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1、精品_精品资料_均值不等式归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 1 如a, b时取“=”）R ,就 a 2b 22ab(2) 如a,b22R ,就 abab2（当且仅当 ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 1 如a,b时取“=”）R* ,就 ab2ab2 如a,bR* ,就 ab2 ab（当且仅当 ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 如 a, bR* ,就 ab2ab当且仅当 a2b 时取“=”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精
2、品_精品资料_3. 如 x0 ,就 x1 2当且仅当 x x1 时取“=”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 x0 ,就 x12当且仅当 x x1 时取“=”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 x0 ,就 x12即x12或x1-2当且仅当 ab 时取“=”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 如 ab0 ,就 ab2ba当且仅当 ab 时取“=”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
3、_如 ab0 ,就 ab2即 ab2或 ab-2当且仅当 ab 时取“=”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bababa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 如a, bR ,就 ab 22a 2b 22（当且仅当 ab 时取“=”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ps.1 当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”(2) 求最值的条件“一正,二定,三取等”(3) 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范畴、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用可编辑资料 -
4、 - - 欢迎下载精品_精品资料_应用一：求最值例 1：求以下函数的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） y3x 212x 21（ 2） yxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1y 3x 212x 2123x 2 2x 2 6值域为6 ,+）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1(2) 当 x0 时, yxx12x x 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1当 x0 时, yxx
5、1= （ xx1）2x x= 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值域为（,22 ,+）解题技巧可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_技巧一：凑项例 已知 x5 ,求函数 y44 x214 x5的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：因 4 x50 ,所以第一要“调整”符号,又4 x214 x不是常数,所以对5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 x2 要进行拆、凑项,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x5 ,54 x0 ,1y4x2154x3231可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_44x554x可编辑资料
6、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当54 x1,即 x 54 x1 时,上式等号成立,故当x1 时,ymax1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注：此题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_技巧二：凑系数例 1. 当时,求yx82 x 的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：由知,利用均值不等式求最值,必需和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式, 但其和不是定值. 留意到 2 x82 x8 为定值,故只需将 yx82 x 凑上一个系数即可.当,即 x2 时取等号当 x2 时, y
7、x82 x 的最大值为 8.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注：此题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式：设 0x3 ,求函数 y24x32 x 的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：0x3 32 x20 y4 x32x2 2 x32 x22 2x32x922可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当 2 x32 x, 即 x340, 32时等号成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
8、资料_技巧三： 分别x27 x例 3. 求y10 x1) 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1解析一：此题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有（x1）的项,再将其分别.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当,即时, y技巧四：换元2 （x14x159 （当且仅当 x1 时取“”号）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析二：此题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x 1,化简原式在分离求最值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yt127t1）+10 = t5t4t45可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2
9、ttt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当,即 t=时, y2 t4 t59 （当 t=2 即 x 1 时取“”号）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注：分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式子分开再利用不等式求最值.即化为ymg xAgxB A0, B0 ,gx 恒正可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值.技巧五：在应用最值定理求最值时, 如遇等号取不到的情形, 结合函数的单调性.f xxa
10、 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：求函数 yx25x24的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令x24tt2 ,就 yx 252x4x241t1 t2x24t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因t0, t 1 t1 ,但t1 解得 t t1 不在区间 2,故等号不成立,考虑单调性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 yt1 在区间 1,单调递增,所以在其子区间2,为单调递增函数,故t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
11、资料_y5 .2所以,所求函数的值域为5 ,.2练习求以下函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（ 1） yx3x x1 , x0（2） y2x1, x3x3(3) y2sin x1, x sin x0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2已知 0x的最大值 .1,求函数yx1x 的最大值 .3 0x2 ,求函数3yx2 3x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_条件求最值1. 如实数满意 ab2 ,就 3 a3 b 的最小值是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：“和”到“积”是一个缩小的过程而,
12、且 3a3b 定值,因此考虑利用均值定理求最小值,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 3 a 和3 b 都是正数,3a3 b 2 3a3b23a b6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 3 a3b 时等号成立,由 ab2 及 3 a3b 得ab1 即当 ab1 时, 3 a3 b 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_最小值是 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式：如log 4 xlog 4 y2 ,求11xy 的最小值 .并求 x,y 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时,
