2022年函数极限概念.docx

《2022年函数极限概念.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年函数极限概念.docx（31页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载引言在数学分析中,极限的概念占有主要的低位并以各种形式显现而贯穿全部内容, 同时极限概念与方法是近代微积分的基础. 因此把握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环 . 本文主要对一元函数极限定义和它的求解方法进行了归纳总结 , 并在详细求解方法中就其中要留意的细节和技巧做了说明 , 以便于我们明白函数的各种极限以及对各种极限进行运算. 求函数极限的方法较多 ,但每种方法都有其局限性, 都不是万能的 , 对某个详细求极限的问题, 我们应当挑选合适的方法 . 一、函数极限概念定义 1 1设 f 为定义在 a , 上的

2、函数, A 为定数 . 如对任给的 0,存在正数 M （a ）,使得当 x M 时有f x A,就称函数 f 当 x 趋于 + 时以 A 为极限,记作x lim f x A 或 f x A x .定义 2 1（函数极限的-定义）设函数 f 在点 0x 的某个空心邻域 U 0（0x ； ）内有定义, A为定数；如对任给的 0,存在正数（ ）,使得当0 x x 0 时有f x A,就称函数 f 当 x 趋于 x 时以 A 为极限,记作limx f A 或 f x A x x 0 . 定理 1 1设函数 f 在 U 0 x 0 , （或 U 0 x 0 ; ）内有定义, A 为实数；如对任给的 0

3、,存在正数 ,使得当 x 0 x x 0（或 x 0 x x ）时有_精品资料_ 就称数 A 为函数 f 当 x 趋于x 0f x A,第 1 页,共 16 页（或0x）时的右（左）极限,记作- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - lim x x 0精品资料欢迎下载Af x A limx x 0f x 或定理 2f x A xx0f x A xx 0. U0x 0内1 （唯独性）如极限lim x xf x 存在,就此极限是唯独的 0. 定理 31 （局部有界性）如x lim xf x 存在,就 f 在 0x 的某空心邻域有界 . 定理 4 1（局部保号性

4、）如 lim x xf x 0 A 0（或0）,就对任何正数 r A（或0 0r - A ）, 存在 U x 0 ,使得对一切 x U x 0 有f x r 0（或 f r 0）. 定理 5 1（保不等式性）设 limx xf x 0 与 limx xg x 都存在,且在某邻域 0 U 0 x 0 ; 内有 f x g x ,就lim x x 0 f x x lim x 0 g x .二、函数极限的求解与应用极限始终是数学分析中的一个重点内容,而对函数极限的求法可谓是多种多样,通过归纳和总结,我们排列出一些常用的求法. 求解函数极限的最基本的方法仍是利用函数极限的定义, 同时也要留意运用两个重

5、要极限,其中可以利用等量代换, 绽开、约分等方法化成比较好求的数列,也可以利用函数极限的四就运算法就运算 . 夹逼性定理和拉格朗日中值定理是很重要的定理,在求的时候要 重点留意运用 . 洛必达法就是针对某些特殊的函数而言的,仍有一些比较常用的 方法,在本文中都一一列举了 .1、利用函数极限的定义_精品资料_ 依据函数极限的定义,是求极限的最基本的方法之一.=. 第 2 页,共 16 页例 1 证明lim x10. 0,M = 1,就当 x M 时有,1 x0=1 x- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 所以有lim x10. 精品资料欢迎下载x例2 用

6、极限的定义证明x lim x01x21x02|x 0| 1. 证明由于 |x| 1, |x 0| 1, 因此12 x1x 021|x 02x 2|x 02x 21|xx 0|x2x 0|2 |xx 0|.1x 01x 0212x 02,就当0|xx 0|时, 于是 , 对任给的0 不妨设01 , 取有12 x1x 02., 故求解的关键在于不等式的注 用极限的定义时 , 只需要证明存在N或建立 . 在求解的过程中往往采纳放大、 缩小等技巧 , 但不能把含有 n 的因子移到不等式的另一边再放大 , 而是应当直接对要证其极限的式子一步一步放大 , 有时仍需加入一些限制条件 , 限制条件必需和所求的

7、 N 或 一样 , 最终结合在一起考虑 . 2利用极限的运算法就_精品资料_ 定理 61（四就运算法就）如极限lim x x0f x 与lim x x0g x 都存在,就函数 fg ,第 3 页,共 16 页.f g 当xx 时极限也存在,且x lim x 0f x g x x lim x 0f x lim x x 0g x ;lim x x0f x g x lim x x 0f . lim x x0g x ；又如x lim xg x 0 0,就fg当xx 0时极限存在,且有lim x x 0f x x lim x 0f x / lim x x 0g x .g x - - - - - - -_

