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1、关于向量法求夹角现在学习的是第1页，共36页abABCD设异面直线a、b的夹角为cos = AB , CDcos| |=AB CDAB| |CD| | = AB , CD或 = AB , CD 利用两条直线的方向向量的夹角的余弦的绝对值为两直线的夹角的余弦而得。1 求直线和直线所成的角现在学习的是第2页，共36页例1 正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F12的底面边长为1,侧棱长为,则这个棱柱的侧面对角线 E1D与BC1所成的角是（ ）C1D1E1F1A1DBCFEAB1A.90 B. 60 C. 45 D. 30 (2002年全国高考） 解法一：连结FE1、FD 、BC1四边形BFE1
2、C1是平行四边形 FE1 BC1 FE1D是异面直线E1D与BC1所成的角或补角底长为1，棱长为231DE= FE13DF又 FDE1为等边三角形 FE1D= 60 B现在学习的是第3页，共36页解法2：建立如图所示的直角坐标系。C1D1E1F1A1DBCFEAB1zxy，0 ,23,23B，2, 3, 11C，0 , 3, 0D.2,23,211EBC1，2,23,21DE1.2,23,21cos , =BC1DE1BC1 DE1|BC1| |DE1|32321故 , BC1DE1= 60 E1D与BC1所成的角是60故应选 B现在学习的是第4页，共36页一 法向量：如果一个向量所在直线垂直
3、于平面，则该向量是平面的一个法向量。1 证明线面平行二 法向量的主要作用取和直线平行的向量，验证该向量和法向量的点积是否为零。a设平面的法向量为n ,na 是 a 的方向向量.aa n = 0a a现在学习的是第5页，共36页例1.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,E是的BB1中点,求证:BD1平面A1C1 ECDBAB1C1D1A1EO法一：证明：连B1D1交A1C1于O连OEOD1= OB1B1E = BE OE BD1BD1平面A1C1 EOE 平面A1C1 EBD1平面A1C1 E现在学习的是第6页，共36页ECDC1D1BAA1B1zxy证法二：如图所示建立直角坐标系,且设正方
4、体的棱长为2,D1(0,0,0),B(2,2,2), A1(2,0,0),C1(0,2,0),E(2,2,1)D1B=(2,2,2)A1E=(0,2,1)C1E=(2,0,1)设平面A1EC1的法向量为n = (x,y,z)nA1E =2y+ z =0nC1E =2x+ z =0令 x =1 时， z =2 ，y =1n = (1 ,1, 2 )D1B n = 0D1B nD1B 平面A1EC1 D1B 平面A1EC1现在学习的是第7页，共36页2 证明面面垂直如图设n1,n2 分别是平面、的法向量n1n2n1 n2 = 0当时a验证两个平面的法向量的点积是否为零。现在学习的是第8页，共36页
5、3、求直线和平面所成的角CBn设直线BA与平面的夹角为，n 为平面的法向量,Ag1n 与向量BA 的夹角为锐角g1当12g=CBAng2n 与向量BA 的夹角为钝角g2当22g=现在学习的是第9页，共36页BACOEF例1 如图所示,已知正四面体OABC，E、F分别是AB、OC的中点。 (1) 求OE与BF所成的角； （2）求BF与平面ABC所成的角。分析:(1)设OA =caOB = bOC =abc求出OE ,BF,然后可求cos OE ,BFBFOE | |OE | |BF =(2)可过点O作OO平面ABC于点O，O若OO与BF所成的角为20，则BF与平面ABC所成的角为2现在学习的是第
6、10页，共36页BACOEFabc解:(1)设正四面体OABC的棱长为1,OA =caOB = bOC =则a b =c b =a c21| |= 1a| |=| |=bcOE21( + )abBF21cbOE BF = 21( + )ab( )21cb21( 21a c+21cb a b| |2b)12141412121现在学习的是第11页，共36页cos OE ,BFBFOE | |OE | |BF =23232132OE与BF所成的角为32arccos2BACOEFabc现在学习的是第12页，共36页（2）求BF与平面ABC所成的角。BACOEFabc(2)作OO平面ABC于点O，设OO
7、与BF所成的角为20,则BF与平面ABC所成的角为2OOO=OC +COc=32CEc=32( )OEOCc= 21( + )ab32c31( + )abc+现在学习的是第13页，共36页BACOEFabcO| |2OO91( + )2abc+( + )91|a|2|b|2+|c|2 +2a bc b+2+2a c339132 | |OO36cos =OO,BFBFOO | |OO| |BF =( )21cb31( + )abc+2336cbbbaccbca2221212132现在学习的是第14页，共36页BACOEFabcOcbbbaccbca2221212132cos OO,BF21121
