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9.6 空间向量的夹角和距离公式,莱州市第十三中学 孙兴文,一、向量的直角坐标运算,在空间直角坐标系中，已知、 ，则,二、距离与夹角 （1）空间两点间的距离公式,（2）.两个向量夹角公式,注意： （1）当 时，同向； （2）当 时，反向； （3）当 时，。,思考：当 及 时， 的夹角在什么范围内？,练习一：,1.求下列两个向量的夹角的余弦：,2.求下列两点间的距离：,三、应用举例,例1已知、，求： 线段的中点坐标和长度；,解：设是的中点，则,点的坐标是.,例2如图，在正方体中， ，求与所成的角的余弦值。,解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系，则,例2如图，在正方体中， ，求与所成的角的余弦值。,正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别是C1A， D1 A1的中点，1）求cos.2）求点A到直线EF的距离。（用向量法）,课堂练习：,解:,课堂练习：,解:,课堂练习：,思路二:,课堂练习：,四、课堂小结：,1.基本知识：,（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；,（2）两个向量的夹角公式。,2.思想方法：用向量计算或证明几何问题 时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐 标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或 证明。,作业与练习,P74：1、2、4,