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1、关于向量法求夹角第1页，讲稿共36张，创作于星期日abABCD设设异面异面直线直线a、b的夹角为的夹角为cos=AB,CDcos|=AB CDAB|CD|=AB,CD或或=AB,CD 利用两条直线的方向向量的夹角的利用两条直线的方向向量的夹角的余弦余弦的的绝对值绝对值为两直线的夹角的余弦而得。为两直线的夹角的余弦而得。1 1 求直线和直线所成的角求直线和直线所成的角第2页，讲稿共36张，创作于星期日例例1 正六棱柱正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面边长为的底面边长为1,侧棱长为侧棱长为,则这个则这个棱柱的侧面对角线棱柱的侧面对角线 E1D与与BC1所成的角是（所成的角是（）C1
2、D1E1F1A1DBCFEAB1A.90 B.60 C.45 D.30 (2002年全国高考）年全国高考）解法一：解法一：连结连结FE1、FD、BC1四边形四边形BFE1C1是是平行四边形平行四边形 FE1 BC1 FE1D是异面直线是异面直线E1D与与BC1所成的角或补角所成的角或补角底长为底长为1，棱长为棱长为=FE1 FDE1为等边三角形为等边三角形 FE1D=60 B第3页，讲稿共36张，创作于星期日解法解法2：建立如图所示的直角坐标系。：建立如图所示的直角坐标系。C1D1E1F1A1DBCFEAB1zxyBC1DE1cos ,=BC1DE1BC1 DE1|BC1|DE1|故故 ,BC
3、1DE1=60 E1D与与BC1所成的角是所成的角是60故应选故应选 B第4页，讲稿共36张，创作于星期日一一 法向量法向量：如果一个如果一个向量向量所在所在直线直线垂直于垂直于平面平面，则，则该向量是平面的该向量是平面的一一个个法向量法向量。1 1 证明线面平行证明线面平行二二 法向量的主要作用法向量的主要作用取和直线取和直线平行平行的向量，验证该的向量，验证该向量向量和和法向量法向量的的点积点积是否为零。是否为零。a设平面设平面的法向量为的法向量为n,na 是是 a 的的方向方向向量向量.aa n=0a a第5页，讲稿共36张，创作于星期日例例1.如图如图,正方体正方体ABCDA1B1C1
4、D1中中,E是的是的BB1中点中点,求证求证:BD1平面平面A1C1 ECDBAB1C1D1A1EO法一：证明：法一：证明：连连B1D1交交A1C1于于O连连OEOD1=OB1B1E=BE OE BD1BD1 平面平面A1C1 EOE 平面平面A1C1 EBD1平面平面A1C1 E第6页，讲稿共36张，创作于星期日ECDC1D1BAA1B1zxy证法二：如图所示建立直角坐标系证法二：如图所示建立直角坐标系,且设且设正方体的棱长为正方体的棱长为2,D1(0,0,0),B(2,2,2),A1(2,0,0),C1(0,2,0),E(2,2,1)D1B=(2,2,2)A1E=(0,2,1)C1E=(2
5、,0,1)设平面设平面A1EC1的法向量为的法向量为n=(x,y,z)nA1E=2y+z=0nC1E=2x+z=0令令 x=1 时，时，z=2，y=1n=(1,1,2)D1B n=0D1B nD1B 平面平面A1EC1 D1B 平面平面A1EC1第7页，讲稿共36张，创作于星期日2 2 证明面面垂直证明面面垂直如图设如图设n1,n2 分别是平面分别是平面、的的法向量法向量n1n2n1 n2=0当当时时a a验证两个平面的验证两个平面的法向量法向量的的点积点积是否为零。是否为零。第8页，讲稿共36张，创作于星期日3、求直线和求直线和平面所平面所成的角成的角CBn设直线设直线BA与平面与平面的夹角
6、为的夹角为，n 为平面为平面的的法向量法向量,Ag g1 1n 与向量与向量BA 的夹角为锐角的夹角为锐角g g1 1当当=CBAng g2 2n 与向量与向量BA 的夹角为钝角的夹角为钝角g g2 2当当=第9页，讲稿共36张，创作于星期日BACOEF例例1 如图所示如图所示,已知正四面体已知正四面体OABC，E、F分别是分别是AB、OC的中点。的中点。(1)求求OE与与BF所成的角；所成的角；（2）求）求BF与平面与平面ABC所成的角。所成的角。分析分析:(1)设设OA=caOB=bOC=abc求出求出OE,BF,然后可求然后可求cos OE,BFBFOE|OE|BF=(2)可过点可过点O