8、214141323232arccos求BF与平面ABC所成的角32arccos232arcsin评析:利用向量讨论线面关系不需作辅助线，但需要正确设出空间向量的基底，再利用多面体的性质算出或找出其它的向量。现在学习的是第15页，共36页baln1n2g4.法向量的夹角与二面角的平面角的关系 设 , = gn1n2设a l b的平面角为 gbaln1n2gg两个平面的法向量同时指向或背离。现在学习的是第16页，共36页baln1n2gbaln1n2g 设 , = gn1n2设a l b的平面角为 g两个平面的法向量一个指向另一个背离。现在学习的是第17页，共36页例1 如图,在棱长为1的正方体A
9、BCDA1B1C1D1中,AC与BD交于点E, C1B与CB1交于点F.(1) 求证：A1C平面BDC1(2) 求二面角BEFC的大小(结果用反三角函数表示)证明:(1)以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则FEC1D1CDB1A1BAzxyC (0,1,0),A1(1,0,1),B (1,1,0),D (0,0,0),C1(0,1,1),A1C= (1,1, 1),C1D= (0, 1, 1),BD =(1, 1, 0)A1C C1D= 01+1=0A1C C1DA1C BD= 11+0=0A1C BDC1D BD=DA1C平面BDC1现在学习的是第18页，共36页解: (2)同（
10、1）可知,D1B平面AB1CzxyEFC1D1CDB1A1AB由(1) A1C平面BDC1即向量D1B 是平面AB1C的一个法向量。,A1C 是平面BDC1的一个法向量。A1C= (1,1, 1),D1B= (1,1, 1),cos , A1C D1BA1C D1B=| |A1C D1B| |31故二面角BEFC的为31arccos现在学习的是第19页，共36页例2.(2001年全国）如图,在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中, .21AD与面SBA所成的二面角的正切值。DBCAs解法1：延长BA、CD相交于E,E连接SE,则SE是所求二面角的棱AD BCBC=2 AD EA=AB=SASES
11、BSA面ABCDSABCBC ABBC 面SEBSB是SC在面SEB上的射影。ABC=90,SA面ABCD,求面SCDSA= BC=AB=1,现在学习的是第20页，共36页EDBCAsSCSECSB是所求二面角的平面角.22ABSASB2BC=1SBC=90tan BSCSBBC22即所求二面角的正切值为22现在学习的是第21页，共36页DBCAszxy解法2 ：建立如图所示的直角坐标系0 , 0 ,21D则,C(1,1,0),S(0,0,1)AD0 , 0 ,21且AD 是面SBA的法向量设平面SCD的法向量n =(x,y,z)DC0 , 1 ,21SD1, 0 ,21n DC =0n SD
12、 =0即021 yx021 zx现在学习的是第22页，共36页DBCAszxy即021 yx021 zx令x=1,则，21y21zn21,21, 1cosa= n AD|n|AD|36从而 tana22反思研究：求二面角大小可转化为求两个平面的法向量的夹角大小，两平面法向量的夹角与二面角的大小相等或互补，解题时要注意结合题目条件进一步确定二面角的大小。现在学习的是第23页，共36页例3(2001年天津）如图,以正四棱锥VABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz,其中oxBC, oyAB, E为VC的中点,正四棱锥底面边长为2a,高为h.(1)求 cos BE ,DE（2）记面BC
13、 V为a,面DCV为b,BED是二面角aVC b的平面角,求BED。zyxOCDAVEB解:(1)依题意:B(a, a,0), C(a, a,0),D(a,a,0)2,2,2haaEBE2,2,23haaDE2,23,2haa现在学习的是第24页，共36页zyxOCDAVEBBE2,2,23haaDE2,23,2haaBE DE42322ha| |BE又2222223haa221021ha | |DE2222223haa221021ha cos =BE ,DEDEBE | |BE| |DE 2222106haha现在学习的是第25页，共36页zyxEOCDBAV(2) BED是二面角aVC b
