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1、1.3.2 “杨辉三角”与二次项系数的性质,新课引入,二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？,下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？,(a+b)1,(a+b)3,(a+b)4,(a+b)5,(a+b)2,(a+b)6,(a+b)n,议一议,1）请看系数有没有明显的规律？,2）上下两行有什么关系吗？,3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?,每行两端都是1 Cn0= Cnn=1 从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1,这个表叫做二项式系数表,也称“杨辉三角”,二项式系数的函数
2、观点,展开式的二项式系数依次是：,从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是：,当n=6时，其图象是7个孤立点,定义域0,1,2, ,n,二项式系数的性质,（1）对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式 得到,图象的对称轴：,2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等，,1、在(ab)展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( ),A 第项 B 第项 C 第项 D 第项,则n=_,B,6,请问:一般地,当r满足什么范围时，后一项Cnk比前一项Cnk-1要大?,分析:以上问题即Cnk Cnk-1时，求k的范围?,知识对接测
3、查1,（2）增减性与最大值,由于：,所以 相对于 的增减情况由 决定,二项式系数的性质,由：,即二项式系数前半部分是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。,可知，当 时，,二项式系数的性质,先增后减， 中间项取得最大值,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,1.在(1+x)4的展开式中，二项式系数最大的项是 ； 二项式系数最大的项是第 项. 在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为 ， .,在二项式(x-1)11的展开式中, 求系数最小的项的系数。,最大的系数呢？,知识对接测查2,3,二项式系数的性质,（3）各二项式系数的和,在二项式定理中，令 ，则：,这
4、就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于：,同时由于 ，上式还可以写成：,这是组合总数公式,赋值法,例1、证明：在(ab)n展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.,即证：,n-1,证明,令a=1,b=-1得,特例法 赋值法,知识对接测查3,分析:本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为 由此分析求解,两式相加,倒序相加法,一般地， 展开式的二项式系数 有如下性质：,（1）,（2）,（3）当 n 为偶数时，,（4）,当 n 为奇数时 ，,例3、若 展开式中前三项系数成等差 数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项； （2）展开式中所有x 的有理项； （3）展开式中系数最大的项
5、。,解决系数最大问题，通常设第 项是系数最 大的项，则有,由此确定r的取值,变式引申： 1.求在 的展开式中系数绝对值最大的项,解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则,所以当 时，系数绝对值最大的项为,变式引申： 2、 的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ） A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项 3、若 展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于( ) A.210 B.120 C.461 D.416,解,(1)二项式系数的三个性质,(2) 数学思想：函数思想,a 单调性；,b 图象；,c 最值。,小结,求展开式中系数最大(小)的项,解:,设 项是系数最大的项,则,二项式系数最大的项为第11项,即,所以它们的比是,解决系数最大问题，通常设第 项是系数最 大的项，则有,由此确定r的取值,