7、作作OO 平面平面ABCABC于点于点O O，O若若OO与与BF所成的角为，则，则BF与平面与平面ABC所成的角为所成的角为第10页，讲稿共36张，创作于星期日BACOEFabc解解:(1)设正四面体设正四面体OABC的棱长为的棱长为1,OA=caOB=bOC=则则a b=c b=a c|=1a|=|=bcOE(+)abBFcbOE BF =(+)ab()cb(a c+cb a b|2b)第11页，讲稿共36张，创作于星期日cos OE,BFBFOE|OE|BF=OE与与BF所成的角为所成的角为BACOEFabc第12页，讲稿共36张，创作于星期日（2）求）求BF与平面与平面ABC所成的角。所
8、成的角。BACOEFabc(2)作作OO 平面平面ABCABC于点于点OO，设设OO与与BF所成的角为,则则BF与平面与平面ABC所成的角为所成的角为OOO=OC+COc=CEc=()OEOCc=(+)abc(+)abc+第13页，讲稿共36张，创作于星期日BACOEFabcO|2OO(+)2abc+(+)|a|2|b|2+|c|2+2a bc b+2+2a c|OOcos =OO,BFBFOO|OO|BF=()cb(+)abc+第14页，讲稿共36张，创作于星期日BACOEFabcOcos OO,BF求求BF与平面与平面ABC所成的角所成的角评析评析:利用向量讨论线面关系不需作辅助线，但需要
9、正确利用向量讨论线面关系不需作辅助线，但需要正确设出空间向量的基底，再利用多面体的性质算出或找出其它的设出空间向量的基底，再利用多面体的性质算出或找出其它的向量。向量。第15页，讲稿共36张，创作于星期日balqn1n2g4.法向量法向量的夹角与二面角的平面角的关系的夹角与二面角的平面角的关系 设设 ,=gn1n2设设a l b的平面的平面角为角为qq=gbalqn1n2gg两个平面的两个平面的法向量法向量同时同时指向指向或或背离背离。第16页，讲稿共36张，创作于星期日balqn1n2gbalqn1n2g 设设 ,=gn1n2设设a l b的平面的平面角为角为qq=g两个平面的两个平面的法向
10、量法向量一个一个指向指向另一个另一个背离背离。第17页，讲稿共36张，创作于星期日例例1 如图如图,在棱长为在棱长为1的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中中,AC与与BD交于点交于点E,C1B与与CB1交于点交于点F.(1)求证：求证：A1C平面平面BDC1(2)求二面角求二面角BEFC的大小的大小(结果用反三角函数表示结果用反三角函数表示)证明证明:(1)以点以点D为坐标原点建立为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系如图所示的空间直角坐标系,则则FEC1D1CDB1A1BAzxyC(0,1,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C1(0,1,1),A1C=(1,
11、1,1),C1D=(0,1,1),BD=(=(1,1,0)A1C C1D=01+1=0 0A1C C1DA1C BD=11+0=0 0A1C BDC1D BD=DA1C平面平面BDC1第18页，讲稿共36张，创作于星期日解解:(2)同（同（1）可知）可知,D1B平面平面AB1CzxyEFC1D1CDB1A1AB由由(1)A1C平面平面BDC1即向量即向量D1B 是平面是平面AB1C的一个法向量。的一个法向量。,A1C 是平面是平面BDC1的一个法向量。的一个法向量。A1C=(1,1,1),D1B=(1,1,1),cos ,A1C D1BA1C D1B=|A1C D1B|故二面角故二面角BEFC
