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1、精品_精品资料_双曲线学问点总结班级姓名学问点一：双曲线的定义在平面内,到两个定点、的距离之差的肯定值等于常数（ 大于 0且）的动点的轨迹叫作双曲线 . 这两个定点、叫双曲线的焦点, 两焦点的距离叫作双曲线的焦距 .留意： 1.双曲线的定义中,常数应当满意的约束条件：,这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来懂得.2. 如去掉定义中的“肯定值”,常数满意约束条件：（）,就动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支.如（）,就动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支.上点的横坐标满意x -a 或 xa.（ 3）顶点：双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点.双曲线（ a 0, b 0）与坐标轴
2、的两个交点即为双曲线的两个顶点,坐标分别为A1（ a, 0）, A2（ a,0）,顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点.两个顶点间的线段 A1 A2 叫作双曲线的实轴.设 B1（ 0, b）, B2（0, b）为 y 轴上的两个点, 就线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴.实轴和虚轴的长度分别为 |A 1A2|=2a , |B 1B2|=2b .a 叫做双曲线的实半轴长, b 叫做双曲线的虚半轴长.留意：双曲线只有两个顶点,而椭圆有四个顶点,不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆.双曲线的焦点总在实轴上.实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.（ 4）离心率：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率,
3、用e 表示,记作.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 如常数满意约束条件：,就动点轨迹是以 F1、F2 为端点的两条射线 （包括端点）.由于 ca 0,所以双曲线的离心率.由 c=a +b ,可得,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 如常数满意约束条件：,就动点轨迹不存在.5. 如常数,就动点轨迹为线段F1F2 的垂直平分线.学问点二：双曲线的标准方程1. 当焦点在轴上时,双曲线的标准方程：,其中.2. 当焦点在轴上时,双曲线的标准方程：,其中.留意： 1只有当双曲线的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直
4、角坐标系时, 才能得到双曲线的标准方程.2 在双曲线的两种标准方程中,都有.3. 双曲线的焦点总在实轴上, 即系数为正的项所对应的坐标轴上. 当的系数为正时, 焦点在轴上, 双曲线的焦点坐标为,.当的系数为正时, 焦点在轴上,双曲线的焦点坐标为,.学问点三：双曲线的简洁几何性质双曲线（ a 0, b 0）的简洁几何性质（ 1）对称性： 对于双曲线标准方程（a 0,b 0）,把 x 换成x,或把 y 换成 y,或把 x、y 同时换成 x、 y,方程都不变,所以双曲线（ a 0, b 0）是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为双曲线的中心.（
5、 2）范畴：双曲线上全部的点都在两条平行直线x= a 和 x=a 的两侧,是无限延长的.因此双曲线所以打算双曲线的开口大小,越大, e 也越大,双曲线开口就越开阔.所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度.等轴双曲线,所以离心率.（ 5）渐近线：经过点A2、A1 作 y 轴的平行线 x= a,经过点 B1、B2 作 x 轴的平行线 y= b,四条直线围成一个矩形（如图）,矩形的两条对角线所在直线的方程是,我们把直线叫做双曲线的渐近线.留意：双曲线与它的渐近线无限接近,但永不相交.学问点四：双曲线与的区分和联系标准方程图形焦点,性质焦距范畴,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编
