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1、2.3.4 平面与平面垂直的性质,复习回顾:,()利用定义 作出二面角的平面角,证明平面角是直角,A,B,线面垂直,面面垂直,线线垂直,面面垂直的判定,E,F,思考2 如图,长方体中,, (1)里的直线都和垂直吗?,(2)什么情况下里的直线和垂直?,与AD垂直,不一定,思考3 垂足为B,那么直线AB与平面的位置关系如何? 为什么?,垂直, , ABBE.,又由题意知ABCD, 且BE CD=B,垂足为B.,AB,则ABE就是二面角 的平面角.,证明:在平面 内作BECD,平面与平面垂直的性质定理,符号表示:,两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直,(线是一个平面内垂直于两平
2、面交线的一条直线),作用: 它能判定线面垂直. 它能在一个平面内作与这个平面垂 直的垂线.,关键点:,线在平面内.,线垂直于交线.,思考4 设平面 平面 ,点P在平面 内,过点P作平 面 的垂线a,直线a与平面 具有什么位置关系?,a,a,直线a在平面 内,A,b,a,l,B,垂直,A,b,a,l,分析:寻找平面内与a平行的直线.,解:在内作垂直于 交线的直线b, ab. 又 a. 即直线a与平面平行.,结论:垂直于同一平面的直线和平面平行( ).,A,b,a,l,分析:作出图形.,(法二),(法一),在内作直线a n,证法1:设,在内作直线bm,在内过A点作直线 a n,,证法2:设,在内过
3、A点作直线 bm,,同理,在内任取一点A(不在m,n上),,如果两个相交平面都垂直于另一个平面,那么这两个平面的交线垂直于这个平面.,结论,判断线面垂直的两种方法: 线线垂直线面垂直; 面面垂直线面垂直.,如图:,两个平面垂直应用举例,例题1 如图4,AB是O的直径,点C是O上的动点,过动点C的直线VC垂直于O所在平面,D、E分别是VA、VC的中点,直线 DE与平面VBC有什么关系?试说明理由,解:由VC垂直于O所在平面,知VCAC,VCBC,即 ACB是二面角A-VC-B的平面角由ACB是直径上的圆周角,知 ACB =90。,因此,平面 VAC平面VBC由DE是VAC两边中点连线,知 DEA
4、C,故DEVC由两个平面垂直的性质定理,知直线DE与平面VBC垂直。,注意:本题也可以先推出AC垂直于平面VBC,再由DEAC,推出上面的结论。,例2S为三角形ABC所在平面外一点,SA平面ABC,平面SAB平面SBC。 求证:ABBC。,证明:过A点作ADSB于D点. 平面SAB 平面SBC, AD平面SBC, ADBC.,又 SA 平面ABC, SA BC. ADSA=A BC 平面SAB. BC AB.,练习1:如图,以正方形ABCD的对角线AC为折痕,使ADC和ABC折成相垂直的两个面,求BD与平面ABC所成的角。,A,B,C,D,D,A,B,C,O,O,折成,2.如图,平面AED 平
5、面ABCD,AED是等边三角形,四边形ABCD是矩形,,(1)求证:EACD,M,(2)若AD1,AB ,求EC与平面ABCD所成的角。,(2012北京模拟)如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,ADCD,ABCD,AB=AD=2,CD=4,M为CE的中点. (1)求证:BM平面ADEF; (2)求证:平面BDE平面BEC.,【证明】(1)取DE中点N,连接MN,AN. 在EDC中,M,N分别为EC,ED的中点, 所以MNCD,且MN= CD. 由已知ABCD,AB= CD, 所以MNAB,且MN=AB, 所以四边形ABMN为平行 四边形.所以BMAN. 又因为AN平面ADEF
6、,且BM 平面ADEF, 所以BM平面ADEF.,(2)因为四边形ADEF为正方形, 所以EDAD, 又因为平面ADEF平面ABCD, 且平面ADEF平面ABCD=AD. 又因为ED 平面ADEF, 所以ED平面ABCD. 所以EDBC.,在直角梯形ABCD中,AB=AD=2,CD=4, 可得BC= , 在BCD中,BD=BC= ,CD=4,所以BCBD, BDED=D, 所以BC平面BDE, 又因为BC平面BCE, 所以平面BDE平面BEC.,总结提炼, 已知面面垂直易找面的垂线,且在某一个平面内, 解题过程中应注意充分领悟、应用, 证明面面垂直要从寻找面的垂线入手, 理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的定义, 定义面面垂直是在建立在二面角的定义的基础上的,线面垂直,面面垂直,线线垂直,面面垂直,线面垂直,线线垂直,线线垂直,线面垂直,线线平行,面面平行,面面垂直,垂直、平行关系小结,2.面面垂直的性质推论:,1.平面与平面垂直的性质定理:,a,