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1、资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除均值不等式归纳总结word 可编辑1. 1 如a, b时取“=”）R,就 a 2b 22ab(2) 如a,b22R ,就 abab2（当且仅当 ab2. 1 如a,b时取“=”）R* ,就 ab2ab2 如a,bR* ,就 ab2ab（当且仅当 ab(3) 如 a,bR* ,就 ab2ab当且仅当 a2b 时取“=”）3. 如 x0 ,就 x1 2当且仅当 x x1 时取“=”）如 x0 ,就 x12当且仅当 x x1 时取“=）”如 x0 ,就 x112即x12或 x-2当且仅当 ab 时取“=）”xxx4. 如 ab0 ,就 ab2ba当且仅当 ab时
2、取“=”）如 ab0 ,就 ab2即 ab2或 ab-2当且仅当 ab 时取“=”）bababa5. 如 a, bR ,就 a2b 222ab （当且仅当 a2b 时取“=”）ps.1 当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”(2) 求最值的条件“一正,二定,三取等”(3) 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范畴、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例 1：求以下函数的值域11（ 1） y3x 22x 2（ 2） yxx解： 1y 3x 212x 2123x 2 2x 2 6值域为6
3、 ,+）1(2) 当 x0 时, yxx12x x 2；1当 x0 时, yxx1= （ xx1）2x x= 2值域为（,22 ,+）解题技巧技巧一：凑项例 已知 x5 ,求函数 y44 x214 x5的最大值；解：因 4x50 ,所以第一要“调整”符号,又4 x214x不是常数,所以对54x2 要进行拆、凑项,x5 ,54x0, y4 x2154x1323144 x554x当且仅当54 x1,即 x54x1 时,上式等号成立,故当x1 时,ymax1 ；评注：此题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值；技巧二：凑系数例 1. 当时,求yx82 x 的最大值；解析：由知,利用均值不等
4、式求最值,必需和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式, 但其和不是定值； 留意到 2 x82 x8 为定值,故只需将 yx82 x 凑上一个系数即可；当,即 x2 时取等号当 x2 时, yx82 x 的最大值为 8；评注：此题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值；变式：设 0x3 ,求函数 y24x32 x 的最大值；解：0x3 32x20 y4x32x2 2x32 x2 2x232 x922当且仅当 2 x3 2 x, 即 x340, 32时等号成立；技巧三： 分别x27 x例 3. 求y10 x1) 的值域；x1解析一：此题看似无法运用均
5、值不等式,不妨将分子配方凑出含有（x1）的项,再将其分别；当,即时, y技巧四：换元2 （ x14x159 （当且仅当 x1 时取“”号）；解析二：此题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x 1,化简原式在分离求最值；t12y7t1）+10t 2=5t44t5ttt当,即 t=时, y2t4 t59 （当 t=2 即 x 1 时取“”号）；评注：分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值；即化为ymg xAg xB A0, B0 ,gx 恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值；技巧五：在应用最值定理求最值时, 如遇等号取不到的情形, 结合
6、函数的单调性；af xxx例：求函数 yx25x24的值域；解：令x24tt2 ,就 yx25x24x241t1 t2x24t因t0, t 1 t1 ,但t1 解得 tt1不在区间 2,故等号不成立,考虑单调性；由于 yt1 在区间 1,单调递增,所以在其子区间2,为单调递增函数,故ty5 ；2所以,所求函数的值域为5 ,；2练习求以下函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值.2（ 1） yx3x x1 , x0（2） y2x1, x3x3(3) y2sin x1, x sin x0,2已知 0x1,求函数yx1x 的最大值 .；3 0x2 ,求函数3yx2 3x的最大值 .条件求最值1. 如
7、实数满意 ab2 ,就 3 a3 b 的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程而,且 3a3b 定值,因此考虑利用均值定理求最小值,解： 3 a 和3 b 都是正数,3a3 b 2 3a3b23a b6当 3 a3b 时等号成立,由 ab2 及 3a3 b 得ab1即当 ab1时, 3 a3 b 的最小值是 6变式：如log 4 xlog 4 y2 ,求11xy 的最小值 .并求 x,y 的值技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时,要留意取等号的条件的一样性,否就就会出错；2：已知 x0, y190 ,且1,求 xy 的最小值；xy错 解 ：x0, y0, 且 191 ,xy19xy
