《2022年高等数学教学教案§微分方程的基本概念§可分离变量的微分方程.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高等数学教学教案§微分方程的基本概念§可分离变量的微分方程.docx（8页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -7 1微分方程的基本概念72可分别变量的微分方程授课次序 43教学基本指标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_教学课题7 1微分方程的基本概念12 2可分别变量的微分方程教学方法当堂讲授,辅以多媒体教学可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_教学重点微分方程与可分别变量的方程教学难点可分别变量的方程的解法同济高校编 高等数学 （第 6 版） 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_参考教材自编教材 高等数学习题课教程作业布置高等数学 标准化作业可编辑资料 - - - 欢迎下载精
2、品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_双语教学课堂教学目标导数： derivative . 微分： differential calculus .微分方程：differential equation .阶： order .常微分方程：ordinary differential equation.偏微分方程：partial differential equation.解： solution .通解： general solution .特解： special solution .初始条件：initial condition1 明白微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念
3、2 把握可分别变量的方程的解法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_教学过程1 微分方程的基本概念（35min ）.2 可分别变量的方程的解法（55min）教学基本内容可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第七章微分方程7 1微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研 究 因此如何查找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在很多问题中往往不能直接找出所需要的函数关系但是依据问题所供应的情形有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行争论找出未知函数来这就是解微分方程例
4、1 一曲线通过点1 2 且在该曲线上任一点M x y处的切线的斜率为2x 求这曲线的方程例 2 列车在平直线路上以20m/s相当于 72km/h 的速度行驶当制动时列车获得加速度0 4m/s2 问开头制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程.几个概念微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程常微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程偏微分方程未知函数是多元函数的微分方程叫偏微分方程微分方程的阶微分方程中所显现的未知函数的最高阶导数的阶数叫微分方程的阶x3 yx2 y4xy3x2 y44y10y12y5y sin2x y n1 0备注栏可编
5、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -一般 n 阶微分方程F x y yyn 0 yn fx y yyn 1 微分方程的解满意微分方程的函数把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式 叫做该微分方程的解 准确的说 设函数yx在区间I 上有 n 阶连续导数假如在区间I 上 Fxxxnnx0 那么函数yx就叫做
6、微分方程F x y yy 0 在区间 I 上的解通解 假如微分方程的解中含有任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同这样的解叫做微分方程的通解初始条件用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件如 x x0 时 yy0 yy 0 一般写成y x x0y0y x x0y0特解 确定了通解中的任意常数以后就得到微分方程的特解即不含任意常数的解初值问题求微分方程满意初始条件的解的问题称为初值问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如求微分方程yfx y满意初始条件y x x0y0y的解的问题记为yf x, yy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x x00积分曲线微分方程的解
7、的图形是一条曲线叫做微分方程的积分曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3 验证 函数 x C1cos ktC2 sin kt 是微分方程d 2 xdt 2k2 x0 的解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4 已知函数 x C1coskt C2sin ktk 0是微分方程t 00 的特解d 2 xdt2k 2x0 的通解 求满意初始条件x| t 0A x |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7 2可分别变量的微分方程观看与分析1 求微分方程y2x 的通解 为此把方程两边积分得 y x2 C可编辑资
8、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的 方程 yfx的通解为y2 求微分方程y2xy2 的通解f xdxC 此处积分后不再加任意常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 y 是未知的 所以积分2xy2dx 无法进行方程两边直接积分不能求出通解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为求通解可将方程变为1 dyy22xdx两边积分得1 x2yC 或 y1x2C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可以验证函数y1x2C是原方程的通解可编辑资料 - - - 欢迎
9、下载精品_精品资料_一般的 假如一阶微分方程yx, y能写成 gydy fxdx 形式 就两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程Gy F x C 由该方程所确定的隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程一阶微分方程有时也写成如下对称形式Px ydx Q x ydy 0在这种方程中变量 x 与 y 是对称的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - -
10、-可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dy如把 x 看作自变量、y 看作未知函数就 当 Qx,y 0 时 有dxPx, yQ x, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如把 y 看作自变量、 x 看作未知函数就当 Px,y 0 时 有 dxdyQx, yPx, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可分别变量的微分方程假如一个一阶微分方程能写成gydy f xdx或写成 yxy的形式就是说能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy 另一端只含x 的函数和dx 那么原方程就称为可分别变量的微分方程争论 以下方程中
11、哪些是可分别变量的微分方程？1 y2xy 是y 1dy 2xdx23x2 5x y0 是dy 3 x2 5xdx 3 x2 y2dxxydy=0 不是4y1 x y2 xy2是y1 x1y2x yyx5y10是10dy 10 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6 yx y 不是y x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可分别变量的微分方程的解法第一步分别变量 将方程写成gydy f xdx 的形式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次步两端积分g ydyf xdx设积分后得Gy Fx C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第三步求出由 G
12、y F x C 所确定的隐函数yx或 xyGy Fx C yx或 xy 都是方程的通解其中 G y F x C 称为隐式 通解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 求微分方程dy2xy 的通解 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比 已知 t 0 时铀的含量为M 0 求在衰变过程中铀含量M t 随时间 t 变化的规律例 3 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4 求微分方程dy1xy2
13、dxxy2 的通解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4 有高为 1m 的半球形容器水从它的底部小孔流出小孔横截面面积为1cm2开头时容器内盛满了水求水从小孔流出过程中容器里水面高度h 随时间 t 变化的规律可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 由水力学知道水从孔口流出的流量Q 可用以下公式运算QdV dt0.62S2gh可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中0 62 为流量系数S 为孔口横截面面积g 为重力加速度现在孔口横截面面积S 1cm2故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -
14、第 3 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dV0.62dt2gh或 dV0.622ghdt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_另一方面设在微小时间间隔 t t dt 内水面高度由h降至h dhdh 0就又可得到dV其中r2dhr 是时刻t 的水面半径右端置负号是由于dh 0 而 dV0 的缘故又因可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r1002100h2200hh2可编辑资料 - -
15、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以dV200h h2 dh 通过比较得到0.622ghdt200hh2dh可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这就是未知函数h ht应满意的微分方程此外开头时容器内的水是满的所以未知函数h ht仍应满意以下初始条件h|t 0 100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将方程0.622ghdt200hh2dh分别变量后得dt0.621200h22g3h2 dh可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两端积分得 t0.622g1200h23h
16、 2 dh即 t0.62 400h 232g34002 h2 C55325可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 C 是任意常数由初始条件得t0.622g310025 1002 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C0.624000002 g3202200 50.622 g1410515可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此t0.627 1052g3103h253h2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h 与时间 t 之间的函数关系教学后记可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载