8、归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 例 3 求lim n1aa2精品资料a欢迎下载1. an, 其中,1 b1bb2bn解 分子分母均为无穷多项的和, 应分别求和 , 再用四就运算法就求极限1aa2an11an11,bb2bnx21bn1, ab1lim n1n a111a1b原式1a n b1141 1 1alim n11b1b1x2. 例4 求lim x 01xx221x21x解 原式lim x 01xx21x1x221x21 lim x 0x211x1x22lim x 01xx21x211 . 4注1 对于和、差、积、商形式的函数求极限 , 可以采纳极限运算法就 , 使用

9、时需要先对函数做某些恒等变换或化简, 变换的方法通常有分式的通分、约分、分解因式、分子分母有理化、三角函数的恒等变化、拆项消去法、比较最高次幂 法等 . 注2 运用极限法就时 , 必需留意只有各项极限都存在 不为零 时才能适用 . 3利用迫敛性（夹逼准就） 对商, 仍要分母极限_精品资料_ 定理 71（迫敛性）设lim x x 0f x lim x x 0g x A,且在某U0x 0;内有第 4 页,共 16 页f x h x g x ,- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 就精品资料欢迎下载lim x xh x 0 A .例 5 求以下函数的极限 .

10、 1lim xxcosx；,x2x limxsinx. x24解 1 由于 -1cosx1,所以当x0时,1 xcosx1xx于是11xcosx11, xxx又由于x lim 11x lim 111,xx由迫敛性得lim xxcosx1.x（2）由于1sinx1,所以当x2 时,x-x4xsinxx2x4,2x24又由于x limx2x4x lim110, lim x2 xx40,x 42 x又迫敛性得x limxsinx=0. x24例6 求lim x 01sinx2sin1. xx解当x0时, 有|1sin2 xsin1| |x2sin1|x2, xxx从而0 |1sinx2sin1| |

11、x|, , xx由夹逼准就得lim | x 01sinx2sin1| 0, xx所以lim x 01sinx2sin10. xx注1 迫敛性（夹逼准就）多适用于所考虑的函数比较简洁适度放大或缩小而且放大和缩小的函数是简洁求得相同的极限. 基本思想是把要求解的极限转_精品资料_ - - - - - - -第 5 页,共 16 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料. 欢迎下载化为求放大或缩小的函数或数列的极限注2 利用夹逼准就求函数极限的关键：（1）构造函数fx , h x , 使fxg xgh x ；（2）lim x x 0fx lim x x 0h x A, 由此可

12、得lim x x 0x A. 4利用两个重要极限两个重要极限 : （1lim x 0sinx1；x. x 2lim x11xe. x依据复合函数的极限运算法就, 可将以上两个公式进行推广: 1x lim x 0sinfx1 lim x x 0fx,0ysinu,ufx ；fxu 2x lim x 01g1gxex lim x 0gx,y11u,ugxu例7 求以下函数的极限_精品资料_ 就当（1）lim xxsin1;0 .2sinxsin2x第 6 页,共 16 页x（2）lim x 0tanx3sinx . x解（ 1）令1t,xx时,t于是lim xxsin1lim t 0sint1.x

13、t 2lim x 0tanx3sinxlim x 0sin 1 cos lim x 02xx3cosxx3cosx- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - lim x 0精品资料sin2x.欢迎下载xsinx.12 2xx2cos21.1. 1. 21 2例 8 求以下函数的极限（1）lim1 x 021x;x2x（2）lim x 01 1x . xx2解（ 1）lim1 xx2x= lim x1+112 e. x x1x12xx-x 2（2）lim x 011lim1 n2x1lim1 x 02xx2x1x1x1x12x =lim x 0112x2xe2

14、 . x5利用无穷小的性质和等价无穷小代换定理 81设函数f ,g x ,h x 在U x 0,内有定义 , 且有 1 如lim x x 0fx h fx gxxx 0. xA, 就lim x x 0gx h x A； 2 如x lim x 0h x B, 就x lim x 0h x B. fx gx 性质 1 有限个无穷小量的代数和为无穷小量；性质 2 有限个无穷小量的乘积为无穷小量；_精品资料_ - - - - - - -第 7 页,共 16 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载性质 3 常数与无穷小量的乘积是无穷小量 . 就定理 91 设,均为无穷小

