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1、12.3 角的平分线的性质角的平分线的性质 人教版八年级数学人教版八年级数学 下冶一中下冶一中主要主要内容内容一、教材分析一、教材分析 二、教学方法二、教学方法 三、三、学法指导学法指导四、教学过程四、教学过程角的平分线的性质角的平分线的性质一、教材分析（一）教材的地位与作用（一）教材的地位与作用（三）教学重点与难点（三）教学重点与难点（二）教学目标（二）教学目标 本节内容是全等三角形知识的运用本节内容是全等三角形知识的运用和延续，角平分线的性质为证明线段相和延续，角平分线的性质为证明线段相等开辟了新的途径，简化了证明过程，等开辟了新的途径，简化了证明过程，同时又为后面角平分线的判定定理的学同
2、时又为后面角平分线的判定定理的学习奠定基础因此，本节内容起到了承习奠定基础因此，本节内容起到了承上启下的作用。上启下的作用。九年制义务教育人教版八年级数学第十二章第三小节九年制义务教育人教版八年级数学第十二章第三小节教教 材材 分分 析析 通过一系列的问题解决，培养学生学通过一系列的问题解决，培养学生学数学、用数学的兴趣。通过小组活动，培数学、用数学的兴趣。通过小组活动，培养学生与人合作的精神。养学生与人合作的精神。情与情与感价感价态值态值度观度观 1.会用尺规作一个角的平分线，知道作会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性；法的合理性；2.探索并证明角平分线的性质；探索并证明角平分线的性质
3、；3.能用角平分线的性质解决简单的问题。能用角平分线的性质解决简单的问题。知知识识与与技技能能 让学生经历观察、实验、猜想、让学生经历观察、实验、猜想、证明的探索过程，体会探究问题的一般证明的探索过程，体会探究问题的一般方法，感悟数学思想，积累活动经验。方法，感悟数学思想，积累活动经验。过过程程与与方方法法（二）教学目标（二）教学目标重重 点点重点重点角的平分线角的平分线的性质的性质难难 点点难难 点点难点难点难点难点角的平分线角的平分线的性质的探的性质的探究究（三）教学重、难点（三）教学重、难点教法教法选择选择教法教法二、教学方法二、教学方法 情境教学法情境教学法 引导发现法引导发现法 直观
4、演示法直观演示法 合作交流法合作交流法欲 渔 鱼 学法学法指导指导学法学法 自主探究法自主探究法 合作交流法合作交流法三、学法指导三、学法指导 观察观察 分析分析 对比对比 归纳归纳 证明证明（一）创设情境，导入新课（一）创设情境，导入新课 （二（二）感悟实践经验，用尺规作角的平分线感悟实践经验，用尺规作角的平分线 （三）（三）经历探究过程，发现并证明角的平分线性质经历探究过程，发现并证明角的平分线性质（四）（四）解决简单问题，巩固角平分线的性质解决简单问题，巩固角平分线的性质（五）（五）课堂小结，布置作业课堂小结，布置作业 教学过程教学过程四、教学过程四、教学过程（一）（一） 创设情境创设情
5、境 导入课题导入课题 规划局计划在三条两两规划局计划在三条两两相交的公路附近设计一个度相交的公路附近设计一个度假村，为了度假村里的客人假村，为了度假村里的客人到三条公路出行同样方便，到三条公路出行同样方便，度假村应该设计在什么位置？度假村应该设计在什么位置？角的平分线的性质角的平分线的性质设计意图设计意图 通过通过创设创设情境情境，激发学生的求知欲与好奇心，激发学生的求知欲与好奇心，让学生第一时间进入学习状态。让学生第一时间进入学习状态。动手操作，发现问题动手操作，发现问题（二）感悟实践经验，用尺规作角的平分线（二）感悟实践经验，用尺规作角的平分线活动活动1 给出一个纸片做的角给出一个纸片做的