12、的为的为第19页，讲稿共36张，创作于星期日例例2.(2001年全国）如图年全国）如图,在底面是直角梯形的四在底面是直角梯形的四棱锥棱锥SABCD中中,与面与面SBA所成的二面角的正切值。所成的二面角的正切值。DBCAs解法解法1：延长：延长BA、CD相交于相交于E,E连接连接SE,则则SE是所求二面角的棱是所求二面角的棱AD BCBC=2 AD EA=AB=SASESBSA面面ABCD SABCBC ABBC 面面SEBSB是是SC在面在面SEB上的上的射影射影。ABC=90,SA面面ABCD,求面求面SCDSA=BC=AB=1,第20页，讲稿共36张，创作于星期日EDBCAsSCSECSB
13、是所求二面角的是所求二面角的平面角平面角.BC=1SBC=90tan BSC即所求二面角的正切值为即所求二面角的正切值为第21页，讲稿共36张，创作于星期日DBCAszxy解法解法2：建立如图所示的：建立如图所示的直角坐标系直角坐标系,C(1,1,0),S(0,0,1)AD且且AD 是面SBA的法向量法向量设平面设平面SCD的的法向量法向量n=(x,y,z)DCSDn DC=0n SD=0即即第22页，讲稿共36张，创作于星期日DBCAszxy即即令令x=1,则则ncosa a=n AD|n|AD|从而从而 tana a反思研究：反思研究：求二面角大小可转化为求两个求二面角大小可转化为求两个平
14、面平面的的法向量法向量的的夹角夹角大小，大小，两平面法向量的夹角与二面角的大小两平面法向量的夹角与二面角的大小相等相等或或互补互补，解题时要注意，解题时要注意结合题目条件进一步确定二面角的大小。结合题目条件进一步确定二面角的大小。第23页，讲稿共36张，创作于星期日例例3(20013(2001年天津）如图年天津）如图,以正四棱锥以正四棱锥VABCDVABCD底面中心底面中心O O为坐标原点建立空间直角坐标系为坐标原点建立空间直角坐标系OOxyz,xyz,其中其中o ox xBC,oBC,oy yAB,EAB,E为为VCVC的中点的中点,正四棱锥底面边长为正四棱锥底面边长为2 2a,高为高为h
15、h.(1)(1)求求 cos BE,DE（2 2）记面）记面BC VBC V为为a a,面面DCVDCV为为b b,BEDBED是二面角是二面角a aVC VC b b的平面的平面角角,求求BEDBED。zyxOCDAVEB解解:(1)(1)依题意依题意:B(B(a,a,0),0),C(C(a,a,0),0),D(D(a,a,0)0)BEDE第24页，讲稿共36张，创作于星期日zyxOCDAVEBBEDEBE DE|BE又又|DEcos =BE,DEDEBE|BE|DE 第25页，讲稿共36张，创作于星期日zyxEOCDBAV(2)(2)BEDBED是二面角是二面角a aVC VC b b的平
16、面角的平面角BE CVBE CV=0=0又由又由C(C(a,a,0),0),V(0V(0,0,h)CV=(=(a,a,h),),BE又又BE CV=0cos BE,DEcos BE,DE BEDBED=BE,DE第26页，讲稿共36张，创作于星期日巩固巩固 练习练习例例1(2002年新教材高考题年新教材高考题)如图所示如图所示,正三棱柱正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为的底面边长为a,侧棱长为侧棱长为(1)建立适当的坐标系建立适当的坐标系,并写出点并写出点A、B、A1、C1的坐标；的坐标；(2)求求AC1与侧面与侧面ABB1A1所成的角。所成的角。11ACBBCA1解解:(1)如图以点如图
