以点A为坐标原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，M(0,1,1)，则(1,2,0)，(0,1,1)，(1,0,0)设平面ACM的一个法向量为n(x，y，z)，由n，n可得令z1，得x2，y
15、1，n(2，1,1)设直线CD与平面ACM所成的角为，则sin，cos，直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为.22(1)证明：连接BD，因为M，N分别为PB，PD的中点，所以MN是PBD的中位线，所以MNBD.又因为MN平面ABCD，所以MN平面ABCD.(2)解法1：连接AC交BD于O，以O为原点，所在直线为x轴、y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示在菱形ABCD中，BAD120，得ACAB2，BDAB6，又因为PA平面ABCD，所以PAAC，在直角三角形PAC中，AC2，PA2，AQPC，得QC2，PQ4.由此知各点坐标如下：A(，0,0)，B(0，3,0)，C(，0,0)，D(0
16、,3,0)，P(，0,2)，M，N，Q.设m(x1，y1，z1)为平面AMN的一个法向量，由m，m知取z11，得m(2，0，1)设n(x2，y2，z2)为平面QMN的一个法向量，.由n，n知取z25，得n(2，0,5)故cosm，n，所以二面角AMNQ的平面角的余弦值为.解法2：如图所示，在菱形ABCD中，BAD120，得ACABBCCDDA，BDAB.又因为PA平面ABCD，所以PAAB，PAAC，PAAD，所以PBPCPD，所以PBCPDC.而M，N分别是PB，PD的中点，所以MQNQ，且AMPBPDAN.取线段MN的中点E，连接AE，EQ，则AEMN，QEMN，所以AEQ为二面角AMNQ的平面角，由AB2，PA2，故在AMN中，AMAN3，MNBD3，得AE.在直角三角形PAC中，AQPC，得AQ2，QC2，PQ4，在PBC中，cosBPC，得MQ.在等腰三角形MQN中，MQNQ，MN3，得QE.在AEQ中，AE，QE，AQ2，得cosAEQ，所以二面角AMNQ的平面角的余弦值为 .