6、角, ,不利用工具不利用工具, ,能不能找出这个角能不能找出这个角的角平分线呢的角平分线呢? ? 如果将纸片换成木板、钢板等无法对折的材料如果将纸片换成木板、钢板等无法对折的材料, ,能不能不能找出这个角的角平分线呢能找出这个角的角平分线呢? ?设计意图设计意图 生活是数学的源泉，由易到难，生活是数学的源泉，由易到难，改变问题的条件，激发学改变问题的条件，激发学生的探究欲望，做好向新知的迁移生的探究欲望，做好向新知的迁移已知角，作其平分线已知角，作其平分线。动手操作，发现问题动手操作，发现问题（二）（二）感悟实践经验，用尺规作角的平分线感悟实践经验，用尺规作角的平分线活动活动1设计意图设计意图
7、 把把实际问题转化成数学问题，一是培养学生的数学实际问题转化成数学问题，一是培养学生的数学应用意识与学习数学的兴趣；二是渗透建模的数学思想。应用意识与学习数学的兴趣；二是渗透建模的数学思想。 O OE EF F已知：已知：EOFEOF求作：求作：EOFEOF的平分线的平分线（二）（二）感悟实践经验，用尺规作角的平分线感悟实践经验，用尺规作角的平分线揭秘平分角仪器的原理揭秘平分角仪器的原理活动活动2设计意图设计意图 结合教师的介绍与演示，学生自主思考，完成问题，巩固结合教师的介绍与演示，学生自主思考，完成问题，巩固全等三角形的判定与性质，体会数学的应用价值。全等三角形的判定与性质，体会数学的应用
8、价值。 如图如图, ,是一个木匠用的角平分仪是一个木匠用的角平分仪, ,其中其中AB=AD,BC=DC.AB=AD,BC=DC.沿沿ACAC画一条射线画一条射线AE.AEAE.AE就是就是B BADAD的角平分线的角平分线, ,你能说明它的道理吗你能说明它的道理吗? ?B BE EA AD D 根据角平分仪的制作原理你能作出根据角平分仪的制作原理你能作出EOFEOF的的角平分线吗？角平分线吗？ C探究已知角的平分线的画法探究已知角的平分线的画法（二）（二）感悟实践经验，用尺规作角的平分线感悟实践经验，用尺规作角的平分线活动活动3设计意图设计意图 尊重学生的主体地位，让学生自主尝试，去获取技能尊
9、重学生的主体地位，让学生自主尝试，去获取技能；由平分由平分角仪器原理引导尺规作图的方法，直观易懂，思路清晰，降低学习的难度。角仪器原理引导尺规作图的方法，直观易懂，思路清晰，降低学习的难度。 O OE EF FC CB BA AD DC CE EN NM M已知：已知：EOFEOF求作：求作：EOFEOF的平分线的平分线 请同学们结合平分角仪器的请同学们结合平分角仪器的原理，尝试用直尺和圆规作原理，尝试用直尺和圆规作EOFEOF的平分线的平分线 1.1.以以O O为圆心，适当长为半径作弧，交为圆心，适当长为半径作弧，交OEOE于于M M，交，交OFOF于于N N2.2.分别以分别以M M、N
10、N为圆心，以适当长为半径为圆心，以适当长为半径作弧，两弧在作弧，两弧在EOFEOF内部交于点内部交于点C C。3.3.作射线作射线OCOC，射线，射线OCOC即为所求。即为所求。画法：画法：EFOCNM 由画图成功的学生展示自己的作法。（二）（二）感悟实践经验，用尺规作角的平分线感悟实践经验，用尺规作角的平分线活动活动4展示交流角的平分线的画法展示交流角的平分线的画法设计意图设计意图 充分发挥学生的主观能动性，培养学生的语言表达能力。展示交流角的平分线的画法展示交流角的平分线的画法 教师呈教师呈现作图未成现作图未成功的情况功的情况ABONM 强调画法第强调画法第二步中半径长度一二步中半径长度一
11、定要大于定要大于 。MN21（二）（二）感悟实践经验，用尺规作角的平分线感悟实践经验，用尺规作角的平分线活动活动4设计意图设计意图 引导归纳出作图的关键，加深学生对画法的理解。引导归纳出作图的关键，加深学生对画法的理解。动手实验，发现角的平分线的性质动手实验，发现角的平分线的性质1.1. 在所画的角平分线上找任意一点，过这点在所画的角平分线上找任意一点，过这点分别向角的两边作垂线段。分别向角的两边作垂线段。2.2. 观察两垂线段的关系，并想办法验证。观察两垂线段的关系，并想办法验证。（度量或对折）。（度量或对折）。3.3. 改变点的位置，重复改变点的位置，重复1 1、2 2步骤。步骤。4.4.