8、29 2xy12故xyxyxyxy min12；错因：解法中两次连用均值不等式,在xy2xy 等号成立条件是 xy ,在1929 等号成立条件是 19 即 y9 x ,取等号的条件的不一样,产生错误；因xyxyxy此,在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法；正解：x0, y0, 191, xyxy19y9 x1061016xyxyxyy9x19当且仅当时,上式等号成立, 又1,可得 x4, y12 时, xy16；xyxymin变式： （ 1）如x, yR 且 2 xy1 ,求 1 x1 的最小值y2已知a, b, x, yR 且axb1
9、 ,求 xyy 的最小值技巧七y 2已知 x,y 为正实数,且 x 221,求 x1y 2的最大值 .a 2 b 2分析：因条件和结论分别是二次和一次,故采纳公式ab；2同 时 仍 应 化 简1y 2中 y2前 面 的 系 数 为1,x1y 2 x21y 222 2 x1y 222下面将 x,1y 222分别看成两个因式：1y 2x22x 2 1 y 2222y 212x 222324即 x1y 21y 232 x2 2 42技巧八：1已知 a, b 为正实数, 2b ab a30,求函数 y ab 的最小值 .分析：这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题
10、,再用单调性或基本不等式求解,对此题来说,这种途径是可行的；二是直接用基本不等式,对此题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行；法一： a30 2bb 1,ab30 2bb 1b 2 b 2 30b b1由 a 0 得, 0b15令 t b+1 , 1t 16, ab 2t 2 34t31t 2（t1616t） 34 t t162t8t1 ab18 y18当且仅当 t 4,即 b 3, a6 时,等号成立；法二：由已知得：30 ab a 2b a 2b 22 ab 30 ab2 2 ab令 u ab就 u222 u
11、300, 52 u321 ab32 , ab18,y18点评：此题考查不等式 ab2ab（ a, bR ）的应用、不等式的解法及运算才能；如何由已知不等式aba2b30（ a,bR ）动身求得 ab 的范畴,关键是查找到ab与ab 之间的关系,由此想到不等式ab2ab（ a,bR ）,这样将已知条件转换为含 ab 的不等式,进而解得 ab 的范畴.变式： 1.已知 a0 ,b0 ,abab1,求 a b 的最小值；2. 如直角三角形周长为 1,求它的面积最大值；技巧九、取平方5、已知 x, y 为正实数, 3x 2y 10 ,求函数 W 3x 2y 的最值.解法一： 如利用算术平均与平方平均之
12、间的不等关系,ab2a 2b 22,此题很简洁3x2y 2（ 3x ）2 （ 2y ）223x2y25解法二：条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“和为定值”条件靠拢；W 0 , W2 3x 2y 23x 2y 10 23x 2y10 3x 22y 2 103 x2y 20 W 20 25变式: 求函数 y2x152 x 1x5 的最大值；解析：留意到 2x221与 52x 的和为定值；y 22 x152 x2422 x152 x42 x152 x8又 y0 ,所以 0y22当且仅当 2x1= 52x ,即 x3 时取等号；故2ymax22 ；评注：
13、此题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用均值不等式制造了条件；总之,我们利用均值不等式求最值时,肯定要留意“一正二定三相等”,同时仍要留意一些变形技巧,积极制造条件利用均值不等式；应用二：利用均值不等式证明不等式1. 已知a, b, c 为两两不相等的实数,求证： a 2b 2c 2abbcca1）正数 a, b,c 满意 abc 1,求证： 1 a1 b1c8abc例 6：已知 a、b、cR ,且 abc1；求证： 1111118abc分析：不等式右边数字 8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘,又11 1abc2 bc,可由此变形入手；aaaa解： a、b、cR
14、 ,abc1； 111 abc2bc；同理 112 ac ,112ab ；aaaabbcc上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得1111112 bc 2ac 2 ab8 ；当且仅当abc1 时取等号；abcabc3应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知 x0, y0 且 191 ,求使不等式 xym恒成立的实数 m 的取值范畴；xy解：令xyk, x0, y0,191,xyxy9 x9 y1.10y9x111023；k16, m,16kxkykkxkykk应用四：均值定理在比较大小中的应用：例： 如 ab1, Plg alg b ,Q1 lg a2lg b, Rlgab , 就2P, Q, R的大 小 关系是.分析：ab1 lg a0, lg b0Q 1 （ lg a2lg blg alg bpabR lg 2lgab1lg abQ2RQP ；