15、 , 且, 且 lim. 存在, limlim. 例9 求极限lim x 012cosx2 . 所以xsinx20 , 解 由于1cosx2x22;2lim x 012cosx2=x221.x2 2 x2xsinx22例10 运算lim x 0tanxsinx. sinx3而解由于tanxsinxsinx 1cosx, cosxsinxxx0, 1cosxx2x0, sinx3x3x2故有lim x 0tanxsinxlim x 01xxx21. 2 3 xsinx3cos2例116运算lim x 012 x1且1cosx . 解 由于1cosx12 xx0,2lim x 01cosxlim

16、x 02sin2xlim x 0sinx21221x21x2x222由定理得,_精品资料_ lim x 01x21lim x 011x21lim x 01x2x2x21lim x 012211. 第 8 页,共 16 页1cosxx21x22- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载注1 对于分子或分母中的两个无穷小之差不能直接用无穷小代换 . 注27常用等价代换公式 : 当x0时, sinx x, arcsinx x, tanx x, arctanx x, ex1x, ax1xlna等. 在求解极限的时候要特殊留意无穷小等价替换 , 无

17、穷小等价替换可以很好的简化解题. 6. 利用恒等变形法在求函数极限时, 利用简洁的恒等变形可使极限易于运算,恒等变形的手段有约分法有和有理化法 . （1）约分法适用于运算0 型函数极限,假如所求函数的分子分母都是整式且有公因子0（特殊是零因子）时,可通过约简式运算极限值 . 2 n例 12 3 运算 lim x 1 x xx 1 x n 的值（ n为正整数） . 2 n解 原式 = lim x 1 x 1 x 1x 1 x 1n 1 n 2 = lim 1 x 1 x x x 1x 11 2 n = 1 n n . 2注 要第一将分子分母因式分解, 找到公因子 （特殊是零因子）,接着即可约去公

18、因子,求函数极限 . （2）有理化法在求解存在根号的函数极限时, 通过挑选分子或分母, 或分子分母同时有理_精品资料_ 化约去零因子,即可转化为一般的极限问题. 0）. 第 9 页,共 16 页例 134运算：lim x 0a2xa（其中ax解 原式 =lim x 0a2xaxa2a xax a2 =lim x 0a22xa2xaxa- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - =lim x 0a21xa精品资料欢迎下载 =1 2a注 此题是通过分子有理化来简化运算,在详细解题时依据简便原就进行选择何种方式的有理化 . 7. 利用洛必达法就（1）0 型不定式极

19、限 0gx 0；定理 101如函数fx和gx 满意： i lim x x 0fxlim x x 0gx0； ii 在点0x 的某空心邻域U0x 0,内两者都可导 , 且 iii x lim x 0fx A A 可为实数 , 也可为, gx 就（2）x lim x 0fxx lim x 0fxA. gx 0；gxgx型不定式极限 定理 111如函数 f 和 g 满意：i x lim x 0fxx lim x 0g x ； ii 在点0x的某空心邻域U0x 0,内两者都可导 , 且 iii x lim x 0fxA A 可为实数 , 也可为, gx 就_精品资料_ 注8lim x x0fx lim

20、 x x0fxA. , 在同第 10 页,共 16 页gxgx洛必达法就是求两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限的- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载一运算过程中可连续使用, 直到求出所求极限 . 但是 , 对于其他不定式的极限0 0（如 0 , 1 , 0 , , 等类型）假如无法判定其极限状态 , 就洛必达法就失败, 但只需经过简洁变换 , 它们一般可以化为 0 型和 型的极限 . 0例 12 3 运算：（1）limx 0 xarcsin arcsinx 3 x ;（2）lim x ln x ; x 01（3）lim xx1x2

21、lnx. 解 （1）这是一个0 型的不定式极限 , 直接应用洛必达法就得 : 0lim x 0xarcsinxlim x 01112 xlim x 01x21将它转化3 x232 x12 x3 x（2）这是一个 0lim x 03 x21x22 xx211 . 6lnx1型的不定式极限 , 用恒等变形xlnx1x为型不定式极限 , 并应用洛必达法就得到0. 1lim x 0xlnxlim x 0lnxlim x 0x 1lim x 0x1xx2型 ）：（3）这是个0型不定式极限.类似地先求其对数的极限（x lim +lnxln1x2x lim11x21x1x1_精品资料_ 于是有x limx1

22、2 xlnx=e. 时不行求导 . 第 11 页,共 16 页注 1 要留意条件,也即是说,在没有化为0 , 0- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载注 2 应用洛必达法就,要分别的求分子、分母的导数,而不是求整个分式的导数 . 注 3 要准时化简极限符号后面的分式,在化简以后检查是否仍是未定式,如遇到不是未定式,应立刻停止使用洛必达法就,否就会引起错误 . 8. 利用泰勒绽开式泰勒绽开式9 ：如f x 在xx0点有直到n1阶连续导数 , 那么f x f0f,0f,0x2.f 0xno xn2n.对于求某些不定式的极限来说,应用泰勒公

