《2022年高二数列、线性规划、不等式总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高二数列、线性规划、不等式总结.docx（56页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第一章数列第一课时数列的通项公式数列在高中数学中占有特别重要的位置,每年高考都会显现有关数列的方面的试题,一般分为小题和大题两种题型,而数列的通项公式的求法是常考的一个学问点,一般常显现在大题的第一小问中,因此把握好数列通项公式的求法不仅有利于我们把握好数列学问,更有助于我们在高考中取得好的成果.下面本人将有关数列通项公式的常见求法进行较为系统的总结,期望能对同学们有所帮忙.一. 公式法高中重点学了等差数列和等比数列,当题中已知数列是等差数列或等比数列,在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公
2、式来求通项,只需求得首项及公差公比.1、等差数列公式： an =a1+n-1*d或者 an=am+n-m*d例 1、（ 2022 辽宁理）已知等差数列 an 满意 a2=0, a6+a8=-10（ I ）求数列 an 的通项公式. 解：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n-12、等比数列公式:an =a1* q或者 a =a qn-m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nm*例 2. （ 2022 重庆理）设 an是公比为正数的等比数列,a12 , a3a24 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料
3、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求 an的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 28 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -3、通用公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如已知数列的前n 项和Sn 的表达式,求数列an的通项an 可用公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Snn1a n求解.
4、一般先求出a1=S1,如运算出的an 中当 n=1 适合时SnSn 1n22可以合并为一个关系式,如不适合就分段表达通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3、已知数列 an 的前 n 项和 snn1,求 an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：二已知数列任何前一项和后一项的递推关系即：an 和 an-1 的关系时我们可以依据详细情形采纳以下方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、叠加法一般的, 对于型如an 1anf n 类的通项公式, 且f 1f 2f n的和比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_较好求,我们可以
5、采纳此方法来求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即： ananan 1an 1an 2 a2a1 a1 n2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4、（ 2022 四川理 8）数列an就 b32 , b1012 ,就的首项为a83 , bn为等差数列且bnan 1an nN* 如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 0B 3C 8D 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第
6、2 页,共 28 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解：11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a例 5、 已知数列an满意 a1,a n12nn 2n,求数列an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：2、叠乘法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的对于形如“已知a1,且an 1an=f （ n）（ f （ n）为可求积的数列） ”的形式可通过叠可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -
7、- 欢迎下载精品_精品资料_乘法求数列的通项公式.即：ananan 1an 1an 2a2a n a112 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6、在数列an 中,a1 =1,n+1 an1 =n an ,求a n 的表达式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：三构造法当数列前一项和后一项即an 和 an-1 的递推关系较为复杂时,我们往往对原数列的递推关系进行变形,重新构造数列,使其变为我们学过的熟识的数列（等比数列或等差数列）.详细有以下几种常见方法.1、待定系数法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
8、料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 28 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -、一般的对于an =K*an-1 +MK、M 为常数）型,可化为的形式an + =K* an-1 + . 重新构造出一个以K为公比的等比数列,然后通过化简用待定系数法求 ,然后再求an.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7、（ 2022 广东理）设 b0, 数列an满意 a1=b, annban 1n2可编辑资料 - - - 欢迎下
9、载精品_精品资料_an 12n2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）求数列an的通项公式.解：、对于an+1=P*an+fn这种形式 , 一般我们争论两种情形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i 、当fn为一次多项式时,即数列的递推关系为an 1AanBnC型,可化为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 11 n2A an1 n12 的形式来求通项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8. 设数列an中, a11, an13an2
10、n1 ,求an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 28 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nii 、当 fn为指数幂时,即数列递推关系为an 1AanBC n （ A、B、C 为常数,）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
11、精品资料_型,可化为an 1C n 1= AanC）的形式 . 构造出一个新的等比数列,然后再求 a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9. （2022 年全国高考题）设a0 为常数,且an3n 12a1 （ nN * ）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：对任意n 1, a n1 3 n5n12 nnn12a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：当然对于an 1AanBC n 这种形式递推
12、关系求a n 时,当 A=C时,我们往往也会可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 28 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n +1实行另一种方法,即左右两边同除以C, 重新构造数列,来求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
13、例 10、（ 2022 天津理）在数列a中, a2,aan 122n nN ,其可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中0 （）求数列nan的通项公式.1 n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：2、倒数法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的势如anan 1或者 anan 1an 1an 等形式的递推数列可以用倒数法将可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kan 1b其变形为我们熟识的形式来求通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 11. 已知数列an满意： a11,anan1,求3an11an的通项公式.可编辑资
14、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 28 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -3、对数法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_p当数列 an 和 an-1 的递推关系涉及到高次时,形如： an=m*an-1q（其中 m、p、q 为常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等,我们一般采纳对数法,等式两边分别取对数,进行
15、降次,再重新构造数列进行求解.2例 12. （ 2022 山东）已知a1=2,点 an,a n+1 在函数 f x= x +2x 的图象上,其中=1,2,3,（1） 证明数列 lg1+ an 是等比数列. 解：4、特点方程法（选学）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、一般的对于形如已知a1m1 , a2m2 , an+ 2=A a n+1 +B a nA 、B 是常数）的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二阶递推数列,我们可以实行两种方法来求通项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法一：可用特点方程的方法求解：我们称方程：x2-Ax-B=0 为数列的特
16、点方程（i ）当方程有两个相异的实根（或虚根）p、q 时,有：acpncqn,其中 c1 与 c2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由已知 a1m1 , a2m2 , 确定.n12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ii）当方程有唯独的实根p 时,有 acnc pn ,其中 c1 与 c2 由已知a m , am ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_确定.n121122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法二：可构造成an2x1an1x2 an 1x1an ,就 an 1x1an 为等比数列,进而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
