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1、第三章 小学数学学习理论及其学习过程,第一节 小学数学学习概述,1、数学学习的含义 数学学习是学生获取数学知识，形成数 学技能，发展各种数学能力的一种思维活动 过程，这种思维过程是由预定目标（课程 标准设定的课程目标）的变化过程。,2、小学生数学学习的特点 （1）小学生数学学习是一个逐步抽象的过程。 直觉动作思维直观形象思维抽象逻辑思维 小学生的思维特点：小学生的思维从以具体形象思维为主，正逐步向抽象逻辑思维为主过渡，但这种抽象逻辑思维在很大程度上依然是直接与感性经验相联系的，具有很大成分的具体形象性。 小学生的心理发展具有稳定性与普遍性，同时存在一定的可变性。 小学生在数学学习过程中，经历从
2、具体实物的操作、观察开始，逐步归纳抽象的过程。老师会问： “你发现它们有什么相同的地方？有什么不同？”,（2）小学生数学学习是进行初步逻辑思维训练的过程。 经历逐步体会数学逻辑性的过程，从只重结果，重摹仿，到理性的探索和思考。 “你是怎么想的？为什么？”要解决这个问题，需要知道些什么？” （3）小学生数学学习基本是一种符号化形式与生活实际相结合的学习。 经历符号化和生活实际相结合的过程，从符号的含义联想生活实例。“谁来说说，生活中还有哪些这样的例子？ ” （4）小学生的数学学习存在着思维发展的不平衡性。学生个体（习惯、风格、认知发展的不平衡）独立思考和合作交流,第二节 数学学习理论及其对数学教
3、育的影响,1、行为主义的学习理论及其影响 行为主义的学习理论（桑代克的“联结说”）：学习是刺激和反应的联结。 看书自学，提问： 桑代克的行为主义学习理论对小学生数学学习有什么积极的意义和缺点？,2、认知主义的学习理论及其影响 A、皮亚杰的发生认识论 自学回答：对数学学习有什么影响？,B、布鲁纳的认知发现学习理论： 儿童在学习过程中经历了三个表征系统阶段： 动作性表征映象性表征符号性表征 强调理解的作用。 提出发现学习的教学思想：强调学习过程（学习观），认为学生是一个主动的、积极的知识探究者，教师的作用主要是形成一种学生能够独立探究的情境，而不是提供现成的知识。,强调直觉 （新课标教材的特点之一
4、，从图理解问题），认为教师在学生的探究过程中要帮助学生形成丰富的想象，防止过早语言化。 强调动机 （为什么学习），重视形成学生的内部动机或把外部动机转化为内部动机（通过家长或老师的鼓励，同学的竞争等）。,学习长方形面积公式前，学生已学过用单位正方形去度量图形面积的方法，本节课要引导学生去发现并归纳出长方形的面积公式。下面是三位教师的引导语言： 教师A：请拿出面积为1平方厘米的小正方形，度量一下桌上放着的这几个长方形的长和宽，再量一量它们的面积，看看每个长方形的面积与它们各自的长和宽有什么关系。 教师B：桌上有几个长方形，估计一下谁的面积较大？请度量出它们各自的面积究竟有多大？再猜一猜，长方形面
5、积的大小跟长方形的那些因素有关系？并验证你的猜想。 教师C：请拿出昨天大家准备好的边长是整数的几个长方形，请你量一下它们各自的面积。你打算怎样量？我们一起来量一量，看谁量得又对又快。（比赛结果，老师获胜）你知道老师为什么量得这样快吗？（老师只量了长方形的长和宽，就算出了它的面积） 请你分析，哪位教师的引导更有利于学生的发现学习，为什么？,C奥苏伯尔的认知同化理论 提出先行组织者 （引导性材料），认为要促进新知识的学习，首先要增强学生认知结构中与新知识有关的概念，强调知识之间的联系。 提出有意义学习。,有意义学习的两个条件： 学生表现出一种意义学习的心向； 学习内容对学生具有潜在的意义。 怎样实
6、现学生的意义学习： 传授学科中概念和原理； 要注意渐进性。,有意义学习理论对数学教学的启示： （1）准确把握各部分教学内容之间的逻辑联系、地位和作用。 （2）了解学生已有的相关知识和经验，找准数学新知识的“生长点”。 （3）适时复习与新内容有逻辑联系的相关知识和经验（即利用“先行组织者”），唤醒学生的相关知识的可利用度（实例见教材P89上方）。 （4）及时归纳总结，使新知识融入学生原有的知识结构，充实或改造学生的知识系统。 （5）突出数学思想方法的体验和渗透。,D建构主义的学习理论瑞士心理学家皮亚杰最早提出 关于知识认知的主要观点： 知识是个体在与环境交互作用的过程中逐渐建构的结果。 知识是个