23、式比使用洛必达法就更为便利,以下为常用的绽开式：_精品资料_ 1ex1xx2xno xnn1xno xn第 12 页,共 16 页2.n. 2 sinxxx3x5n 11x2n1o x2n3.5.2n1. 3cosx1x2x4n 1x2no x2n12.4.2 . 4ln1xxx2 1n1xno xn2n 51x1x2.1x21n . 611x 1xx2xno xn上述绽开式中的符号o n x都有 : lim x 0o n x0xnx2例 131运算lim x 0cosx4e2 . x解 利用泰勒公式求解cosx1x2x4o x5224- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - -

24、 - - - - - 精品资料2 x欢迎下载5 o xx 2xe2128cosxex2x4o x5212因而求得lim x 0cosxex2lim x 01x40x 51. 2124 x4 x129. 利用拉格朗日中值定理_精品资料_ 定理 121如函数 f 满意如下条件：sin1 1.第 13 页,共 16 页 1f 在闭区间上连续 ; 2 f 在 , a b 内可导 ; 就在 , a b 内至少存在一点, 使得f f b f a .ba此式变形可为 : fbfafaba0ba例 1410求lim x 0exsin ex.xsinxx 0解 令fxex对它应用中值定理得exsin exf f

25、sinxxsinx fsinxx即exesinxfsinxxsinx 01.xsinxfx ex连续 , lim x 0fsinxxsin f01.从而有lim x 0x eesinx1.xsinx- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载结论求解函数极限时,不同的函数类型所采纳的技巧是各不相同的 . 对同一题也可能有多种求法, 有难有易, 有时甚至需要结合上述各种方法,所以我们必需要细心分析认真甄选,挑选出适当的方法 不必要的麻烦,起到事半功倍的成效. 这样不仅精确率更高,而且会省去很多 . 这就要求我们要吃透其精髓,明白其中的道理,体

26、会出做题的窍门 . 达到这样的境域非一日之功, 必需要多做题善于总结,日积月累,定会熟能生巧,在做题时才可能得心应手. 从上述的介绍中可以看出_精品资料_ 求极限的方法不拘一格,我们应详细问题详细分析, 不能机械地用某种方法, 对第 14 页,共 16 页详细题目要详细分析,有时解题时可多种方法相结合,要学会敏捷运用. - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载参考文献：1 华东师范高校数学系. 数学分析 M. 第三版 . 北京 : 高等训练出版社, 2022. 2022, 2 彭辉 . 高等数学辅导 M .北京 : 高等训练出版社, 2

27、022. 3 裴礼文 . 数学分析中的典型问题与方法M. 北京 : 高等训练出版社, 1995. 4 丁家泰 . 微积分解题方法M. 北京 : 北京师范高校出版社, 1981. 5 刘三阳 . 高等数学典型题解M. 西安 : 西北工业高校出版社, 2022. 6 吉米多维奇 . 数学分析习题集解题M. 济南 : 山东科学技术出版社, 1999. 7 钱志良 . 谈极限的求法 J. 常州信息职业技术学院学报,2022, 417:24-26. 8 张灵敏 . 函数极限的几种特殊求法J. 黄石理工学院学报, 2022, 424:56-58. 9 程 鹏 , 张 洪 瑞 , 李 占 现 . 求 函 数

28、 极 限 的 方 法 J. 河 南 科 技 学 院 学 报 , 936:133-134. 10 Rudin W. Principle of Mathematical AnalysisM. New York: John Pearson Edution, 1990. _精品资料_ - - - - - - -第 15 页,共 16 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载致谢在本次论文的撰写中,我得到了崇金凤老师的细心指导,不管是从开头定方向仍是在查资料预备的过程中,始终都耐心地赐予我指导和看法,使我在总结学业及撰写论文方面都有了较大提高；同时也显示了老师高度的敬业精神和责任感. 在此,我对崇金凤教授表示真诚的感谢以及真心的祝愿 . 四年高校生活即将终止, 回忆几年的历程, 老师们给了我们很多指导和帮忙；他们严谨的治学,优良的作风和敬业的态度,为我们树立了为人师表的典范 . 在 此,我对信息学院的老师表示感谢,祝你们身体健康,工作顺当；最终,我要向百忙之中抽时间对本文进行批阅,各位老师表示感谢 . 评议和参加本人论文答辩的_精品资料_ - - - - - - -第 16 页,共 16 页