17、以点A为坐标原点为坐标原点O,以以AB所在所在的直线为的直线为oy轴轴,y以以AA1所在直线为所在直线为oz轴轴,z以经过原点且与平面以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线垂直的直线为为ox轴轴,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,由已知得由已知得xA(0,0,0),B(0,a,0)A1(0,0,)第27页，讲稿共36张，创作于星期日zxyACBB1C1A1(2)取取A1B1的中点的中点M,于是有于是有M连连MC1、AM,有有MC1AB=(0,a,0),AA1由于由于MC1AB=0MC1AA1=0MC1 平面平面ABB1A1AC1 与与AM所成的所成的角角就是就是AC1 与侧面与侧面ABB
18、1A1所成的所成的角。角。AC1AMAC1 AM第28页，讲稿共36张，创作于星期日zxyACBB1C1A1MAC1AMAC1 AM|AC1|又又|AM|cos ,=AC1AM AC1 与侧面与侧面ABB1A1所成的所成的角角为为30评析评析:本题主要考查空间直角坐标系的概念，本题主要考查空间直角坐标系的概念，空间空间点点和和向量向量的坐标的坐标表示以及表示以及向量夹角向量夹角的计算方法，的计算方法，考查运用考查运用向量向量研究研究空间空间图形的数学图形的数学思想方法思想方法。第29页，讲稿共36张，创作于星期日B1C1BA1C例例2(2003年全国年全国)如图直三棱柱如图直三棱柱ABCA1B
19、1C1底面是等腰直角三角形底面是等腰直角三角形,ACB=90,侧棱侧棱AA1=2,D、E分别是分别是CC1与与A1B的中点的中点,点点E在平面在平面ABD上的射影是上的射影是ABD的重心的重心G.求求A1B与平面与平面ABD所成的角的大小所成的角的大小(结果用反三角函数值表示结果用反三角函数值表示)AE ED DG G解解:连结连结BG,则则BG是是BE在面在面ABD上的上的射影射影即即 A1BG是是A1B与与ABD所成的角。所成的角。如图所示建立直角坐标系如图所示建立直角坐标系,坐标原点为坐标原点为C设设CA=2a,则则 A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1),E(a,a,
20、1),GEBD=(0,2a,1)GE 由由BD=0得得 a=1第30页，讲稿共36张，创作于星期日B1C1BA1CAE ED DG G B(0,2,0),A1(2,0,2)BA1=(2,2,2),BG cos A1BG=BA1 BG|BA1|BG|A1B与平面与平面ABD所成的角是所成的角是第31页，讲稿共36张，创作于星期日EOCDBAS3.正四棱锥正四棱锥SABCD的棱长为的棱长为，底面的边长为，底面的边长为E是是SA的中点，求异面直线的中点，求异面直线BE和和SC所成的角。所成的角。解法解法1：设设O为底面的为底面的中心中心，连，连EO则则 EOSC则则BEO为异面直线为异面直线BE和和
21、SC所成的角所成的角又又 BD面面SAC BDOE tan BEO BEO =60异面直线异面直线BE和和SC所成的角为所成的角为60第32页，讲稿共36张，创作于星期日EODBAS解解2：如图所示建立空间直角坐标系：如图所示建立空间直角坐标系zyxCBESC第33页，讲稿共36张，创作于星期日EODBASzyxCBESCBE SC=1BE|=|=SCcos =BE,SC =120BE,SC异面直线异面直线BE和和SC所成的角为所成的角为60第34页，讲稿共36张，创作于星期日4 4 正四棱锥正四棱锥SABCDSABCD底面边长为底面边长为4 4,高为高为6 6,点点P P是高是高SOSO的中点的中点,点点Q Q是侧面是侧面SBCSBC的的重心重心,求：求：（1 1）点）点P P到到Q Q的距离；的距离；（2 2）异面直线）异面直线PQPQ与与BSBS所成的角。所成的角。PCDBASQ解：如图解：如图,以以O为原点为原点,CA、DB、OS所在直线所在直线分别为分别为x、y、z 轴轴,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,则则zxyO则则 P P(0,0,30,0,3),),S(S(0,0,60,0,6),),点点Q Q是侧面是侧面SBCSBC的的重心重心PQ第35页，讲稿共36张，创作于星期日感感谢谢大大家家观观看看第36页，讲稿共36张，创作于星期日