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1、第三章 空间向量2一、空间向量 （A）1. 在底面是直角梯形的四棱锥PABCD中，侧棱PA底面ABCD，BCAD，ABC90，PAABBC2，AD1，则AD到平面PBC的距离为_2. 在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为_3如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。 （）求证：ACSD；（）若SD平面PAC，求二面角P-AC-D的大小（）在（）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。 解：（）；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为
2、轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。 设底面边长为，则高。 于是 故 从而 ()由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为 （）在棱上存在一点使. 由（）知是平面的一个法向量， 且 设 则 而 即当时，而不在平面内，故4如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，分别是的中点（）证明：；（）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值（）证明：由四边形为菱形，可得为正三角形PBECDFA因为为的中点，所以又，因此因为平面，平面，所以而平面，平面且，所以平面又平面，所以（）解：设，为上任意一点，连接由（）知平面，PBECDFAHOS则为与平面所成的角
3、在中，所以当最短时，最大，即当时，最大此时，因此又，所以，所以PBECDFAyzx解法二：由（）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以，所以设平面的一法向量为，则因此取，则，因为，所以平面，故为平面的一法向量又，所以因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为二、空间向量在立体几何中的应用 （B） 1. 从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60，则二面角BPAC的余弦值是()A. B. C. D.2. 把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，O是正方形中心，则折起后，EOF的大小为()A45 B90 C120
4、 D603如图，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，且（）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（）求二面角的正弦值；（）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点. 依题意得 （I）解：易得， 于是 所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 （II）解：易知 设平面AA1C1的法向量， 则即 不妨令可得， 同样地，设平面A1B1C1的法向量， 则即不妨令，可得于是从而所以二面角AA1C1B的正弦值为 （III）解：由N为棱B1C1的中点，得设M（a，b，0），则由平面A1B1C1，得即解得故因此，所以线段BM的长为4如图1，在RtABC中，C=90，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE=2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD,如图2.(I)求证：A1C平面BCDE；(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由解：（1），平面，又平面，又，平面。（2）如图建系，则，,设平面法向量为则 又，与平面所成角的大小。（3）设线段上存在点，设点坐标为，则则，设平面法向量为，则 。假设平面与平面垂直，则，不存在线段上存在点，使平面与平面垂直。7