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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点第一章 函数与极限一、集合第一节映射与函数1、集合概念（1） 通常用大写拉丁字母A、B、C 表示集合 （简称集）,用小写拉丁字母 a、b、c 表示元素（简称元） ；（2） 含有有限个元素的集合为有限集,不是有限集的集合成为无限集；（3） 表示集合的方法通常有列举法和描述法；（4） 习惯上,全体非负整数即自然数的集合记作 N,全体正整数的集合为 N ,全体整数的集合记作 Z,全体有理数的集合记作 Q,全体实数的集合记作R；（5） 设 A、B 是两个集合,假如集合 A 的元素都是集合 B 的元素,就称 A 是 B的子集,记作 A
2、 B 或 B A；假如 A B 且 B A,就称集合 A与集合 B 相等,记作 A B；（6） 如 AB 且 AB,就称 A 是 B 的真子集,记作 AB （7） 不含任何元素的集合成为空集；2、集合的运算（1） 集合的基本运算有并、交、差；AB=x/xA或 xb I/A 为 A的余集或补集,记作A C AB=x/xA且 xB AB=x/xA且 xB （2） 如集合 I 为全集或基本集,称（3） 集合的并、交、余运算满意交换律、结合律、安排律、对偶律；3、区间和邻域（1） 开区间、闭区间、半开区间都称为有限区间,此外仍有无限区间；（2） 以点 a 为中心的任何开区间称为点a 的邻域,记作 U（
3、a）；称为这邻（3） 点 a 的邻域记作 Ua, ,点 a 称为这邻域的中心,域的半径；（4） 点 a 的去心邻域记作 U O a , ；二、映射1、映射概念（1）映射定义：设 X、Y是两个非空集合,假如存在一个法就 f ,使得对 X 中每个元素 x,按法就 f ,在 Y 中有唯独确定的元素 y 与之对应, 就称 f 为从 X 到 Y 的映射,记作 f ：X Y （2）设 f 是从集合 X到 Y上的映射,如 R f =Y,就称 f 为 X 到 Y 上的映射或满射；如对 X 中任意两个不同元素的像不相等,就称f 为 X 到 Y上的单射；如映名师归纳总结 射 f 既是单射又是满射,就称f 为一一映
4、射或双射；第 1 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点2、逆映射与复合映射（1）只有单射才存在逆映射（2）如 g：XY1,f ：Y2Z ,就这个映射称为映射g 和 f 构成的复合映射,记作 fg 即 fg：XZ ；三、函数1、函数概念（1）设数集 D R,就称映射 f ：D R为定义在 D上的函数,通常简记为 y=fx , x D 其中 x 称为自变量, y 称为因变量, D称为定义域,记作 D f ,即 D f =D （2）构成函数的要素是定义域和对应法就；（3）函数的定义域通常按以下两种情形来确定：一种是对有实际背景
5、的函数,另一种是对抽象地用算式表达的函数；（4）表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公式法）；2、函数的几种特性（1）函数的有界性（2）函数的单调性单调增加和单调削减的函数统称为单调函数（3）函数的周期性对于函数 fx 的定义域为 D,如存在正数 l ,使得 fx+l=fx 恒成立,就称 fx 为周期函数,l 称为 fx 的周期；L 一般指最小正周期；（4） 函数的奇偶性设函数 f 的定义域关于原点对称,如对于任一 x D,f-x=fx 恒成立,就称 fx 为偶函数；如对于任一 x D,f-x=-fx 恒成立,就称 fx 为奇函数；偶函数的图形关于 y 轴是对称的；奇函数的图形关
6、于原点是对称的；3、反函数与复合函数（1）对于函数 f 来说, y=f 1 x 为其反函数, fx 称为直接函数；直接函数与反函数的图形关于直线 y=x 是对称的；（2）设函数 y=fu 的定义域为 Df,函数 u=gx 的定义域为 Dg ,且其值域RgDf ,就由下式确定的函数u 极为中间变 Y=f【gx 】 ,xD 称为由函数 u=gx 和函数 y=fu 构成的复合函数,变量量；4、函数的运算（和差商积）5、初等函数（1） 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这五类函数统 称为基本初等函数；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - -
7、- - - - - - 名师总结 优秀学问点（2） 有常数和基本初等函数经过有限次的四就运算和有限次的函数复合 步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数；一、数列极限的定义其次节数列的极限二、收敛数列的性质定理一（极限的唯独性）假如数列x n 收敛,那么它的极限唯独；定理二（收敛数列的有界性）假如数列 x n 收敛,那么数列 x n 肯定有界；定理三（收敛数列的保号性）假如数列x n 存在极限且极限大于零（或小于零）,那么存在正整数N0,当 n N 时,都有 x n0（或 x n0）定理四（收敛数列与其子数列间的关系）假如数列 任一子数列也收敛,且极限也是 a x n 收敛于 a,那么
8、它的一、函数极限的定义第三节函数的极限1、自变量趋于有限值时函数的极限 2、自变量趋于无穷大时函数的极限二、函数极限的性质 定理一（函数极限的唯独性）假如函数存在极限,那么这极限唯独；定理二（函数极限的局部有界性）假如函数的极限为xa,那么存在常数M 0 和0 ,使得当 0xx 0时,有fM；定理三（函数极限的局部保号性）定理四（函数极限与数列极限的关系）第四节 无穷小与无穷大一、无穷小的定义 二、无穷大的定义名师归纳总结 三、如函数 fx 为无穷大,就f1为无穷小；第 3 页,共 6 页x如函数 fx 为无穷小,就f1为无穷大；x第五节极限运算法就- - - - - - -精选学习资料 -
9、- - - - - - - - 名师总结 优秀学问点定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小 定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小推论 2 有限个无穷小的乘积也是无穷小 定理 3 关于无穷小的乘除运算定理 4 两个存在极限的数列之间的乘除运算符合一般乘除运算定理 5 复合函数的极限运算法就一、二、三、第六节极限存在准就两个重要极限夹逼准就（准就 I 及准就 I ）lim x 0sinx1xlim x 0cosx1准就 II 单调有界数列必有极限lim x 11xex柯西极限存在准就（也叫柯西审敛原理）第七节无穷小的比较一、高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、
10、k 阶无穷小二、定理一、定理二第八节 函数的连续性与间断点第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的和、差、积、商的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性第十节 闭区间上连续函数的性质一、有界性与最大值最小值定理二、零点定理与介值定理三、一样连续性名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点其次章 导数与微分第一节 导数概念一、导数的定义单侧导数：左导数和右导数统称为单侧导数二、导数的几何意义三、函数可导性与连续性的关系假如函数 y=fx 在点 x 处可导,就函数在该点必连续；另
11、一方面,一个函数在某点连续却不肯定在该点可导；其次节 函数的求导法就一、函数的和、差、积、商的求导法就二、反函数的求导法就三、复合函数的求导法就四、基本求导法就与导数公式1、常数和基本初等函数的导数公式（共十六道,详见 2、函数的和、差、积、商的求导法就（共四道,详见95 页）95 页）3、反函数的求导法就4、复合函数的求导法就第三节 高阶导数一般的,（n-1 ）阶导数的导数叫做 n 阶导数第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率一、隐函数的导数可以用函数十字表达的函数叫做显函数二、由参数方程所确定的函数的导数三、相关变化率第五节 函数的微分一、微分的定义二、微分的几何意义三、
12、基本初等函数的微分公式与微分运算法就117 页）1、基本初等函数的微分公式（详见116 页）2、函数的和、差、积、商的微分法就（详见3、复合函数的微分法就四、微分在近似运算中的应用1、函数的近似运算2、误差估量名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点第三章 微分中值定理与导数的应用第一节 微分中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理其次节 洛必达法就第三节 泰勒公式第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸性与拐点第五节 函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法二、最大值最小值问题第六节 函数图形的描画第七节 曲率一、弧微分二、曲率及其运算公式三、曲率圆与曲率半径四、曲率中心的运算公式 渐屈线与渐伸线第八节 方程的近似解一、二分法二、切线法名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页