6、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称性关于 x 轴、 y 轴和原点对称顶点轴实轴长 =,虚轴长 =离心率将有关线段、和角结合起来 .1. 如何确定双曲线的标准方程？当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,双曲线的方程才是标准方程形式.此时,双曲线的焦点在坐标轴上.2. 双曲线标准方程中的三个量a、b、c 的几何意义双曲线标准方程中, a、b、c 三个量的大小与坐标系无关,是由双曲线本身所确定的,分别表示222双曲线的实半轴长、 虚半轴长和半焦距长, 均为正数, 且三个量的大小关系为： c a,c b,且 c =b +a .223. 如何由双曲线标准方程判定焦点位置可编辑
7、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22渐近线方程双曲线的焦点总在实轴上,因此已知标准方程,判定焦点位置的方法是：看x、y 的系数,假如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学问点五：双曲线的渐近线：（1）已知双曲线方程求渐近线方程：如双曲线方程为,就x 项的系数是正的,那么焦点在x 轴上.假如 y 项的系数是正的,那么焦点在y 轴上.留意：对于双曲线, a 不肯定大于 b,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_224. 方程 Ax +By =C（ A、B、
8、C 均不为零）表示双曲线的条件其渐近线方程为留意：（ 1）已知双曲线方程,将双曲线方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_程中的“常数”换成“0”,然后因式分解即得渐近线方程.（ 2）已知渐近线方程求双曲线方程：如双曲线渐近线方程为,就可设双曲线方程为,依据已知条件,求出即可.（ 3）与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（,焦点在轴上,焦点在 y 轴上）（ 4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线相互垂直,为,因此等轴双曲线可设为.学问点六：双曲线图像中线段的几何特点：双曲线,如图：（ 1）实轴长,虚轴长, 焦距,（ 2）离心率：.（ 3）顶点到焦点的距离：,.（ 4）中结合定
9、义与余弦定理,方程 Ax +By =C 可化为,即,所以只有 A、B 异号,方程表示双曲线.22当时,双曲线的焦点在x 轴上.当时,双曲线的焦点在y 轴上.5. 求双曲线标准方程的常用方法：待定系数法 ：由题目条件确定焦点的位置,从而确定方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方程中的参数、 、 的值.其主要步骤是“先定型,再定量”. 定义法 ：由题目条件判定出动点的轨迹是什么图形,然后再依据定义确定方程.留意： 如定义中 “差的肯定值” 中的肯定值去掉, 点的集合成为双曲线的一支,先确定方程类型, 再确定参数 a、b,即先定型,再定量.如两种类型都有可能,就需分类争论.6. 如何解决与焦点三角
10、形 PF 1F2（ P 为双曲线上的点）有关的运算问题？与焦点三角形有关的运算问题时, 常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理） 、三角形面积公式相结合的方法进行运算与解题,将有关线段、,有关角结合起来,建立、之间的关系 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2227. 如何确定离心率e 的取值情形与双曲线外形的关系？：离心率,由于 c =a +b ,用 a、b 表示为,当 e 越大时,越大,即渐近线夹角（含x 轴）越大,故开口越大.反之,e 越小,开口越小.离心率反映了双曲线开口的大小,且e1.8椭圆、双曲线的区分和联系：椭圆
11、双曲线依据 |MF1|+|MF 2|=2a依据 |MF1| |MF2|= 2a【变式 3】已知点 Px,y的坐标满意,就动点 P的轨迹是（ ）A椭圆B双曲线中的一支C两条射线D以上都不对答案： B类型二：双曲线的标准方程：2 求与双曲线有公共焦点,且过点的双曲线的标准方程.解法一：依题意设双曲线方程为=1 由已知得,又双曲线过点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a c0, a2 c 2=b2（ b 0）,（ a b 0）标准方程统一为：0 a c,c 2 a2=b2（ b 0）,（ a0, b 0, a 不肯定大于 b）, ： 故
12、所 求 双 曲 线 的 方 程 为.解法二：依题意设双曲线方程为,将点代入,解得,所以双曲线方程为.【变式】 求中心在原点, 对称轴为坐标轴, 且顶点在轴,焦距为 10,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_类型一：双曲线的定义1已知 O1： x+5+y =4, O2： x 5 +y =9（ 1）如动圆 P 与 1, 2 均内切,求动圆圆心P 点的轨迹.（ 2）如动圆 Q与 1, 2 均外切,求动圆圆心 Q点的轨迹.解析：（ 1）设 P 半径为 R, O1 与 O2 相离, |PO1|=R 2, |PO2|=R 3 |PO1|