12、 你能得出什么猜想？你能得出什么猜想？（三）经历探究过程，发现并证明角平分线的性质（三）经历探究过程，发现并证明角平分线的性质活动活动1做一做做一做 看一看看一看 猜一猜猜一猜 验一验验一验 议一议议一议 设计意图设计意图 让学生经历观察、实验、猜想、证明的探索过程，体会探究让学生经历观察、实验、猜想、证明的探索过程，体会探究问题的一般方法，积累活动经验。合作交流，培养学生的自主学问题的一般方法，积累活动经验。合作交流，培养学生的自主学习能力和团结合作能力，发挥学生的主观能动性。习能力和团结合作能力，发挥学生的主观能动性。 请在小组中分享你的猜想，并经过讨论用最准确而又简练请在小组中分享你的猜
13、想，并经过讨论用最准确而又简练的语言概括你们的猜想。的语言概括你们的猜想。 性质：角的平分线上的点到角的两边距离相等。性质：角的平分线上的点到角的两边距离相等。（1）师生共同分析命题的）师生共同分析命题的“已知已知”与与“求证求证”，强调，强调“点到角两点到角两边的距离边的距离”也是也是“已知已知”。（2）引导学生画图，写出）引导学生画图，写出“已知已知”与与“求证求证”。（3）学生尝试证明。）学生尝试证明。（4）组内交流自己的证明过程，可展示部分学生的证明过程。）组内交流自己的证明过程，可展示部分学生的证明过程。（5）教师引导学生归纳几何命题的证明步骤。）教师引导学生归纳几何命题的证明步骤。
14、（6）教师强调角的平分线的性质应用时标准书写格式。）教师强调角的平分线的性质应用时标准书写格式。（三）经历实验过程，发现并证明角的平分性质（三）经历实验过程，发现并证明角的平分性质活动活动2分析思考，证明角的平分线的性质分析思考，证明角的平分线的性质 设计意图设计意图 突出学生的主体地位，让学生经历几何命题的证明过程，积累经验，加深理解，培养学生独立解决问题的能力。 性质：角的平分线上的点到角的两边距离相等。性质：角的平分线上的点到角的两边距离相等。（三）经历探究过程，发现并证明角的平分性质（三）经历探究过程，发现并证明角的平分性质活动活动3尝试应用，明晰角的平分线的性质尝试应用，明晰角的平分
15、线的性质设计意图设计意图 在简单应用中，帮助学生理解角平分线的性质，强调性质应用时应注意的问题。练习：判断正误，并说明理由。练习：判断正误，并说明理由。如图如图 （1 1）AOC=BOCAOC=BOC，则，则PDPDPE ( )PE ( ) （2 2）PDOAPDOA于于D D，PEOBPEOB于于E E，则，则PDPDPE ( )PE ( ) （3 3）OCOC平分平分AOB,PDOAAOB,PDOA于于D D，PEOBPEOB于于E E，PDPD3cm,3cm,则则PEPE3cm ( )3cm ( )强调应用角的平分线的性质定理时应注意：强调应用角的平分线的性质定理时应注意： （1 1）这
16、里的）这里的距离距离指的是指的是点到角的两边垂线段的长点到角的两边垂线段的长； （2 2）使用该性质的前提条件是图中有）使用该性质的前提条件是图中有角的平分线角的平分线、有、有垂直垂直； （3 3）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形。该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形。（四）解决简单问题，巩固角平分线的性质（四）解决简单问题，巩固角平分线的性质活动活动1利用角的平分线的性质解决问题利用角的平分线的性质解决问题设计意图设计意图 让学生动手操作、观察、猜想，再把问题用数让学生动手操作、观察、猜想，再把问题用数学语言来表达，最后完成证明。学语言
17、来表达，最后完成证明。 活动：画一个任意三角形，作出两个角的平分线，观察交点与三条边的距离，你发现了什么？ 例 如图，ABC的平分线BM、CN 相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、AC的距离相等。 例例 如图：在如图：在ABC中，中，C=90, AD是是BAC的平分线，的平分线，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=DF。 求证：求证：CF=EB（四）解决简单问题，巩固角的平分线的性质（四）解决简单问题，巩固角的平分线的性质活动活动2利用角的平分线的性质解决问题利用角的平分线的性质解决问题 学生思考、讨论，动笔尝试写证明过程，小学生思考、讨论，动笔尝试写证明过程，小组代表板演，另几组学生
18、代表打分、评价。组代表板演，另几组学生代表打分、评价。 例例 如图：在如图：在ABC中，中，C=90, AD是是BAC的平分线，的平分线，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=DF。 求证：求证：CF=EB（四）解决简单问题，巩固角的平分线的性质（四）解决简单问题，巩固角的平分线的性质活动活动5利用角的平分线的性质解决问题利用角的平分线的性质解决问题设计意图设计意图 训练学生的逆推顺证的思维能力，同时也意在强调今后训练学生的逆推顺证的思维能力，同时也意在强调今后证明线段相等又多了一种途径与手段，即通过角平分线的性证明线段相等又多了一种途径与手段，即通过角平分线的性质来证明。质来证明。分析分析
