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1、精品word学习资料可编辑资料- - - - - - - - - - - - - - - - - -细心整理 - - - 欢迎下载 - - -第 7 页,共 5 页双曲线学问点指导老师：郑军一、双曲线的定义：1. 第肯定义：到 两个定点 F1 与 F2 的距离之差 的 肯定 值等 于定 长（ | F1 F2| ） 的点的轨迹（ PF1PF22aF1 F2（ a 为常数） 这两个定点叫双曲线的焦点要留意两点：（1）距离之差的肯定值 . （ 2）2a| F1F2 |.当| MF1| | MF2 |=2 a 时,曲线仅表示焦点 F2 所对应的一支； 当| MF1| | MF2 |= 2a 时,曲线仅
2、表示焦点 F1 所对应的一支；当 2a=| F1F2| 时,轨迹是始终线上以F1、F2 为端点向外的两条射线；当 2a| F1F2 | 时,动点轨迹不存在 .2. 其次定义：动点到肯定点 F 的距离与它到一条定直线 l 的距离之比是常数 e e1 时,这个动点的轨迹是双曲线 这定点叫做双曲线的焦点,定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：x2y 2a 2b 2y 2x 2a 2b 21 （a0, b 0） 焦点在 x 轴上 ；1 （a0, b 0） 焦点在 y 轴上 ；1. 假如 x 2 项的系数是正数,就焦点在x 轴上；假如轴上. a不肯定大于 b.y 2 项的系数是正数,就焦点在
3、y22. 与双曲线 xa22y1共焦点的双曲线系方程是b2x2a 2ky 21b 2k23. 双曲线方程也可设为：xy21mn0mn22例题：已知双曲线 C 和椭圆 xy1有相同的焦点, 且过P3, 4 点,求双曲线 C 的169轨迹方程；三、点与双曲线的位置关系,直线与双曲线的位置关系：1 点与双曲线：22x2y2点 P x , y 在双曲线 xy1a0, b0 的内部00100a2b2a 2b22222点 P x , y 在双曲线 xy1a0, b0 的外部x0y0100a2b2a 2b222点 P x , y 在双曲线 xy1a0, b0 上22xy0 -0 =1002 直线与双曲线：（
4、代数法）a2b2x2y 2a2b2设直线l : ykxm ,双曲线 2a21ab0,b0) 联立解得b2a 2k 2 x 22a2 mkxa 2 m2a 2b201) m0 时, bkb 直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点） ；aa2) m0 时,kb , k ab ,或 k 不存在时直线与双曲线没有交点；ak 存在时,如b 2a 2 k 20kb ,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点；a如b2a 2k 20 ,2a2mk24b2a2k 2a2 m2a2b2 4a2b2 m2b2a2 k20 时, m20 时, m2b2a 2k20 ,直线与双曲线相交于两点；b2a 2k2
5、0 ,直线与双曲线相离,没有交点；220 时m2b2a 2k 20 , k 2mb直线与双曲线有一个交点；a 2如k 不存在, ama 时,直线与双曲线没有交点；ma或 m直a 线与双曲线相交于两点；3.过定点的直线与双曲线的位置关系：x 2y 2设直线l : ykxm 过定点Px0, y0 ,双曲线 2a21ab0, b01.当点 Px0 , y0 在双曲线内部时：bbk,直线与双曲线两支各有一个交点；aakb ,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点；abk或k ab或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；a2.当点 Px0, y0 在双曲线上时：0kb 或 kb2x,直线与双
6、曲线只交于点P x, y ；0aa2 y00bkb 直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点） ；aab2xbb2 xbk0 （ y0 ）或k0（ y0 ）或k或k 不存在,00a2 y0aa2 y0a直线与双曲线在一支上有两个交点；当 y00 时,bk或k 不存在,直线与双曲线只交于点P x , y ；akb 或k a00b 时直线与双曲线的一支有两个交点；abbk直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点） ；a a3.当点 Px0, y0 在双曲线外部时：当 P 0,0 时,b kb ,直线与双曲线两支各有一个交点；aabk或k ab或k 不存在,直线与双曲线没有交点；a当点 m0 时
7、,m2b2ka2时,过点Px0, y0 的直线与双曲线相切bka 时,直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点程；P 0,3的直线 l 和双曲线C : x2y1 ,仅有一个公共点, 求直线 l 的方24四、双曲线与渐近线的关系：x2y21. 如双曲线方程为221aab0, b0x2y2b渐近线方程：a 2b 20ya x222. 如双曲线方程为 yxa 2b2y2x21 （ a 0,b0）a渐近线方程：220 yxabb3. 如渐近线方程为 yb xxy0aab22双曲线可设为 xya 2b 2,0 .24. 如双曲线与 xa 22y1 有公共渐近线b 222就双曲线的方
8、程可设为 xya 2b2上）五、双曲线与切线方程：（0 ,焦点在 x 轴上,0 ,焦点在 y 轴221. 双曲线 xy1a0,b0 上一点P x , y 处的切线方程是 x0 xy0 y1 .a 2b 200a 2b 2x2y22. 过双曲线x0xy0ya2b 21a1 .0,b0 外一点Px0, y0 所引两条切线的切点弦方程是a 2b2x2y23. 双曲线 2a21ab0,b0 与直线AxByC0 相切的条件是A2a 2B 2b 2c2 .六、双曲线的性质：标准方程（焦点在 x 轴）标准方程（焦点在 y 轴）双曲线x 2y 2a 2b 21 a0, b0y2x 2a 2b 21 a0, b
9、0第肯定义：平面内与两个定点F1 , F2 的距离的差的肯定值是常数（小于F1F2 ）的点的轨迹叫双曲线；这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫焦距；MMF1MF2P2a2ayyF1F2y yF2x xxF1F2xP定义F1其次定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 e ,当 e1 时,动点的轨迹是双曲线；定点 F 叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数e（ e1 ）叫做双曲线的离心率；yyFPyPPy2xxxF1F2xPF1范畴xa , yRya , xR对称轴x 轴 , y 轴；实轴长为 2a , 虚轴长为 2b对 称 中心原点O 0,0焦 点 坐F1c,0F2 c,0F10,cF20, c标焦点在实轴上,c a2b2 ；焦距：F1F22c顶 点 坐标（a ,0 ） a ,00,a , 0, a 离心率ec e a1 , c2a 2b 2 , e 越大就双曲线开口的开阔度越大a 2a 2xy准 线 方cc程准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：2a 2c顶 点 到顶点 A （ A ）到准线2l （ l ）的距离为a1212a准 线 的c距离