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1、一般地，对于一般地，对于n N*有有二项定理二项定理:新课引入新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？有多少个？下面我们来研究二项式系数有些什么性下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过观察质？我们先通过观察n为特殊值时，二项式系为特殊值时，二项式系数有什么特点？数有什么特点？第1页/共24页1615 20 1561(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)2(a+b)6111211331146411510 1051(a+b)nCn0Cn1Cn2CnrCnn第2页/共24页(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b
2、)4(a+b)5(a+b)6议一议议一议1 1）请看系数有没有明显的规律？）请看系数有没有明显的规律？2 2）上下两行有什么关系吗？上下两行有什么关系吗？3 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?第3页/共24页每行两端都是每行两端都是1 Cn0=Cnn=1从第二行起，每行除从第二行起，每行除1以外的每一个数都等以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和于它肩上的两个数的和 Cn+1m=Cnm +Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+这个表叫做二项式系数这个表叫做二项式系数表表,也称也称“杨辉三角杨辉三角”第
3、4页/共24页二项式系数的函数观点二项式系数的函数观点 展开式的二项式展开式的二项式系数依次是：系数依次是：从函数角度看，从函数角度看，可看可看成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数 ,其定义域是：其定义域是：当当n=6时，其图象是时，其图象是7个孤立点个孤立点定义域定义域0,1,2,n 第5页/共24页二项式系数的性质二项式系数的性质 （1 1）对称性）对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到图象的对称轴：图象的对称轴：(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6第
4、6页/共24页2 2、若（、若（a+ba+b）n n的展开式中，第三项的二项的展开式中，第三项的二项式系数与式系数与 第五项的第五项的二项式系数相等，二项式系数相等，1 1、在、在(a(ab)b)展开式中，与倒数第三项二展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是项式系数相等是()()A A 第项第项 B B 第项第项 C C 第项第项 D D 第项第项则则n=_n=_B B6 6请问请问:一般地一般地,当当r r满足什么范围时，后一项满足什么范围时，后一项C Cn nk k比前一项比前一项C Cn nk-1k-1要大要大?分析分析:以上问题即以上问题即C Cn nk k C Cn nk-1k-1时
5、，求时，求k k的范围的范围?知识对接测查知识对接测查1第7页/共24页（2 2）增减性与最大值）增减性与最大值 由于由于：所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定二项式系数的性质由由：即二项式系数即二项式系数前前半部分半部分是是逐渐增大逐渐增大的，由对称性可知它的的，由对称性可知它的后后半部分是半部分是逐逐渐减小渐减小的，且的，且中间项取得最大值中间项取得最大值。可知，当 时，二项式系数的性质二项式系数的性质 第8页/共24页 因此因此,当当n为偶数时为偶数时,中间一项的二项式中间一项的二项式系数 取得最大值；当n为奇数时,中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值。先增
6、后减，中间项取得最大值二项式系数的性质二项式系数的性质 （2 2）增减性与最大值）增减性与最大值 第9页/共24页1.在在(1+x)4的展开式中，二项式系数最大的项是的展开式中，二项式系数最大的项是 ；二项式系数最大的项是第二项式系数最大的项是第 项项.在在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为的展开式中，二项式系数最大为 ，.2.在二项式在二项式(x-1)11的展开式中的展开式中,求系数最小的项的系数。求系数最小的项的系数。最大的系数呢？知识对接测查知识对接测查23第10页/共24页二项式系数的性质二项式系数的性质 （3 3）各二项式系数的和）各二项式系数的和 在二项式定理中，令在二项式
7、定理中，令 ，则：，则：这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：同时由于 ，上式还可以写成：这是这是组合总数公式组合总数公式 赋值法赋值法第11页/共24页例例1 1、证明：在证明：在(ab)n展开式中展开式中,奇数项的二项奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即证：即证：n-1n-1证明证明令令a=1,=1,b=-1=-1得得特例法特例法赋值法赋值法第12页/共24页知识对接测查知识对接测查3第13页/共24页分析分析:本题的左边是一个数列但不能直接求和本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为因为 由此分析求解由此分析求解两式相加两式相加倒序
8、相加法倒序相加法第14页/共24页 一般地，一般地，展开式的二项式系数展开式的二项式系数 有如下性质：有如下性质：（1 1）（2 2）（3 3）当）当 n n 为偶数时，为偶数时，（4 4）当当 n n 为奇数时为奇数时 ，第15页/共24页4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中x的一次项例2 已知 的展开式中，第第16页/共24页例例3、若若 展开式中前三项系数成等差展开式中前三项系数成等差 数列，求数列，求（1）展开式中含）展开式中含x的一次幂的项；的一次幂的项；（2）展开式中所有展开式中所有x 的有理项；的有理项；（3）展开式中系数最大的项。）展开式中系数最大的项。解
9、决系数最大问题，通常设第解决系数最大问题，通常设第 项是系数最项是系数最大的项，则有大的项，则有由此确定由此确定r r的取值的取值第17页/共24页变式引申：1.1.求在求在 的展开式中系数的展开式中系数绝对值绝对值最大的项最大的项 解：设系数绝对值最大的项是第解：设系数绝对值最大的项是第r+1r+1项，则项，则所以当所以当 时，系数绝对值最大的项为时，系数绝对值最大的项为第18页/共24页变式引申：变式引申：2、的展开式中，系数绝对值最大的项是（的展开式中，系数绝对值最大的项是（）A.第第4项项 B.第第4、5项项 C.第第5项项 D.第第3、4项项3、若、若 展开式中的第展开式中的第6项的
10、系数最大，则不项的系数最大，则不含含x的项等于的项等于()A.210 B.120 C.461 D.416第19页/共24页解第20页/共24页(1)二项式系数的三个性质二项式系数的三个性质(2)数学思想：函数思想数学思想：函数思想 a 单调性；单调性；b 图象；图象；c 最值。最值。小结小结第21页/共24页第22页/共24页求展开式中系数最大求展开式中系数最大(小小)的项的项解解:设设 项是系数最大的项项是系数最大的项,则则二项式系数最大的项为第11项,即所以它们的比是解决系数最大问题，通常设第解决系数最大问题，通常设第 项是系数最项是系数最大的项，则有大的项，则有由此确定由此确定r r的取值的取值第23页/共24页谢谢您的观看！第24页/共24页