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1、精品_精品资料_第 6 章 定 积 分6. 1定积分的概念与性质1. 概念定积分表示一个和式的极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf xdxanlimf i xi0 i 1a, b n等分nlimf i xini 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中：maxx1,x2 ,xn , xixixi 1 . ixi 1, xi.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_几何意义：表示yf x , y0, xa , xb 所围曲边梯形面积的代数和可编辑资料 - -
2、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可积的必要条件：f x 在区间a, b上有界可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可积的充分条件：（可积函数类）b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 如f x 在a, b上连续,就f xdx 必存在.a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 如存在.f x 在a, b上有界,且只有有限个第一类间断点,就bbf xdx 必a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） 如2. 性质f x 在a, b上单调、有界,就f
3、xdx 必存在.a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） bf x dx0 .abbf xdxf tdtaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）baf xdxf xdx .abaf xdx0a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）bkdxkba .abdxbaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4） （4）f xgx dxf xdxg x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
4、精品资料_aaabcb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（5） （5）f xdxf xdxf xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（6） 如f xg x , xa, b , 就bbf xdxgxdxaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论 1：如f x0 , xa, b , 就bf x dx0a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论 2：bbf xdxfaa x dx可编辑资料 - -
5、 - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（7） 如 mfxM , xa, b, 就mbabf xdxM baa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（8） 如f x 在a, b上连续,g x 在a, b上不变号,存在一点a, b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bbf x g x dxf aagxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊的,如g x1 ,就至少存在一点a, b,或a,b ,使得1bf xdxf baaf b
6、baa xf xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（9） 如f x 在a, b上连续,就其原函数 xf t dt 可导,且a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xd xdxaf t dtf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（10） 如f x 在a, b上连续,且F xf x ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bbf xdxF xaaF bF a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
7、资料_6. 2定积分的运算bxt 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 换元法f xdxfatt dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bbbbbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 分部法udvuvvdu ,或uv dxuvvu dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aaaaaa3. 常用公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa2af x dxf x为偶函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）f x dxf xa0f x dx00f x为奇函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑
8、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）aaf xg xdxCg xdx ,其中f xf xC , g x为连续偶函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0数a TT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）f x dxf x dxa0,其中f xT f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nTTf x dxnf x dx002 f sin x dx2 f cos x dx00（4）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 f sin x,cos x dx2 f cos x,sinx dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0
9、012 cosn xdxnn2n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（5）2 cos0xsinxdx12n02 sinnxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（6）xf sin0x dx2 f sin0x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f sin20x) dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（7）2sin n0x dx42 sinn 00x dxn为偶数n为奇数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -
10、欢迎下载精品_精品资料_（8） 2 sin nx dx2 cosnx dxn1.n.2n为偶数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00n1.n.n为奇数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（9） x xf t dtfx xf xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b2b2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（10）f x g x dxfx dxg x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aaa6. 3广义积分1. 无限区间的积分（无穷积分）（1） 定义与性质可编辑资料 - -
