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1、1求数列通项公式方法求数列通项公式方法一公式法一公式法(已知数列类型为等差数列或等比数列已知数列类型为等差数列或等比数列)等差数列等差数列dnaan11等比数列等比数列11nnqaa1q二 累 加 法（二 累 加 法（1nnaaf nnN或 者 为或 者 为 1nnaaf nnN（转 化 为)(1nfaann）型）型,其中数列其中数列 na中的首项1a可知，且数列 f n的前 n 项和易求）注意验证注意验证1a是否满足通项公式。是否满足通项公式。步骤：21324311231nnaafaafaafaaf n把这 n-1 个式子左右两边对应相加化简，即得到数列的通项公式。例 1.已知数列 na满足
2、223,111nnaaann，（1）求32,aa的值；（2）求数列 na的通项公式练习 1.在数列 na中，,3,2,1,211nccnaaann是常数，且321,aaa成公比不为 1 的等比数列。（1）求c的值；（2）求数列 na的通项公式。练习 2已知 a12，1naan2n1(nN*)，则 an_.2练习 3.设数列 nnba,满足3,4,6332211bababa，且数列Nnaann 1是等差数列，数列Nnbn2是等比数列。（I）求数列 na和 nb的通项公式；（II）是否存在*Nk，使21,0kkba，若存在，求出k，若不存在，说明理由。三 累 乘 法（三 累 乘 法（1nnaf n
3、nNa或 者 为或 者 为 1nnaaf nnN（转 化 为 1nnaf nnNa）或者为或者为 1nnaanNf n（转化为 11nnanNaf n）型型,其中数列其中数列 na中的首项1a可知，且数列 f n的前 n 项乘积易求）注意验证）注意验证1a是否满足是否满足通项公式。有时可能是通项公式。有时可能是nnaa与1的关系式，的关系式，把原递推公式转化为)(1nfaann，再求解步骤：21213243111231nnafaafaafaafaaf na把这 n-1 个式子左右两边对应相乘化简，即得到数列的通项公式。例 1.已知数列na中，11,a 且有11nnnaan，则数列na的通项公式
4、为_.3练习 1.已知数列na中，11,a 且有*1(21)(23)(,2)nnnananNn，则数列na的通项公式为_，前n项和为_。练习 2.数列 na满足21a，对于任意的 Nn都有0na,且012112nnnnnaaaan，求数列 na的通项公式。练习 3.已知数列na中，11,a nnnaa41，数列 na的通项公式。四已知前四已知前n项和项和nS和通项公式和通项公式na之间的关系式（注意双向应用之间的关系式（注意双向应用nnnaSS1或者是或者是1nnnSSa，应用原理，应用原理时时2111nSSnSannn）例 1.已知数列na的前 n 项和为nS，332412nnSn，求数列n
5、a的通项公式。练习 1设数列na的前 n 项和为nS，点(,)()nSnnNn均在函数 y3x2 的图像上,求数列na的通项公式。例 2已知数列na的前n项和为nS，且21nnSa，则数列na的通项公式_4练习 2已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，且 3an12Sn3(n 为正整数)(1)求数列an的通项公式；(2)记 S32，若对任意正整数 n，kSSn恒成立，求实数 k 的最大值练习 3.已知数列an的前 n 项和为 Sn，且,3,2,1,31,111nSaann求：（1）432,aaa，的值及数列an的通项公式（2）naaaa2642的值。例 3.（公式逆用）已知数列 na的前
6、n项和为nS，且满足21,20211anSSannn，求数列na的通项公式与nS。练习 4.在数列 na中，11a，当2n时，其前n项的和nS满足212nnnSaS，求数列na的通项公式。练习 5.在数列na中，nnSa,0是其前n项的和，nnnSaa21，求数列na的通项公式。练习 6.已知正项数列 na，其前 n 项和 Sn满足21056nnnSaa且1315aaa，成等比数列，求数列的通项na5练习 7、已知数列an的前 n 项和 Sn满足 SnSn2=3,23,1),3()21(211SSnn且求数列an的通项公式.五待定系数法构造新数列（形如五待定系数法构造新数列（形如qpaann1
7、或者或者qpaann1，0,1;0pq）解法解法 1：把原递推公式转化为：1()nnatp at，其中1qtp，构造出数列1nqap以11qap为首项，公比为 p 的等比数列，先求1nqap的通项公式，再求数列 na的通项公式。解法解法 2：1nnapaq（1），qpaann1（2），再用累加法求数列 na的通项公式。由（1）-（2）得到11nnnnaap aa，则1nnaa是等比数列例 1已知数列na满足11a,)(12*1Nnaann（）求数列na的通项公式；（）若数列 nb满足12111*44.4(1).()nnbbbbnanN,证明：nb是等差数列;练习 1、在数列 na中，若111,
8、23(1)nnaaan，则该数列的通项na.练习 3已知数列an满足 a11，a24，an22an3an1，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)记数列an的前 n 项和 Sn，求使得 Sn212n 成立的最小整数 n.6六六、除法结合待定系数法除法结合待定系数法（换元法换元法）形如形如：11nnnapaq或或1nnnaparq0pqr 解法 1：一般地，要先在原递推公式两边同除同除以nq，得：111nnnnaapqq qq;引入辅助数列引入辅助数列 nb（令nnnqab），得：11nnpbbqq再用待定系数法定系数法解决。解法 2：当pq时时，设存在非零常设存在非零常数数 t，使的使的1
9、111nnnnnnnaparqatqp atq即即1111nnnnnnaparqapat pq q得到得到rt pq即rtpqpq所以数列nnatq是首项为1atq，公比为 p 的等比数列。求出数列nnatq的通项公式后，再求数列 na的通项公式。例 1、已知数列 na中，651a,111()32nnnaa，求na。练习 1.设数列 na的前n项的和14122333nnnSa，求首项1a与通项na。练习 2.设数列 na满足333313221naaaann，Nn（1）求数列na的通项公式（2）设nnanb，求数列 nb的前n项和nT7七、110nnnmaamkbk ab型，一般利用倒数构造等差
10、数列求数列的通项步骤：对11nnnmaak ab取倒数，得到111111nnnnkbkbkamaam am令1nnba，则1nnkbkbbmm，然后 nb可用待定系数法解决。例题：（积形式倒数成等差）已知数列na中，nnnnaaaaa21,21,011，求数列na的通项公式。八、110nnnnaaqaaq型，方程的两边同时除以1nnaa可构造一个等差数列步骤：对110nnnnaaqaaq型，方程的两边同时除以1nnaa得到111nnqaa即111nnqaa，令1nnba，则 nb是首项为11a，公差为-q 的等差数列例题：数列an满足 a11，nan1(n1)ann(n1)，nN*.（1）证明：数列ann 是等差数列（2）求数列na的通项公式。九、12,0rnnapanp型，一般利用取对数构造等比数列步骤：对1rnnapa两边同取常用对数，得到1lglglgnnarap令lgnnba，则1lgnnbrbp，然后 nb可用待定系数法解决。例题：已知数列na满足110a，2110nnaa，求数列na的通项公式。