7、人经验的合理化。 建构主义观点下的数学观： 数学本身是主体建构的产物，它是活的，动态的，开放的。,关于学习的主要观点： 学习是一个动态的建构过程，学生的知识不是通过教师的传授得到的，而是学生在一定的情景下，根据已有的认知结构，借助于他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，通过人际协作活动，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式获得的。,世界是客观存在的，但对世界的理解和意义赋予却是每个人自己确定的强调学习的主体性 在学生建构自己知识的过程中，现有的知识经验和观念起着重要的作用强调学习的建构性 学习者以自己的方式建构对于事物的理解，不同的人看到的是事物的不同方面，不存在唯一的标准理解。但是通过学习者的
8、合作可以使理解更加丰富和全面强调学习的社会性 提倡情境性教学，主张学习内容要真实性任务，开展自下而上的随机通达的教学强调学习的情境性,建构主义的学习理论对数学学习的指导意义： 知识是一个建构的过程，必须突出学习者的主体作用。 必须重视外部环境的制约和影响。学习是发展，是改变观念。,第三节 小学数学学习的过程,（一）数学学习的基本形式 按学习材料与学生原有知识的关系分：有意义学习和机械学习（奥苏伯尔） 按学习的方式分：发现学习和接受学习；（布鲁纳）,读书思考： 1、什么是有意义的学习？它的条件是什么？ 有意义的学习：符号所代表的新知识与学生原有的知识（经验）建立了非人为的实质性的联系，即理解了新
9、知识。 2、什么是有机械学习？在小学数学学习过程中，你认为哪些知识可以机械学习？ 3、什么是发现学习？什么是接受学习？ 4、“发现学习一定是有意义的学习，接受学习一定是机械学习”对吗？为什么？,（二）小学数学学习的一般过程 小学数学学习的过程是新的学习内容与学生原有的数学认知结构相互作用，从而形成新的认知结构的过程。 认知结构是由个体过去对外界事物进行感知的一般方式或经验组成的观念结构。,小学数学学习过程可以划分为三个阶段。 （1）习得阶段 （2）保持阶段 （3）提取阶段,（1）习得阶段： 创设学习情境，引发认知冲突；输入的新内容与原认知结构相互作用。作用的两种方式：同化与顺应。 同化：新的学
10、习内容被纳入到原有的认知结构之中，从而扩大原有的认知结构的过程，即新内容被原认知结构同化。 顺应：已有的认知结构不能接纳新的学习内容，必须对原有的认知结构进行重组以适应新内容的过程。 （对应的教学阶段：复习与导入；新知识的学习）,（2）保持阶段： 通过练习，巩固所学的新知识，建立与原有认知结构的联系。 相应的教学阶段：课堂小结；课堂练习。 （3）提取阶段： 解决有新情境的数学问题，完善数学认知结构，发展数学能力。 相应的教学阶段：综合应用，解决问题,二、小学生数概念的发展,（一）整数的概念 （二）分数和小数概念的形成发展,（一）整数的概念,1、掌握整数概念，一般是指理解如下三个内容： A、数的
11、实际意义 B、数的顺序 C、数的组成,2、小学生整数概念形成和发展的过程：,学龄前：“唱数” （约3岁） 用实物为载体数数、计算 小学段 ：实物支撑阶段 抽象理解阶段 两个关键时期：十进制、位值制、 分数概念的形成与发展,三、小学生数的运算能力的发展,1.数的运算的过程，其实质是逻辑推理的过程。 实物是形成表征符号的基础，当小学生把运算符号与现实背景联系起来，才能真正理解运算的意义。因此，数的运算的学习离不开学具的支持、情境的设计、环节的安排，促使小学生推理的抽象概括性、逻辑性和自觉性逐步发展。 2.小学生运算能力发展的过程,（1）低年级儿童运算技能形成的一般过程： A、听老师讲解和演示，获得
