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3.5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分,一、利用柱面坐标计算三重积分,二、利用球面坐标计算三重积分,三、小结,一、利用柱面坐标计算三重积分,规定：,柱面坐标与直角坐标的关系为,如图，三坐标面分别为,圆柱面；,半平面；,平 面,如图，柱面坐标系中的体积元素为,解,知交线为,解,所围成的立体如图，,所围成立体的投影区域如图，,二、利用球面坐标计算三重积分,规定：,如图，三坐标面分别为,圆锥面；,球 面；,半平面,球面坐标与直角坐标的关系为,如图，,球面坐标系中的体积元素为,如图，,解,解法（一）,解法（二）(类似于例1),补充：利用对称性化简三重积分计算,使用对称性时应注意：,、积分区域关于坐标面的对称性；,、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的,奇偶性,解,积分域关于三个坐标面都对称，,被积函数是 的奇函数,（1） 柱面坐标的体积元素,（2） 球面坐标的体积元素,（3） 对称性简化运算,三重积分换元法,柱面坐标,球面坐标,三、小结,