11、- 欢迎下载精品_精品资料_f xdxalimbbf xdx ,如极限存在,就原积分收敛.a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xdxlimaf x dx ,如极限存在,就原积分收敛.a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cf x dxf xdxfc x dx ,必需右边两积分都收敛, 原积分才收敛.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x dx ,af x dx ,bkf x dx ,具有相同敛散性.a可
12、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xagx dxf xdxag xdx ,即收敛积分和仍收敛a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 审敛法比较审敛法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 0fxg x ,就g xdx收敛af xdx发散af xdx收敛agxdx发散a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_比较法的极限形式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 limf xl ,就g x dx与f xdx 0l收敛性相同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xag x
13、aa0l发散性相同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_柯西审敛法：设 lim xpxf xl ,就0laf xdx0l, p1收敛, p1发散可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊的,dxaxp收敛p1发散p1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_肯定收敛与条件收敛：收敛,就af xdx收敛,称肯定收敛可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x dxa发散,而af xdx收敛,称条件收敛可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 无界函数的积
14、分（瑕积分）（1） 定义与性质bb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xdxalim0af xdx （ limxbf x）,如极限存在,就原积分收敛.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xdxalim0af xdx （ limxaf x）,如极限存在,就原积分收敛.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bcb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xdxf x dxf xdx （ limf x）,两积分都收敛,原积分才可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aacxc收敛.可编辑资
15、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf x dx ,abkf xdx ,具有相同敛散性.a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf xag x dxbbf xdxg xdx ,即收敛积分和仍收敛aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 审敛法 比较审敛法：设f x,g x 非负,且 limxaf x, limxag x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 0fxg x ,就bbgxdx收敛a ab bf xdx收敛可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
16、_精品资料_f xdx发散g x dx发散aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_比较法的极限形式：如limf xl ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xag x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bbg xdx与aa0lf xdx0l收敛性相同发散性相同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_柯西审敛法：如 limxaxa pf xl ,或 limxbbx pf xl ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b0lf xdx, 0p1收
17、敛可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0l, p1发散可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊的,bdxa xa p 或bdx收敛p1a bx p发散p1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 5典型例题解析1. 变限积分的求导与应用解题思路可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 利用公式x xf t dtfx xfxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 如被积函数含积分限变量,需用变量代换化为变限积分的一般形式求解.（3） 变限积分是由积分限位置变量打算的函数,它与积分变量无关.利用变限积分的求导同样可以分析函数的特
18、性.2. 利用定积分定义求和式的极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解题思路如将积分区间a,b 等分,xiba,取 ixianbai ,就n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnbabab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_iilimf xni 1limnf aii 1nnf xdxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 利用定积分的性质求极限解题思路（1） 如极限含定积分,可利用定积分的中值定理求解.或利用定积分的估值性质建立不等式,用夹逼定理求解.（2） 如极限含变限积分,可利用罗必达法、夹逼定理和周期函数的定积分性质求解.5. 利
19、用换元法求定积分解题思路（1） 运算定积分时,必需考虑积分变元的变化范畴和应用牛莱公式的条件.2（2） 应用第一类换元法（凑微分法）直接求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3 ） 如被 积函 数含a22 x ,a22 x, xa2 , 分 别令可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xa sin t , a tant , asect .（4） 作变量代换时须相应转变积分限.一般的,积分区间为a, a ,令可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xt .积分区间为 0, a ,令 xat .可编辑资料 - -
20、 - 欢迎下载精品_精品资料_（5） 被积函数为u x,或vx型积分变量代换条件： 积分上下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uxv xu xvx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_限不变或换位,变换前后形式为u xv x.或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uxvxu xvx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_v xux可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u xvxu xv x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 利用分部法求定积分解题思路一般运算方法与不定积分分部
