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1、-角平分线模型的构造-第 3 页第二讲角平分线模型的构造 3月角平分线(l)定义：如图2-1，如果AOBBOC，那么AOC=2AOB=2BOC，像OB这样，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫作这个角的角平分线(2)角平分线的性质定理如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角，在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等(3)角平分线的判定定理在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线，在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上，与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模型，已知P
2、是MON平分线上一点，(l)若PAOM于点A，如图2-2(a)，可以过P点作PBON于点B，则PB=PA.可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”(2)若点A是射线OM上任意一点，如图2-2(b)，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造OPBOPA.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现”(3)若APOP于点P，如图2-2(c)，可以延长AP交ON于点B，构造AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”(4)若过P点作PQON交OM于点Q，如图2-2(d)，可以构造POQ是等腰三角形，可记为“角平分线十平行线，等腰三角形必呈现”例1 (1
3、)如图2-3(a)，在ABC中，C=90。，AD平分CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB的距离是（ ）cm.(2)如图2-3(b)，已知：1=2，3=4，求证：AP平分BAC例2如图2-4(a)，RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足为D. AF平分CAB，交CD于点E，交CB于点F求证：CE= CF.将图2-4(a)中的ADE沿AB向右平移到A，D，E，的位置，使点E，落在BC边上，其它条件不变，如图2-4(b)所示试猜想：BE与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论例3阅读下列学习材料：如图2-5(a)所示，OP平分MON，A为OM上一点，C为OP上一点，连接AC，在射
4、线ON上截取OB =OA，连接BC(如图2-5(b)，易证AOCBOC.请根据上面的学习材料，解答下列各题：(l)如图2-5(c)所示，在ABC中，AD是BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由(2)如图2-5(d)所示，AD是ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PC PB与ACAB的大小，并说明理由例4如图2-6(a)，已知等腰直角三角形ABC中，A=90，AB=AC，BD平分ABC，CEBD，垂足为点E，求证：BD=2CE.(1)如图2-7(a)，BD、CE分别是ABC的外角平分线，过点A作AD上BD、AECE，垂足分别为D、E，
5、连接DE.求证：DEBC，DE=(AB+BC+AC)；(2)如图2-7(b)，BD、CE分别是ABC的内角平分线，其它条件不变；(3)如图2-7(c)，BD为ABC的内角平分线，CE为ABC的外角平分线，其它条件不变，则在图2-7(b)、图2-7(c)两种情况下，DE与BC还平行吗？它与ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明。变式如图2-8，在ABC中，AB=3AC, BAC的平分线交BC于点D，过点B作BEAD，垂足为E，求证：AD=DE例6如图2-9(a)，AB=AC，BD，CD分别平分ABC，ACB.问：(l)图2-9(a)中有几个等腰三角形？(2)过D
6、点作EFBC，如图2-9(b)，交AB于点E，交AC于点F，图中又增加了几个等腰三角形？(3)如图2-9(c)，若将题中的ABC改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？直接写出线段EF与BE、CF有什么关系？(4)如图2-9(d)，BD平分ABC，CD平分外角ACG. DEBC交AB于点E，交AC于点F线段EF与BE、CF有什么关系？并说明理由(5)如图2-9(e)，BD、CD为外角CBM、BCN的平分线，DEBC交AB延长线于点E，交AC延长线于点F，直接写出线段EF与BE、CF有什么关系？例7如图2-10(a)所示，已知ABC中，AC=BC，C=90，AD平分CAB，求证：A
7、B=ACD变式1如图2-11所示，已知ABC中，AB=AC，A=108，BD平分ABC.求证：BC=ABCD.变式2如图2-12，已知ABC中，AB=AC，A=IOO，BD平分ABC，求证：BC=BDAD.例8如图2-13(a)，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图2-13(b)，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F.请你判断写出FE与FD之间的数量关系；(2)如图2-13(c)，在ABC中，如果ACB不是直角，而(l)中的其他条件不变
8、，请问，你在（1）中所得结论是否依然成立？若成立请证明；若不成立，请说明理由牛刀小试(l)如图2-14 (a)，在ABC中，ABC与ACB的角平分线相交于点F，过点F作DFBC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE之长为（ ）(2)如图2-14(b)，在ABC中，BD、CD分别平分ABC和ACB，DEAB，FDAC.，BC=6，求DEF的周长，2.已知：如图2-15，BAD=CAD，ABAC，CDAD于点D.H是BC中点求证：DH(ABAC).3、已知如图2-16，四边形ABCD中，B+D=180，BC=CD.求证：AC平分BAD.4.如图2-17，ABC的外角/ACD的平
9、分线CP与内角ABC的平分线BP交于点P，连接AP、CP，若BPC=40。，求CAP的度数5.已知：如图2-18，在四边形中，BCAB，AD=CD，BD平分ABC.求证：A+C=1806.在平行四边形ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.(1)在图2-19(a)中证明CECF；(2)若ABC=90，G是EF的中点(如图2-19(b），直接写出BDG的度数；(3)若ABC= 120，FGCE，FG=CE，分别连接DB、DG(如图2-19（c），求BDG的度数7.已知：如图2-20，在ODC中，D一90，EC是DCO的角平分线，且OE CE，过点E作EFOC交OC于点F.猜想：线段EF与OD之间的关系，并证明8.已知：如图2-21，在四边形ABCD中，AB+BCCDDA，ABC的外角角平分线与CDA的外角平分线交于点P，求证：APB=CPD.