14、的平面角BE CVBE CV =0又由C(a, a,0),V(0, 0, h)CV =(a, a, h),BE又2,2,23haaBE CV2223222haa=0ah2cos BE ,DE2222106hahacos BE ,DE222221026aaaa31 BED= BE ,DE31arccos31arccos现在学习的是第26页，共36页巩固 练习例1 (2002年新教材高考题)如图所示,正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a,侧棱长为a2(1) 建立适当的坐标系,并写出点A、B、A1、C1的坐标；(2)求AC1与侧面ABB1A1所成的角。11ACBBCA1解:(1) 如图以点A为坐
15、标原点O,以AB所在的直线为oy轴,y以AA1所在直线为oz轴,z以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为ox轴,建立空间直角坐标系,由已知得xA(0,0,0),B(0,a,0)A1(0,0, )a2aaaC2,2,231现在学习的是第27页，共36页zxyACBB1C1A1(2) 取A1B1的中点M,于是有MaaM2,2, 0连MC1、AM,有MC10 , 0 ,23aAB=(0,a,0),AA1a2, 0 , 0由于MC1 AB=0MC1 AA1=0MC1 平面ABB1A1AC1 与AM所成的角就是AC1 与侧面ABB1A1所成的角。AC1aaa2,2,23aaa2,2,23AMaa2,
16、2, 0AC1 AM22240aa249a现在学习的是第28页，共36页zxyACBB1C1A1MAC1AMaa2,2, 0AC1 AM22240aa249aaaa2,2,23|AC1|又2222443aaaa3|AM|2224aaa23cos , =AC1AM249aa3a2323 AC1 与侧面ABB1A1所成的角为30评析:本题主要考查空间直角坐标系的概念，空间点和向量的坐标表示以及向量夹角的计算方法，考查运用向量研究空间图形的数学思想方法。现在学习的是第29页，共36页B1C1BA1C例2(2003年全国)如图直三棱柱ABCA1B1C1底面是等腰直角三角形,ACB=90,侧棱AA1=2
17、,D、E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.求A1B与平面ABD所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)AEDG解:连结BG,则BG是BE在面ABD上的射影即A1BG是A1B与ABD所成的角。如图所示建立直角坐标系,坐标原点为C设CA=2a,则 A(2a,0,0 ), B(0, 2a, 0 ),D(0, 0 , 1 ),E(a, a , 1 ),31,32,32aaG32,3,3aaGEBD=(0, 2a, 1 )GE 由BD32322a=0得 a= 1现在学习的是第30页，共36页B1C1BA1CAEDG B(0,2,0),A1(2,0,2)31,32,32
18、,GBA1=(2, 2 ,2),BG31,34,32 cosA1BG=BA1 BG|BA1| |BG|21313231437A1B与平面ABD所成的角是37arccos现在学习的是第31页，共36页EOCDBAS3.正四棱锥SABCD的棱长为2，底面的边长为, 3E是SA的中点，求异面直线BE和SC所成的角。解法1：设O为底面的中心，连EO则 EOSCSCEO21则BEO为异面直线BE和SC所成的角SCEO2122126BO又 BD面SAC BDOE tan BEOEOBO3 BEO = 60异面直线BE和SC所成的角为60现在学习的是第32页，共36页EODBAS解2：如图所示建立空间直角坐
19、标系zyxC2, 3SAAB,22SO0 ,23,23B0 ,23,23, A0 ,23,23,C22, 0 , 0,S42,43,43EBE42,433,43SC22,23,23现在学习的是第33页，共36页EODBASzyxCBE42,433,43SC22,23,23BE SC=1BE| |=| |=SC22cos =BE , SC22121 = 120BE , SC异面直线BE和SC所成的角为60现在学习的是第34页，共36页4 正四棱锥SABCD底面边长为4,高为6,点P是高SO的中点,点Q是侧面SBC的重心,求：（1）点P到Q的距离；（2）异面直线PQ与BS所成的角。PCDBASQ解：如图,以O为原点,CA、DB、OS所在直线分别为x、 y 、z 轴,建立空间直角坐标系,则zxyO则 P (0,0,3),S(0,0,6),0 ,22 , 0B0 , 0 ,22C点Q是侧面SBC的重心2 ,322,322QPQ1,322,3222221322322PQ现在学习的是第35页，共36页感谢大家观看现在学习的是第36页，共36页