12、运算含义的一般表象，即知道加、减、乘、除的具体含义 B、运用具体的事物（实物）完成计算活动。即用实物，找算法。 C、不用实物，用有声语言完成计算。即看算式，说算法。 D、用不出声的内部语言来完成计算（心算）。即看算式，想算法。 E、上述各个环节逐渐压缩简化，一看算式就自动化的进行计算。即看算式，自动算。,（2）小学生运算能力形成，首先应具备 相应的基本运算技能，理解算理，然后 要根据题目的特点，灵活的选择算法， 以提高运算的效率。,四、小学生空间观念的发展,1、图形的认识 能感知某一个平面几何图形能将同一 平面图形在不同的背景中分离出来，并可 以进行分类用语言进行描述特征。 2、长度、面积、体
13、积概念的形成： 感知动作表象概念,第四节 小学数学学习的分类与学习方式,一、知识的学习 （一）概念的学习 （二）规则的学习 二、技能的掌握 三、情感与态度的建立与改变,（一）什么是数学概念 数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中中的反映。 （二）小学数学概念的表现形式 在小学数学教材中的概念，根据小学生的接受能力，表现形式各不相同，其中描述式和定义式是最主要的两种表示方式。,概念的学习,1定义式 定义式是用简明而完整的语言揭示概念的内涵或外延的方法，具体的做法是用原有的概念说明要定义的新概念。 2描述式 用一些生动、具体的语言对概念进行描述，叫做描述式。这种方法与定义式不同
14、，描述式概念，一般借助于学生通过感知所建立的表象，选取有代表性的特例做参照物而建立。,（三）小学生数学概念获得的两种方式,概念的形成，是指学生依靠直接经验从大量的具体例子出发，通过观察比较、分析综合、抽象概括，从特殊到一般，逐步归纳出一类事物的本质属性而形成概念的过程。概念的形成依靠对于体事物的抽象与概括。 概念的同化：学习新概念时，利用认知结构中已有的概念与新概念建立联系，从而掌握新概念的本质属性。这种学习概念的过程叫做概念的同化。,小学生获得概念的两种方式,概念形成的学习流程 提供的具体材料应包容性强，数量适中，避免非本质属性的误导；适当混杂反面材料,提供具体材料,引导观察比较,归纳共同属
15、性,命名形成概念,明确概念外延,“概念的同化”学习概念的一般教学流程：,复习 上位概念,添加 新的内涵,形成 下位概念,关于概念学习的几点注意,A、让学生充分感知，建立清晰的表象； B、让儿童多种感观参与活动； C、注意让学生用自己的语言表述概念的关键属性； D、在学生学习时，给以必要的提示和及时反馈。,（四）数学概念教学的一般要求： 1使学生准确理解概念 理解概念，一要能举出概念所反映的现实原型，二要明确概念的内涵与外延，即明确概念所反映的一类事物的共同本质属性，和概念所反映的全体对象，三要掌握表示概念的词语或符号。 2使学生牢固掌握概念 掌握概念是指要在理解概念的基础上记住概念，正确区分概
16、念的肯定例证和否定例证。能对概念进行分类，形成一定的概念系统。 3使学生能正确运用概念 概念的运用主要表现在学生能在不同的具体情况下，辨认出概念的本质属性，运用概念的有关属性进行判断推理。,小学数学概念教学的过程： 根据数学概念学习的心理过程及特征，数学概念的教学一般也分为三个阶段： 引入概念，使学生感知概念，形成表象； 通过分析、抽象和概括，使学生理解和明确概念； 通过例题、习题使学生巩固和应用概念。 （一）数学概念的引入 数学概念的引入，是数学概念教学的第一个环节，也是十分重要的环节。概念引入得当，就可以紧紧地围绕课题，充分地激发起学生的兴趣和学习动机，为学生顺利地掌握概念起到奠基作用。,
17、一般来说，数学概念的引入可以采用如下几种方法: 1、以感性材料为基础引入新概念。 2、以新、旧概念之间的关系引入新概念。 3、以“问题”的形式引入新概念。 4、从概念的发生过程引入新概念。,（二）数学概念的形成 引入概念，仅是概念教学的第一步，要使学生获得概念，还必须引导学生准确地理解概念，明确概念的内涵与外延，正确表述概念的本质属性。为此，教学中可采用一些具有针对性的方法。 1、对比与类比。 2、恰当运用反例。 3、合理运用变式。,例：讲授“等腰三角形”概念，教师除了用常见的图形(图6-1(1)展示外，还应采用变式图形(图6-1(2)、(3)、(4)去强化这一概念，因为利用等腰三角形的性质去