13、|PO2|=1 ,的双曲线的标准方程 . 【答案】3已知双曲线的两个焦点F1、F2 之间的距离为 26,双曲线上一点到两焦点的距离之差的肯定值为24, 求双曲线的标准方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又|O 1O2|=10由双曲线的定义, P 点的轨迹是以 O1, O2 为焦点, 2a=1, 2c 10 的双曲线的右支.解析：由题意得 2a=24, 2c=26. a=12, c=13, b =13 12=25.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）设 Q半径为 r ,就 |QO1|=r+2 ,|QO2|
14、=r+3 |QO2| |QO1|=1 ,又|O 1O2|=10由双曲线的定义, Q点的轨迹是以 O1,O2 为焦点, 2a=1, 2c 10 的双曲线的左支.举一反三：【变式 1】已知定点 F1 2,0 、F22,0 ,平面内满意以下条件的动点P 的轨迹为双曲线的当双曲线的焦点在x 轴上时,双曲线的方程为. 当双曲线的焦点在y 轴上时,双曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22是（ ）A|PF 1| |PF 2|= 3B|PF 1| |PF 2|= 4C|PF 1| |PF 2|= 5 D|PF 1| |PF 2| = 4 【答案】A【变式 2】已知点 F10, 13 、 F2
15、0,13,动点 P 到 F1 与 F2 的距离之差的肯定值为26,就动点 P的方程为.2222总结升华：求双曲线的标准方程就是求a 、b22的值,同时仍要确定焦点所在的坐标轴.双曲线所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的轨迹方程为（）A y=0 B y=0（ x 13 或 x 13）C x=0 （|y| 13） D以上都不对【答案】C在的坐标轴,不像椭圆那样看x、y 的分母的大小,而是看x、y 的系数的正负.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【类型三：双曲线的几何性质4方程表示双曲线,求实数m的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -
16、 - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：由题意得或或.实数 m的取值范畴为.22总结升华：方程 Ax +By =1 表示双曲线时, A、B 异号.【变式 1】k 9 是方程表示双曲线的（）A充分必要条件B充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分又不必要条件【答案】B【变式 2】求双曲线的焦距.【答案】 8依据以下条件,求双曲线方程. （ 1 与双曲线有共同的渐近线,且过点.（ 2）一渐近线方程为,且双曲线过点.解析：（ 1）解法一： 当焦点在 x 轴上时,设双曲线的方程为由题意,得,解得,所以双曲线的方程为当焦点在 y 轴上时,设双曲线的方程为由题意,得,解得,（舍去） 综上所得,双曲线的
17、方程为解法二：设所求双曲线方程为（）,将点代入得,所以双曲线方程为即（2）依题意知双曲线两渐近线的方程是.故设双曲线方程为,点在双曲线上,解得,所求双曲线方程为.总结升华：求双曲线的方程,关键是求、 ,在解题过程中应熟识各元素（、 、 、 及准线）之间的关系,并留意方程思想的应用.如已知双曲线的渐近线方程,可设双曲线方程为（） .总 结 升 华 ： 双 曲 线的 渐 近 线 方 程 为即. 如 双 曲 线 的 方 程 为（,焦点在轴上,焦点在y 轴上）,就其渐近线方程为.总结升华 ：求双曲线的方程,关键是求、 ,在解题过程中应熟识各元素（、 、 及准线）之间的关系,并留意方程思想的应用.如已知双曲线的渐近线方程,可设双曲线方程为（） .8已知双曲线实轴长6,过左焦点的弦交左半支于、 两点,且,设右焦点,求的 周 长 .解 析 ： 由 双 曲 线 的 定 义 有 :, . 即. 故的周长. 【变式 1】已知双曲线的方程,点 A 、B 在双曲线的右支上, 且线段 AB 经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m ,F1 为另一焦点,就 ABF 1 的周长为（ ） A 2a+2mB 4a+2mC a+m D 2a+4m【B】可编辑资料 - - - 欢迎下载