21、法类似.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 如被积函数含f x , f x ,将 f(x) dxdf x , f xdxdf x 取可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_作 dv ,其余部分取作 u .（2） 如被积函数含变限积分,将变限积分取作u ,其余部分取作 dv .或将原积分化为二重积分,再转变积分次序求解.7. 利用公式求定积分解题思路利用恒等变形和变量替换法将积分或部分积分化为已知公式标准型求解8. 利用积分区间的对称性运算定积分解题思路（1） 如被积函数是奇、偶函数,用奇偶函数的定积分性质求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa2af
22、 xdxfx为偶函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x dxf xa0f xdx00f x为奇函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 如被积函数不是是奇、偶函数作负代换xt 求解.ll可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） 如f xf xC ,g x为连续偶函数,就f xgxdxCgxdx ,l0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意,可直接验证f xf x0 ,就Cfx0f x0, x0a, a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 分段函数及含肯定值号函数的定
23、积分解题思路：（1） 以函数分段点将积分区间分为相应子区间,利用定积分的对区域可加性求解.（2） 当被积函数是给定函数的复合函数时,用变量代换化为给定函数的形式求解.（3） 令肯定值表达式为零,去掉肯定值符号,再用分段函数积分法求解.10. 含定积分、变限积分方程的求解解题思路（1） 如方程含定积分,令定积分为A ,方程两边再取相同积分限的定积分求解.（2） 如方程含变限积分,方程两边求导化为微分方程求解.11. 利用定积分定义,性质和几何意义有关命题的证明技巧解题思路 （ 1）利用已知不等式将函数改写为和式的极限,再由定积分的定义求证.（2）当函数单减时,曲边梯形的面积n 个窄条矩形面积之和
24、.12. 应用介质定理、微分和积分中值定理的命题解题思路（1） 如结论不含,就将结论改写为 F x0 的形式,左边设为帮助函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用介质定理、微分和积分中值定理求解.（2） 如结论含,将结论左边改写为某微分中值定理的标准形式（右边含）,再由此作帮助函数（有时需将所含定积分化为积分上限的函数）,用微分和积分中值定理求解.（3） 如结论为含的微分方程,可由观看法或解方程求出帮助函数,用微分和积分中值定理求解. 13定积分不等式的证明解题思路常用定理：定积分的比较定理,估值定理,函数单调性判别法,微分与积分中值定理,泰勒公式.可编辑资料 - - - 欢迎
25、下载精品_精品资料_常用不等式： a 2b 22ab , a12 aa0 ,柯西不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b2bbf x g x dxf 2 x dxg 2 x dxaaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_常用等式： bab dx , ln bb 1 dx ,f xf a 0时f xf axf t dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aaa xa（1） 利用换元法、分部法或周期函数的定积分性质直接求证.（2） 如仅知被积函数连续： 作帮助函数, 将结论所含定积分化为变限积分,移项使右边为零,左边即为帮助函数,再用函数单调性或求证.（3）
26、 如已知被积函数可导,且至少有一端点f a0 ：将函数化为变限积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分,即f xxf t dt ,或af xf xf af xa 求证.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4） 如已知被积函数二阶可导：将被积函数按泰勒公式绽开并缩放,利用定积分比较定理求证.14广义积分的运算解题思路分清积分的类型. 一般将无穷积分, 瑕积分化为常义积分, 再取极限求解.混合型广义积分就须拆分积分区间,按无穷积分和瑕积分分别求解.6. 4定积分的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 定积分的微元法设所求量 A 可表为 AnAi ,就
27、Aii 1dAf x dx ,于是bAf x dxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 直角坐标下平面图形的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 由yf x , xa , xb及 x 轴所围的平面图形的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bSf x dxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 由yf1 x ,yf2 x , xa , xb及 x 轴所围的平面图形的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b1Sf xaf2 x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载
28、精品_精品资料_（3） 由 x1 y , x2 y , yc , yd 及 y 轴所围的平面图形的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d1S yc2 y dy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4） 由参数方程表示的曲线所围面积可作换元处理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf x dxax t y t t t dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 极坐标下平面图形的面积一般如平面图形的边界是圆或圆弧,可考虑用极坐标求解.（1） 由 rr , 所围的平面图形的面积S1r 2 d 2（
29、2） 由闭合曲线 rr 所围的平面图形,如极点在图形内部,就面积S12r 2 d204. 平行截面面积已知的立体体积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知平行截面面积为Sx , xa, b,或 S y ,yc,d ,就其体积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bVS x dx ,或a（1） 一曲线绕坐标轴一周的旋转体体积dVS y dyc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bVf 2 x dx , Vd2 y dy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xayc（2） 两曲线绕坐标轴的一周的旋转体体积
30、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bVf 2 xf 2 xdx , Vd2 y2 y dy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xa12yc12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） 曲边梯形面积bf xdx 绕 y 轴或ax x0 一周的体积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bVy2axf x dx ,或Vx xb02 x0ax f xdx , xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d曲边梯形面积 ydy 绕x 轴或cy y0
31、 一周的体积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dVx2 yc ydy ,或 Vy yd2 y0cy y dy ,yy0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_05. 定积分在经济分析中的应用（1） 由边际函数求原函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原经济函数F x 为其边际函数F x 的不定积分.原经济函数的增量F x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为其边际函数F x 的定积分,即F xF xdx ,F xbF xdxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 由边际函数求最优问题q0