18、解题时，所遇见的图形往往是后面几种情形。,（三）数学概念的巩固 为了使学生牢固地掌握所学的概念，还必须有概念的巩固和应用过程。教学中应注意如下几个方面。 1、注意及时复习 2、重视应用 概念的应用可以从概念的内涵和外延两方面进行。 （1）概念内涵的应用 复述概念的定义或根据定义填空。 根据定义判断是非或改错。 根据定义推理。 根据定义计算。,（1）什么叫互质数？答： 是互质数。 （2）判断题： 27和20是互质数（ ） 34与85是互质数（ ） 有公约数1的两个数是互质数（ ） 两个合数一定不是互质数（ ） （ 3）钝角三角形的一个角是 82o，另两个角的度数是互质数，这两个角可能是多少度？
19、（4）如果P是质数，那么比P小的自然数都与P互质。这句话对吗？请说明理由？,2概念外延的应用 （1）举例 （2）辨认肯定例证或否定例证。并说明理由。 （3）按指定的条件从概念的外延中选择事例。 （4）将概念按不同标准分类。 例：（1）列举你所见到过的圆柱形物体。 （2）下列图形中的阴影部分，哪些是扇形？,（3）分母是9的最简真分数有分子是9的假分数中，最小的一个是 （4）将自然数219按不同标准分成两类（至少提出3种不同的分法）,3、注意辨析 随着学习的深入，学生掌握的概念不断增多，有些概念的文字表述相同，有些概念内涵相近，使得学生容易产生混淆，如质数与互质数，整除与除尽，体积与容积等等。因此
20、在概念的巩固阶段，要注意组织学生运用对比的方法，弄清易混淆概念的区别和联系，以促使概念的精确分化。,关于面积和周长，可组织学生从下列几个方面进行对比 ( 1 )什么叫做长方形的周长？什么叫做长方形的面积？ （2）周长和面积常用的计量单位分别有哪些？ （3）在图63中，A，B两个图形的周长相等吗？面积相等吗？,（4）图64中的每一小方格代表一平方厘米，这个图的面积是 ，周长是 ，剪一刀，然后将它拼成一个正方形，这个正方形的周长是 ，面积是 。,（二）小学数学概念教学中应注意的问题 1、把握概念教学的目标，处理好概念教学的发展性与阶段性之间的矛盾。 2、加强直观教学，处理好具体与抽象的矛盾 3、遵
21、循小学生学习概念的特点，组织合理有序的教学过程 （1）概念的引入要注重提供丰富而典型的感性材料 （2）概念的理解要注重正反例证的辨析，突出概念的本质属性 （3）重视概念的运用，发挥概念的作用 （4）注重概念之间的比较分类，深化概念,概念教学片段举例 （一）乘法的初步认识 1创设情景，出示课题 2直观感知，形成表象 3分析比较，揭示本质 4多种训练，巩固和深化新知 面积概念的学习研究,规则的学习,（一）规则是公式、定律、法则、原理等的总称。 小学数学中的规则指运算规则、算律、公式。 （二）小学数学规则的特点 小学数学规则，既要体现数学学科的严密性、逻辑性的特点，又要符合儿童的年龄特点和认知规律，
22、因而具有以下特点： 1、淡化严格证明，强化合情推理 2、重要规则逐步深化 3、有些规则不给结语,（三）规则学习的两种方式,（1）例规法学习：呈现规则的若干例 证，让学生从例证中归纳概括出一般结论。 （2）规例法接受学习：先呈现要学习的 规则，再用实例说明规则的应用。,规则学习的两种方式,例-规法学习的一般流程,呈现具体例证,观察试验尝试解决,分析答案或过程,发现规律形成猜想,验证完善形成规则,规-例法学习的一般流程 教师指导要点： 阐明新规则的条件、结论，解释其道理，帮助学生理解规则的意义。 所举实例中应包含各种特例的应用。,复习相关知识,呈现新的规则,举例说明应用,小学数学规则教学的过程与方
23、法,小学数学规则的教学一般要经过规则的引入、规则的建立、规则的巩固与运用等三个阶段。 （一）规则的引入 可采用如下一些方法去引入规则。 (1)用观察、实验的方法引入规则。 (2)用观察、归纳的方法引入规则。 (3)由实际的需要引入规则。,（二）规则的建立 1、例证要有利于学生发现规则、发展智能 2、由直观到抽象，由个别到一般 3、紧密结合例证，逐级抽象概括 4、突出算理，以理驭法 （三）规则的巩固和运用 新规则建立之后，要及时安排练习，巩固和运用新规则。,数学规则教学设计示例,（一）“加法交换律”教学片段 1、创设情景、提出问题 2、合作交流、自主探究 （1）象第一组这样的算式，你能再写出几道