19、:CF=EB:CF=EBRTRTCFDRTCFDRTEBDEBDBD=DFBD=DFDC=DEDC=DEADAD是是BACBAC的平分线的平分线C=90C=90,DEAB,DEAB于于E E 度假村位置设计问题度假村位置设计问题到三条公路距离相等到三条公路距离相等到三条边距离相等到三条边距离相等（四）解决简单问题，巩固角平分线的性质（四）解决简单问题，巩固角平分线的性质 设计在三条设计在三条公路围成的三角公路围成的三角形任意两个角的形任意两个角的角平分线交点处。角平分线交点处。（四）解决简单问题，巩固角平分线的性质（四）解决简单问题，巩固角平分线的性质度假村位置设计问题度假村位置设计问题1.今
20、天你在知识与技能方面今天你在知识与技能方面有哪些收获？有哪些收获？2.回想今天的学习过程，你回想今天的学习过程，你有哪些体验？有助于你今有哪些体验？有助于你今后的学习吗？后的学习吗？（五）（五） 归纳小结归纳小结 整理反思整理反思设计意图设计意图 必必 做做 题题 课本课本51页：页：1、2。选选 做做 题题 请你设计一道生活中能够运用角请你设计一道生活中能够运用角平分线性质解决的问题。平分线性质解决的问题。（六）（六） 布置作业布置作业 自我巩固自我巩固 让学生体会数学知识在生活中的强大让学生体会数学知识在生活中的强大作用，体会数学的价值，让他们树立学数学、作用，体会数学的价值，让他们树立学
21、数学、爱数学的信心。爱数学的信心。兼顾作业布置的普及性与拓展性；让学生体会数学在实际生活中的价值。 板板 书书 设设 计计 12.312.3 角的平分线的性质角的平分线的性质角平分线的做法角平分线的做法 角平分线的性质角平分线的性质 例题讲解例题讲解 重点环节微型课重点环节微型课经历探究过程，发现并证明角的平分线的性质经历探究过程，发现并证明角的平分线的性质环节三：环节三：动手实验，发现角的平分线的性质动手实验，发现角的平分线的性质1.1. 在所画的角平分线上找任意一点，过这点在所画的角平分线上找任意一点，过这点分别向角的两边作垂线段。分别向角的两边作垂线段。2.2. 观察两垂线段的关系，并想
22、办法验证。观察两垂线段的关系，并想办法验证。（度量或对折）。（度量或对折）。3.3. 改变点的位置，重复改变点的位置，重复1 1、2 2步骤。步骤。4.4. 你能得出什么猜想？你能得出什么猜想？（三）经历探究过程，发现并证明角的平分性质（三）经历探究过程，发现并证明角的平分性质活动活动1做一做做一做 看一看看一看 猜一猜猜一猜 验一验验一验 议一议议一议 请在小组中分享你的猜想，并经过讨论用最准确而又简练请在小组中分享你的猜想，并经过讨论用最准确而又简练的语言概括你们的猜想。的语言概括你们的猜想。角的平分线上的点到角的两边距离相等角的平分线上的点到角的两边距离相等。（三）经历实验过程，发现并证
23、明角的平分性质（三）经历实验过程，发现并证明角的平分性质活动活动2分析思考，证明角的平分线的性质分析思考，证明角的平分线的性质 性质：角的平分线上的点到角的两边距离相等。性质：角的平分线上的点到角的两边距离相等。AOBCPDE 已知已知: :如图如图, , AOC = AOC = BOC,BOC, 点点P P在在OCOC上上,PDOA,PDOA于点于点D,PEOBD,PEOB于点于点E.E. 求证求证:PD=PE.:PD=PE. 请同学们尝试完成证明请同学们尝试完成证明分析分析: :证明线段相等证明线段相等证明三角形全等证明三角形全等边角条件边角条件明确命题的明确命题的已知与求证已知与求证画图
24、，数学符号画图，数学符号表示已知与求证表示已知与求证分析证明分析证明角平分线性质定理应用时的基本推理形式：角平分线性质定理应用时的基本推理形式： OC OC平分平分AOBAOB（或（或AOC=BOCAOC=BOC）,PDOA,PDOA于于D D，PEOBPEOB于于E EPDPDPEPE 性质：角的平分线上的点到角的两边距离相等。性质：角的平分线上的点到角的两边距离相等。（三）经历探究过程，发现并证明角的平分性质（三）经历探究过程，发现并证明角的平分性质活动活动3尝试应用，明晰角的平分线的性质尝试应用，明晰角的平分线的性质强调应用角的平分线的性质定理时应注意：强调应用角的平分线的性质定理时应注
25、意： 1.1.这里的这里的距离距离指的是指的是点到角的两边垂线段的长点到角的两边垂线段的长； 2.2.使用该性质的前提条件是图中有使用该性质的前提条件是图中有角的平分线角的平分线、有、有垂直垂直； 3.3.该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形。该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形。练习：判断正误，并说明理由。练习：判断正误，并说明理由。如图如图 （1 1）AOC=BOCAOC=BOC，则，则PDPDPE ( )PE ( ) （2 2）PDOAPDOA于于D D，PEOBPEOB于于E E，则，则PDPDPE ( )PE ( ) （3 3）OCOC平分平分AOB,PDOAAOB,PDOA于于D D，PEOBPEOB于于E E，PDPD3cm,3cm,则则PEPE3cm ( )3cm ( )