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1、,第二节,一、正项级数及其审敛法,正项级数的判别法,第十二章,如果级数,满足条件：,称为正项级数。,一、正项级数及其审敛法,数列极限存在准则：单调有界数列必有极限,定理 1. 正项级数,收敛,部分和序列,有界 .,部分和数列 为单调增加数列.,证明:这是一个正项级数，其部分和为:,故sn有界，所以原级数收敛.,定理2 (比较审敛法) 设 和 都是正项级数， 且,(1) 级数 收敛，则级数 收敛； (2) 级数 发散，则级数 发散.,即: 大的收敛, 小的一定收敛; 小的发散, 大的一定发散.,（1）若,则由定理1知,因此,所以级数,（2）若,则由定理1知,因此,所以级数,收敛，,也有界，,收敛
2、；,发散，,也无界，,发散；,推论： 如果正项级数,则定理2中的结论仍,和,从某项N之后满,足关系式:,成立。,例2. 讨论 p 级数,(常数 p 0),的敛散性.,解: 1) 若,因调和级数,所以p 级数,发散 .,发散 ,由比较审敛法可知：,因为当,故,时,2) 若,考虑级数,的部分和,故级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .,结论：p 级数当 p 1 时收敛；当 p 1 时发散。,（2） 时，,几何级数，,收敛。,设收敛于S。,由定理1知，此时P-级数收敛。,公比 ，,法二,调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.,比较审敛法的不便:,须有参考级数.,由比较判别法可知，所给级数
3、也发散.,解：,所以,所以原级数为正项级数。,取,而,是收敛的几何级数，,所以，,是收敛的。,例4 判定级数 的敛散性。,解,即,而级数 收敛，,故级数 收敛。,0,收敛,和,有相同的敛散性。,收敛;,发散,发散;,注意：若,发散，,不一定发散。,定理3.(比较审敛法的极限形式),设两正项级数,本质：比较两正项级数一般项作为无穷小量的阶,由比较审敛法, 得证.,证明,由比较审敛法, 得证.,假设 收敛，,由（2）知 收敛，,与 发散矛盾。,故 发散。,的敛散性.,例5. 判别级数,的敛散性 .,解:,根据比较审敛法的极限形式知,例6. 判别级数,解:,由比较审敛法的极限形式知,解：,收敛,且,
4、由比较判别法的极限形式知，,收敛。,0,收敛,和,有相同的敛散性。,收敛;,发散,发散;,(1)特别取,则,收敛，,若,(2)取,则,发散，,若,（或为+ ）,发散,推论(极限审敛法) 设 为正项级数, (1)若 ，则级数 发散;,(2)如果p1，而 ，则级数 收敛.,例如. 级数,当n 时，,故所给级数收敛,（1）使用比较审敛法（包括推论或极限形式）， 需选取一个适当的、收敛性为已知的级数作为比较 对象。,（2）常用的比较对象有：等比级数、P - 级数和调和 级数。,（3）比较对象的选取有时比较困难。,说明：,定理4 . 比值审敛法 ( Dalembert 判别法),设,为正项级数, 且,则
5、,(1) 当,(2) 当,证: (1),收敛 ,时, 级数收敛 ;,或,时, 级数发散 .,由比较审敛法可知,（3）当 = 1 时，不能用此法判定级数的敛散性。,因此,所以级数发散.,时,说明: 当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如, p 级数,但,级数收敛 ;,级数发散 .,从而,(2) 当,注意:,比较判别法与比值判别法常结合使用,例8. 判定级数,解：因为,所以,故,的收敛性,收敛，,收敛。,比值审敛法的优点：无须寻找比较对象，直接利用级数自身的一般项，因此使用直观方便。,例9. 判定级数,解：,比值判别法失效，需改用其它方法来判别。,的收敛性。,例9. 判定级数,的收敛性。,解：,而
6、级数,由比较判别法知,也是收敛的。,是 p = 2 的 p 级数，是收敛的，,注意：当某个判别法失效时，不要盲目下结论，此 时要改用其它方法进一步判别。,例10. 讨论级数,的敛散性 .,解:,根据定理4可知:,级数收敛 ;,级数发散 ;,(2)当 1 (或为 ) 时，级数发散；,(3)当 = 1 时,不能用此法判定级数的收敛性。,同比值审敛法一样，根值审敛法也有使用直观方便 的优点；,比值审敛法与根值审敛法均要求所用到的极限存在， 且不等于1。,定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法),设,为正项级,则,数, 且,根值审敛法适用于通项含有n次幂；,例11. 判定下列级数的收敛性。,解：
7、因为,所以由根值判别法知，级数,收敛,由两边夹法则,解：因为,所以根值判别法失效,所以所给级数发散。,例11. 判定下列级数的收敛性。,比值判别法与根值判别法的比较：,（1）适用对象,若一般项,中含有因子,则一般考虑用比值法，,若一般项,中含有因子,则一般考虑用根值法，,（2）适用范围,若用根值法失效，即,则用比值法也,一定失效，即此时必有,反之不成立。,（3）一般来说，比值法运算简单，根值法适用范围大。,例12：判定级数,解：因为,且含有因子,（1）当 0 a e ，时，,所给级数收敛；,的收敛性。,（2）当 a e ，时，,所给级数发散；,例12：判定级数,解：因为,且含有因子,的收敛性。,（3）当 a = e ，时，,所以所给级数发散。,例13. 证明,证明：,考察级数,所以所考察级数收敛；,因此，,即,内容小结,1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2. 利用正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,思考题,1.判断级数 的敛散性,反之不成立.,例如：,收敛,发散.,由比较审敛法知 收敛.,提示:,作,业,P225,习题12-2:1(1), 2(1, 3,), 3(1,4) ,4,5(1),作业,