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1、名师举荐细心整理学习必备均值不等式应用1. 1 如 a,bR ,就 a 2b 22ab2 如 a, bR ,就 aba2b2（当且仅当 ab 时取“ = ”）2. 1 如 a, bR* ,就 ab2ab2 如 a, b2R* ,就 ab2ab（当且仅当 ab 时取“ = ”）3 如 a,bR* ,就 abab2当且仅当 ab 时取“ = ”）23. 如 x0 ,就 x1x1x1xb a2 当且仅当 x1 时取“ = ”）如 x0 ,就 x2 当且仅当x1 时取“ = ”）如 x0 ,就x2即x1x2或x1x-2当且仅当ab 时取“ = ”）4. 如 ab0 ,就 ab2当且仅当ab 时取“ =
2、 ”）如 ab0 ,就 abbaa2即bbaa2或bba-2当且仅当 ab 时取“ = ”）5. 如 a, bR ,就 ab 2a2b2（当且仅当22ab 时取“ = ”）ps.1 当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大” (2) 求最值的条件“一正,二定,三取等”(3) 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范畴、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例 1：求以下函数的值域（ 1） y 3 x 2 12x 21（2） y x x解： 1y 3x 212x 2123x 22x 26值域为
3、6 , + ）12 当 x0 时, yxx12x x 2 ；1当 x0 时, y xx1=（ xx1）2x x= 2值域为（, 2 2 ,+ ）技巧一：凑项例 已知 x5,求函数 y44 x214x5解题技巧的最大值；解：因 4 x50 ,所以第一要“调整”符号,又4 x214x不是常数,所以对 4x52 要进行拆、凑项,x5 ,54 x0 ,y4x2154x1323144x1554x当且仅当54 x,即 x54 x1 时,上式等号成立,故当x1 时,ymax1；评注：此题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值；技巧二：凑系数例 1. 当时,求yx82 x 的最大值；解析：由知,利用
4、均值不等式求最值,必需和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值；留意到2 x82 x8 为定值,故只需将yx82 x 凑上一个系数即可；当,即 x 2 时取等号当 x 2 时,yx82 x 的最大值为 8 ；评注：此题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值；3变式：设0x,求函数 y 24 x32 x 的最大值；3解： 0x32 x20 y4x32x2 2 x32x22 2 x32 x922当且仅当 2 x33 2 x, 即 x430,时等号成立；2技巧三：分别x27 x10例 3. 求 y x1 的值域；x1解析一：此题看似无法运
5、用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有（x 1）的项,再将其分别；当,即时, y2 （x4159 （当且仅当 x1 时取“”号）；x1技巧四：换元解析二：此题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x 1 ,化简原式在分别求最值；t12y7t1）+10t 25t4 4=t5ttt4当,即 t=时, y2tt59 （当 t=2即 x1 时取“”号）；评注：分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值；即化为Aymgx g xB A0,B0, gx 恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值；a技巧五：在应用最值定理求最值时,如遇等号取不到的情形,结合函
6、数f xx的单调性；x例：求函数yx252x4的值域；解：令x24t t2 ,就 yx252x41t1 t2x2411x24t因 t0, t1,但 tt1解得 tt1不在区间 2,故等号不成立,考虑单调性；5由于 yt在区间 1,单调递增,所以在其子区间2,为单调递增函数,故y；t25所以,所求函数的值域为,；2练习求以下函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值.（ 1） yx23x x1, x0 （ 2） y2x1, xx333 y22sin x1, x sin x0,2已知 0ab条件求最值x1 ,求函数yx1x 的最大值 .； 3 0x,求函数3yx23x的最大值 .1. 如实数满意 a
7、b2 ,就33 的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程,而且3a3b定值,因此考虑利用均值定理求最小值,abababa b解：3 和3 都是正数, 33 2 332 36ab当 33 时等号成立,由 ab2 及 3 a3 b 得 ab1即当 ab1时, 3 a3b 的最小值是 6 变式：如log 4 xlog 4 y2 ,求11的最小值 .并求 x,y 的值xy技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时,要留意取等号的条件的一样性,否就就会出错；192：已知 x0, y0 ,且xy191 ,求 xy 的最小值；199错解：x0, y0 ,且1 ,xyxy22xy12故xy min12
