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1、第二节第二节 正项级数的判别法正项级数的判别法一、比较判别法一、比较判别法三三、根值判别法根值判别法二、二、比值判别法比值判别法一、比较判别法一、比较判别法1.1.定义定义: :，中各项均有中各项均有如果级数如果级数01 nnnuu这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数. . nsss212.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件: :定理定理.有界有界部分和所成的数列部分和所成的数列正项级数收敛正项级数收敛ns部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列. .ns且且), 2, 1( nvunn, ,若若 1nnv收敛收敛, ,则则 1nnu收敛；收敛；反之，若反之，若 1
2、nnu发散，则发散，则 1nnv发散发散. .证明证明nnuuus 21且且 1)1(nnv设设,nnvu , 即部分和数列有界即部分和数列有界.1收敛收敛 nnu均为正项级数，均为正项级数，和和设设 11nnnnvu3.3. 比较判别法比较判别法nvvv 21nns 则则)()2( nsn设设,nnvu 且且 不是有界数列不是有界数列.1发散发散 nnv推推论论: : 若若 1nnu收收敛敛( (发发散散) )且且)(nnnnvkuNnkuv , ,则则 1nnv收收敛敛( (发发散散) ). .定理证毕定理证毕. .比较审敛法的不便比较审敛法的不便: : 须有参考级数须有参考级数. . 例
3、例 1 1 讨讨论论 P P- -级级数数 ppppn14131211的的收收敛敛性性. .)0( p解解, 1 p设设,11nnp .级数发散级数发散则则 P, 1 p设设oyx)1(1 pxyp1234由图可知由图可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.级数收敛级数收敛则则 P 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,1ppP重要参考级数重要参考级数: : 几何级数几何级数, P-, P-级数级数, , 调和级数调和级数. .例例 2 2 证明级数证明级数 1)1(1nnn是
4、发散的是发散的.证明证明,11)1(1 nnn,111 nn发散发散而级数而级数.)1(11 nnn发散发散级数级数4.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式: :设1nnu与1nnv都是正项级数, 如果则(1) 当时, 二级数有相同的敛散性; (2) 当时，若收敛, 则收敛; (3) 当时, 若1nnv发散, 则1nnu发散;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu证明证明lvunnn lim)1(由由, 02 l 对于对于,N ,时时当当Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论, , 得证得证. .设设 1n
5、nu为为正正项项级级数数, ,如如果果有有1 p, , 使使得得npnun lim存存在在, ,则则级级数数 1nnu收收敛敛. .例例 3 3 判判定定下下列列级级数数的的敛敛散散性性: :(1) 11sinnn ; (2) 131nnn ;解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim , 1 原级数发散原级数发散.)2(nnn1sinlim nnn311lim , 1 ,311收敛收敛 nn故原级数收敛故原级数收敛.设设 1nnu是是正正项项级级数数, ,如如果果)(lim1 数数或或nnnuu则则1 时时级级数数收收敛敛; ;1 时时级级数数发发散散; ; 1 时时失失效效.
6、 .证明证明,为有限数时为有限数时当当 , 0 对对,N ,时时当当Nn ,1 nnuu有有)(1Nnuunn 即即二、比值判别法二、比值判别法,1时时当当 ,1时时当当 ,1 取取, 1 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu,111 mNmur收敛收敛而级数而级数,11收敛收敛 NnummNuu收敛收敛, 1 取取, 1 r使使,时时当当Nn ,1nnnuruu . 0lim nnu发散发散比值审敛法的优点比值审敛法的优点: 不必找参考级数不必找参考级数. . 两点注意两点注意:1 1. .当当1 时时比比值值审审敛敛法法失失效效; ;,11发散发散级数
7、级数例例 nn,112收敛收敛级数级数 nn(1) ,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收敛收敛级数级数 nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不存在不存在nnnnnauu 2 2. .条条件件是是充充分分的的, ,而而非非必必要要. .例例 4 4 判判别别下下列列级级数数的的收收敛敛性性:(1) 1!1nn; (2) 110!nnn; (3) 12)12(1nnn.解解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收敛收敛故级数故级数 nn),( n)2(!1010)!1(
8、11nnuunnnn 101 n.10!1发散发散故级数故级数 nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值审敛法失效比值审敛法失效, 改用比较审敛法改用比较审敛法,12)12(12nnn ,112收敛收敛级数级数 nn.)12(211收敛收敛故级数故级数 nnn设设 1nnu是是正正项项级级数数, ,如如果果 nnnulim)( 为为数数或或 , ,则则1 时时级级数数收收敛敛; ;,1 ,1 nnn设级数设级数例如例如nnnnnu1 n1 )(0 n级数收敛级数收敛.1 时级数发散时级数发散; ; 1 时失效时失效. .三、根值判别法三、根值判别法
9、 小小 结结 正正 项项 级级 数数 审敛法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法3.按基本性质按基本性质; ;,则则级级数数收收敛敛若若SSn;, 0,则则级级数数发发散散当当 nun思考题思考题 设设正正项项级级数数 1nnu收收敛敛, , 能能否否推推得得 12nnu收收敛敛? ?反反之之是是否否成成立立? ?思考题解答思考题解答由由正正项项级级数数 1nnu收收敛敛，可可以以推推得得 12nnu收收敛敛,nnnuu2lim nnu lim0 由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛. 12nnu反之不成立反之不成立. .例如：例如： 121nn收敛收
10、敛, 11nn发散发散. .一、一、 填空题填空题: :1 1、 p级数当级数当_时收敛时收敛, ,当当_时发散；时发散；2 2、若正项级数、若正项级数 1nnu的后项与前项之比值的根的后项与前项之比值的根 等于等于, , 则当则当_时级数收敛；时级数收敛；_时级数发散；时级数发散； _时级数可能收敛也可能发散时级数可能收敛也可能发散 . .二、二、 用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛性性: : 1 1、 22211313121211nn； 2 2、)0(111 aann . .练练 习习 题题三、三、 用比值审敛法判别下列级数的收敛性用比值审敛法判别下列级数的收敛性: : 1 1、 nnn 232332232133322；2 2、 1!2nnnnn. .四、四、 用根值审敛法判别下列级数的收敛性用根值审敛法判别下列级数的收敛性: :1 1、 1)1ln(1nnn； 2 2、121)13( nnnn. .五、五、 判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性: :1 1、 nn1232；2 2、 13sin2nnn ； 3 3、)0()1()2ln(1 anannn. .练习题答案练习题答案