24、吗？这里究竟有什么规律呢？（学生自主尝试） （2）汇报交流、归纳概括。 （3）这个规律，你能给它取个名称吗？ 看书并说说什么叫加法交换律。 （4）小组活动：验证第二种规律。 明确要求：每人自己出题验证；在小组中交流你验证的结果。 （5）汇报交流、归纳概括。 什么是加法结合律？用字母怎样表示加法结合律？ （6）看书质疑。,3、巩固练习（略） 4、反思回顾 5、用自己喜欢的方法算，想一想怎样算会比较快？ （二）“三角形的内角和”教学片断 1、巧设悬念，引发探究 2、营造情境，激励探究 （三）P140 分数的基本性质,小学数学问题解决的学习,问题： 1、什么是数学问题？请举一个例子。 2、请阅读以下
25、问题，并用算术方法、代数方法、图画法、列表法分别求解。 今有鸡兔同笼，上有头35，下有脚94，问鸡兔各几何？ 3、比较下面的题目，与鸡兔同笼问题有什么关系？,问题：是指没有现成方法可能解决的情景状态。 数学问题：是指不能用现成的数学经验和方法直接解决的一种情景状态，需要在某种特定的情境中，探究特定的、未知的数量关系和空间形式，加以解决或作出论证的问题。 数学问题的三个成分：条件信息、目标信息、运算（条件所允许的求解行动）信息。,问题解决:可以说是问题的有效解决方案或可能结果的过程，在这个过程中，个人会针对问题情境选择适当的先前知识及经验，为完成该目标不断寻找可能的解决路径，并对相关的信息进行重
26、组以及发展出可行的方法。 数学问题解决是数学概念、规则学习后的自然延伸，是学习者运用数学概念和规则对个体内部思维调控的技能，也是个体调控自己的数学认识活动以提高数学认知操作水平的能力，本质上也是一套操作支配人的认知加工活动。,波利亚的“怎样解题”表,问题：有两个4升和9升的容器，怎样从河中取出6升水 ？,数学问题解决学习的一般过程,奥苏伯乐认为： 呈现问题情境的命题明确问题最终目标与已知条件填补空隙过程解答之后的检验 杜威认为： 产生怀疑尝试解题假设检验迁移。,小学生问题解决学习的一般过程为： 1、弄清问题。 2、分析问题。 3、提出计划。 4、解决问题。 5、进行反思。,小学数学问题解决的教
27、学的过程 ： 1、创设问题情境 问题情境创设的基本要求： 1）贴近学生的现实（生活现实、数学现实、其他学科的现实）。教师应当重视学生已有的生活经验，选取学生熟悉的生活素材，创设学生感兴趣的问题情境。 2）符合客观现实。情境创设中的背景信息就符合现实生活场景和事物运动的客观规律。 3）注重数学思考实效。教师创设的问题情境应为学生提供一定的数学思考空间。,小学问题情境的几种类型： 1）以数学故事创设趣味型问题情境（分数的基本性质） 2）以现实生活为背景的应用型问题情境（百分数的应用） 3）以数学活动和数学操作实验创设活动型问题情境（周长） 4）以计算机为工具创设动画型问题情境（三角形三边的关系）
28、5）模拟实验情境（可能性） 6）游戏型问题情境（找规律拍手） 7）纯数学问题情境（3的倍数的特征） 8）大型实践活动情境（统计为图书馆购书出主意）,2、分析思考问题。 3、指导解答，解决问题。 4、总结提炼，概括方法。 5、推广延伸，提出新问题。,二、技能的掌握,技能：是人们通过练习获得的自动化的动作方式或操作系统。 技能分为操作技能和智慧技能。 1、智力技能的形成阶段：活动定向阶段物质活动和物质化活动阶段有声语言阶段无声的外部语言阶段内部语言阶段 2、练习是获得技能的必要手段；,如何提高练习的成效：,（1）复习相关的概念或规则，明确练习的目的和要求。 （2）给与有效的示范指导。 （3）及时反
29、馈和强化。 （4）增加练习的趣味性。,三、情感与态度的建立与改变,1、一般含义： 情感：是人对事物态度的体验，是人的需要得到满足与否的反映。 态度：是个体对人、事物的反映倾向。 价值观：指主体对事物按其对自身或社会的意义或重要性进行评价和选择的标准。 2、课程标准中情感与态度的目标,3、促使情感态度目标的途径,1）从内容选择入手，用儿童生活中的素材，让学生感到数学就在身边，产生乐学、好学的动力；用儿童乐于接受的方式呈现，形成学生活泼、真诚、有爱心的品格。 2）从学生的学习方式入手，从学生的生活经验和已有的体验开始，减缓学生心理的压力，给予适当的指导，营造和谐的师生、生生之间合作与交流的氛围。 3）从鼓励性评价入手，满足学生的成功感。,