17、料_求通项公式,这种方法过程较为纷杂.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 13. 已知a 1 =2 , a 2 =3 , an2 2an 1an ,求通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n解法一：特点方程的根为1,所以 an = c1 n+ c2 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 28 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - -
18、- 欢迎下载精品_精品资料_c1c2由：2c1c22得 c1 =c2 = 1 ,所以 an = n + 1.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二：设an2x1an1x2 an1x1an ,可得 x 1 =x 2 = 1 ,于是 an+1 an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是公比为1 的等比数列,an+1 an = 1 ,所以 an =n + 1.例 14已知数列 a 通项 an .满意 a2, a3,a3a2a nN* ,求数列 a 的解： 其特点方程为 x23x2 ,解得 x1,x2,令 ac1nc2n
19、,12n12n 2n 1nn12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ac2c2c11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由,得,n1121a12n 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2c14c23c22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 15. （ 2022 陕西卷文）已知数列a 满意,a 1 a2, a anan 1, nN * .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1 2n22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
20、料_令 bnan 1an ,证明： bn 是等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 求an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1）证明： b1a2a11,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n2 时,b aaan 1ana1 aa1 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn 1nnnn 1n 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以bn1是以 1 为首项,为公比的等比数列.2可编辑资料 - -
21、- 欢迎下载精品_精品资料_1 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）解由（ 1）知 bnan 1an, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n2 时, aaaa aaaa111 1 n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n12132nn 122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 28 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 -
22、- - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11n 11212 11 n 2 52 1 n 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11322332可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_521 1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n1 时,1332a1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_521n 1*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 annN .332可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此题也可以用特点方程来
23、证明, 同学们不妨自己试试.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、一般的势如：an 1a anc anb （a、 b、c、d 为常数）d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可得到相应的特点方程：的情形来重新构造数列.xaxb ,再将其变为cxdcx2 da xb0 ,通过该方程的根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（i ）假如方程首项, acpacqcxdaxb2为公比的等比数列.0 有两个相异的实根,就有数列anpanq是以 a1p 为a1q可编辑资料 - -
24、 - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ii）假如方程cx2daxb0 有两个相同的实根,就数列1是以anp1为a1p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_首项,2c ad为公差的等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 16.（2022 江西理 22）各项均为正数的数列 an,a1a, a2b ,且对满意 mnpq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_amana paq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的
25、正整数m, n,p, q 都有.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1am 1an 1ap 1aq 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）当 a, b时,求通项an;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1）由amana paq得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1am 1an 1ap 1aq 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12a1ana2an 1.将 a1 , a4代入化简得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
26、精品资料_1a1 1an 1a2 1an 1 25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 28 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -a.2an 11nan 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_构造方程 xaxb a=2,b=1,c=1,d=2化简得： x2 =1 解得 x=1 和-1.cxd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精
27、品_精品资料_所以数列 11an an为等比数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 1an1 1an 1 ,1an3 1an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1an从而：1an1n , 即 an33n13n1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可验证, an31 满意题设条件.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n3n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 17. 已知数列 an 满意 a12, anan 12 n2an 112 ,求数列 an 的通项 an 可编辑资
28、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 ： 其 特 征 方 程 为 xx2, 化 简 得2 x220 , 解 得 x1, x1 , 令可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 11an 11can1an12x112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 a12, 得 a241,可得 c,53可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数 列an ana111a133n n1是 以 a11a1n 1,an11 为 首 项 , 以133n1nnn 311为 公 比 的 等
29、 比 数 列 ,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 28 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -四作差法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当题中给出的是Sn 和an 的关系时,我们一般通过作差法结合an = Sn Sn1 这个通用公可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
30、资料_式对原等式进行变形,消掉Sn 得到 an 和 an-1 的递推关系,或消掉关系,然后重新构造数列求通项公式.a n 得到 Sn 和 Sn 1 的递推可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 18.（ 2022 湖北理 19）已知数列an的前n 项和为Sn ,且满意：a1a a0 ,an1rSn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_*nN , rR, r1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求数列an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：五猜想法当我们在求数列通项时没想到比较好的方法时,猜想法不失为一种权宜之计.运用猜可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_想法解题一般涉及到三个步骤：（ 1）利用所给的递推式求出a1, a2 , a3 ,（ 2）猜想出满可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_足递推式的一个通项公式an ,（ 3）用数学归纳法证明猜想是正