8、；xyxyxy错因：解法中两次连用均值不等式, 在 xy2xy 等号成立条件是 xy ,在 19192 9等号成立条件是xyxyxy即 y9 x ,取等号的条件的不一样,产生错误；因此,在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法；正解：x0, y0, 191,19xyxyy9 x1061016xyxyxyy9 x19当且仅当时,上式等号成立,又xy1 ,可得 xxy4, y12 时,xy min16 ；变式： （1 ）如x, yR且2 xy1 ,求 1 x1 的最小值y技巧七2 已知a, b, x, yR 且 axb1,求 xyy 的最小值y
9、 2已知 x,y 为正实数,且 x 22 1,求 x1 y 2 的最大值 .a 2 b 2分析：因条件和结论分别是二次和一次,故采纳公式ab ；2同时仍应化简1y 2 中 y2 前面的系数为11 y 2, x1 y 2 x2 222 x1y 22 2下面将 x,1y 22 2分别看成两个因式：1y 2x2 2x 2 1y 22 22y 212x 222324即 x1 y 2 2 x1y 232 2 42技巧八：1已知 a, b 为正实数, 2 bab a 30 ,求函数 yab的最小值 .分析：这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式
10、求解,对此题来说,这种途径是可行的；二是直接用基本不等式,对此题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式, 不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行；法一： a30 2 bb 1,ab 30 2b b1b 2 b 2 30 bb 1由 a0 得, 0 b15令 t b +1 ,1 t16 ,ab 2 t 234 t31t16 2 （ tt16） 34 t t162t 8t1 ab 18 y18当且仅当 t 4 ,即 b 3, a6 时,等号成立；法二：由已知得： 30 ab a2 b a2 b22 ab 30 ab 22 ab令 u ab就 u2 22 u30
11、 0 , 52 u 321 ab32 ,ab 18 ,y18ab点评：此题考查不等式ab（a, b2R ）的应用、不等式的解法及运算才能；如何由已知不等式aba2b30（a,bR ）出 发求 得 ab 的范畴 , 关 键 是查找 到 ab与ab之间的 关系, 由此想 到不等 式abab（a,b 2R ）,这样将已知条件转换为含ab 的不等式,进而解得 ab 的范畴 .变式： 1.已知 a0 ,b 0 , ab a b1 ,求 ab 的最小值；2. 如直角三角形周长为1,求它的面积最大值；技巧九、取平方5、已知 x, y 为正实数, 3x2y 10 ,求函数 W 3 x 2y 的最值 .aba
12、2 b 2解法一：如利用算术平均与平方平均之间的不等关系,22,此题很简洁3x 2 y 2（3 x ）2（2 y ） 2 23x2y 25解法二： 条件与结论均为和的形式, 设法直接用基本不等式, 应通过平方化函数式为积的形式,再向“和为定值” 条件靠拢；W 0,W 23x 2y23 x 2 y 10 23x 2 y 10 3x 22 y 2 10 3 x2 y 20 W 2025变式: 求函数 y2x152 x 1x5 的最大值；解析：留意到2 x221 与 52 x 的和为定值；y 22 x152x 2422 x152 x42 x152 x8又 y0 ,所以 0y22当且仅当 2 x1 =
13、 52x ,即 x3时取等号；故2ymax2 2 ；评注：此题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用均值不等式制造了条件；总之,我们利用均值不等式求最值时,肯定要留意“一正二定三相等”,同时仍要留意一些变形技巧,积极制造条件利用均值不等式；应用二：利用均值不等式证明不等式1. 已知a, b, c为两两不相等的实数,求证：a 2b 2c 2abbcca1）正数 a,b ,c 满意 a b c1 ,求证： 1 a1 b 1 c8abc例 6：已知 a、b 、cR ,且abc1；求证：1111118abc分析：不等式右边数字 8 ,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘,又 1
14、11abc2bc ,可由此变形入手；aaaa解：a、b 、cR , abc1；1 1abc12 bc；同理112ac , 112ab ；上aaaabbcc述三个不等式两边均为正,分别相乘,得1112 bc 2ac 2 ab11118 ；当且仅当abcabcabc时取等号；3应用三：均值不等式与恒成立问题19例：已知 x0, y0 且1 ,求使不等式xym 恒成立的实数 m 的取值范畴；xy解：令xyk, x0, y0, 191 ,xy9 x9 y1.10y9 x11102 3 ；kkxyk16 , m,16kxkykkxky应用四：均值定理在比较大小中的应用：1ab例：如 ab1, Plg alg b, Qlg a2lg b, Rlg ,就2P,Q, R 的大小关系是.分析： ab1 lg a0, lg b01Q （ lg a2lg blg alg bpR lg ab 2lgab1 lg abQ 2RQP ；