13、要留意取等号的条件的一样性,否就就会出错.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2：已知 x0, y0 ,且 191 ,求 xy 的最小值.xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错 解 ：x0, y0, 且 191 ,xy19xy29 2xy12故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyxyxyxy min12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错因：解法中两次连用均值不等式,在xy2xy 等号成立条件是 xy ,在可编辑资料 - - - 欢迎下载精
14、品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1929 等号成立条件是 19 即 y9 x ,取等号的条件的不一样,产生错误.因可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyxyxy此,在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正解：x0, y0, 191, xyxy19y9 x1061016可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyxyxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当 y9 x 时,上式等号成立, 又 191 ,可得 x4, y12
15、 时, xy16.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyxymin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式： （ 1）如x, yR且 2 xy1 ,求 1 x1 的最小值y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2已知a, b, x, yR 且axb1 ,求 xyy 的最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_技巧七可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 2已知 x,y 为正实数,且 x 221,求 x1y 2的最大值 .可编辑资料 - -
16、- 欢迎下载精品_精品资料_a 2 b 2分析：因条件和结论分别是二次和一次,故采纳公式ab.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同 时 仍 应 化 简1y 2中 y2前 面 的 系 数 为1,x1y 2 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1y 22 2 2 x1y 22 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_下面将 x,1y 222分别看成两个因式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1y 2x
17、2 2x 2 1 y 2222y 212x 222324即 x1y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x1y 232224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_技巧八：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1已知 a, b 为正实数, 2b ab a30,求函数 yab的最小值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对此题来说,这种途径是可行的.二是直接用基本不等式,对此题来说,因已知
18、条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法一： a30 2bb 1,ab30 2bb 1b 2 b 2 30b b1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 a 0 得, 0b15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 t b+1 , 1t 16, ab 2t 2 34t31t 2（t1616t） 34 t t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_162t8t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
19、料_1 ab18 y18当且仅当 t 4,即 b 3, a6 时,等号成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法二：由已知得：30 ab a 2b a 2b 22 ab 30 ab2 2 ab令 u ab就 u222 u 300, 52 u321 ab32 , ab18,y18可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评：此题考查不等式 ab2ab（ a, bR ）的应用、不等式的解法及运算才能.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如何由已知不等式aba2b30（a,bR ）动身求得 ab 的范畴,关键是查找到可
20、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab与ab 之间的关系,由此想到不等式ab2ab（a,bR ）,这样将已知条件转可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_换为含 ab 的不等式,进而解得 ab 的范畴.变式： 1.已知 a0 ,b0 ,abab1,求 a b 的最小值.2. 如直角三角形周长为 1,求它的面积最大值.技巧九、取平方5、已知 x, y 为正实数, 3x 2y 10 ,求函数 W 3x 2y 的最值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一： 如利用算术平均与平方平均之间的不等关系,ab2a 2b 2
21、2,此题很可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_简洁3x2y 2（ 3x ）2 （ 2y ）223x2y25解法二：条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“和为定值”条件靠拢.W 0 , W2 3x 2y 23x 2y 10 23x 2y10 3x 22y 2 103 x2y 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ W 20 25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式: 求函数 y2 x152 x 1x5 的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：留意到 2 x221 与 52 x 的和为定值
22、.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 22 x152x 2422 x152 x42 x152 x8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 y0 ,所以 0y22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当 2 x1 = 52 x ,即 x3 时取等号.故2ymax22 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注：此题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用均值不等式制造了条件.总之,我们利用均值不等式求最值时,肯定要留意“一正二定三相等”,同时仍要留意一些变形技巧,积极制造条件利用均值不等式.
23、应用二：利用均值不等式证明不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 已知a, b, c 为两两不相等的实数,求证： a 2b 2c 2abbcca可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1）正数 a, b,c 满意 abc 1,求证： 1 a1 b1c8abc例 6：已知 a、b、cR ,且 abc1 .求证： 1111118abc分析：不等式右边数字 8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_“2”连乘,又111abc2bc,可由此变形入手.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aaaa可编辑资料 -
24、 - - 欢迎下载精品_精品资料_解： a、b、cR ,abc1 . 111 abc2bc.同理 112 ac ,112ab .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aaaabbcc上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1111112 bc 2ac 2 ab8 .当且仅当abc1 时取等号.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abcabc3应用三：均值不等式与恒成立问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：已知 x0, y0 且 191 ,求使不等式 xym 恒成立的实数 m 的取值范畴.xy可编辑资料 - -
25、 - 欢迎下载精品_精品资料_解：令xyk, x0, y0, 191 ,xy9 x9 y1.10y9x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1102 3.xyk16, m,16kxkykkxky可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应用四：均值定理在比较大小中的应用：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 如 ab1, Plg alg b, Q1 lg a2lg b, Rlg ab 2, 就 P, Q, R的大 小 关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：ab1 lg a0, lg b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Q 1 （ lg a2lg blg alg bp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abR lg 2lgab1lg abQ2RQP .可编辑资料 - - - 欢迎下载