二重积分的复习.ppt

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1、定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法应应 用用二重积分二重积分定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法应应 用用三重积分三重积分一、主要内容一、主要内容二重积分的定义二重积分的定义定义定义 设设),(yxf是有界闭区域是有界闭区域 D 上的有界函数，将闭区域上的有界函数，将闭区域 D 任意分成任意分成 n 个小闭区域个小闭区域1 ，,2 ，,n 其中其中 i 表示第表示第 i 个小闭区域，也表示它的面积，在每个小闭区域，也表示它的面积，在每 个个 i 上任取一点上任取一点 ),(ii ，作乘积，作乘积 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ，并作和，并作和 iini

2、if ),(1， 如如果果当当各各小小闭闭区区域域的的直直径径中中的的最最大大值值 趋趋近近于于零零时时， 这这和和式式的的极极限限存存在在，则则称称此此极极限限为为函函数数),(yxf在在闭闭 区区域域 D 上上的的二二重重积积分分，记记为为 Ddyxf ),(，即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. . 二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值值xzyoD),(yxfz i ),(ii xzyo),(yxfz

3、 Di ),(ii 二重积分的性质二重积分的性质性质性质 当当 k 为常数时，为常数时，.),(),( DDdyxfkdyxkf 性质性质 Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf 性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性质性质 若若 为为D的面积，的面积，.1 DDdd )(21DDD 性质性质若在若在D上上),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf 则有则有设设M、m分别是分别是),(yxf在闭区域在闭区域 D 上的最大上的最大 值和最

4、小值，值和最小值， 为为 D 的面积，则的面积，则 性质性质设函数设函数),(yxf在闭区域在闭区域D上连续，上连续， 为为D的面的面 积，则在积，则在D上至少存在一点上至少存在一点),( 使得使得 性质性质 DMdyxfm ),( ),(),(fdyxfD二重积分的计算二重积分的计算,:bxaD ).()(21xyx X型型.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf （）直角坐标系下（）直角坐标系下.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf ,:dycD ).()(21yxy Y型型（）极坐标系下（）极坐标系下.)sin,cos()()(21 rdrrrf

5、d Drdrdrrf )sin,cos(, ).()(21 r )(2 r)(1 rAoDD.)sin,cos()(0 rdrrrfd, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos()( r AoD D :D :DoA Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd).(0 r)( r,20 D :注意：注意：当被积函数为当被积函数为),(22yxf 积分区域是圆或积分区域是圆或圆的一部分时，在极坐标系下化为二次积分，圆的一部分时，在极坐标系下化为二次积分，常可简化计算。常可简化计算。二重积分的应用二重积分的应用(1) (1) 体积体积之之间间直直柱柱

6、体体的的体体积积与与区区域域在在曲曲面面Dyxfz),( DdxdyyxfV.),(设设S曲面的方程为：曲面的方程为：).,(yxfz 曲面曲面S的面积为的面积为;122dxdyyzxzAxyD (2) (2) 曲面积曲面积(3) (3) 重心重心当薄片是均匀的，重心称为当薄片是均匀的，重心称为形心形心. .,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域面上的闭区域D，在点，在点 ),(yx处的面密度为处的面密度为),(yx ，假定，假定),(yx 在在D

7、上连上连 续，平面薄片的重心续，平面薄片的重心 薄片对薄片对轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域面上的闭区域D，在点，在点 ),(yx处的面密度为处的面密度为),(yx ，假定，假定),(yx 在在D上连上连 续，计算该平面薄片对位于续，计算该平面薄片对位于 z轴上的点轴上的点 ), 0 , 0(0aM处的单位质点的处的单位质点的引力引力)0( a ,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxGFDx ,)(),(23222 dayxyyxGFDy .)(),(23222 dayxyxaGFDz G 为引力常数为引力常数(4

8、) (4) 引力引力D二、典型例题二、典型例题例例1 1解解围成围成由由其中其中计算计算2,1,.22 xxyxyDdyxD X-型型 xxDdyyxdxdyx1222122 2112)(dxyxxx 213)(dxxx.49 ,121:xyxxD例例2 2解解. 10, 11:.2 yxDdxyD其中其中计算计算 1D2D3D先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图 dxydyxdxyDDDD 321)()(222 1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511 )0( .),(22202 adyyxfdxIaxxaxa更换积分次序更换积分次序例例3 3解解 ,22,

9、20:2axyxaxaxD,321三部分三部分及及分成分成将积分区域将积分区域DDDD2D1D3D;0,2:2221ayyaaxayD ;2,22:22ayaaxayD ;0,2:223ayaxyaaD .),(),(),(20222020222222 ayaaaaayayaaayadxyxfdydxyxfdydxyxfdyI故故例例4 4解解）所围的面积（取圆外部所围的面积（取圆外部和圆和圆是由心脏线是由心脏线其中其中计算计算ararDdyxD )cos1(.22 )cos1(2222aaDrdrrddyx 22331)cos1(31da).2922(3 a例例5 5解解所围成所围成及及由由

10、其中其中计算计算00, 1.)cos( yxyxDdxdyyxyxID,yxvyxu 令令.2,2uvyvux 则则,DD Dxyo1 yxD uvovu vu 1 v. 11;0;0 vyxvuyvux即即),(),(vuyxJ ,2121212121 DdudvJvuIcos故故 vvduvudvcos2110. 1sin211sin22110 vdv例例6 6.)()(11)()(12 banxanbadyyfybndyyfyxdx证明证明 证证 bynbaxanbadxyfyxdydyyfyxdx)()()()(22 babynyxndyyf)(11)(1.)()(111 bandyy

11、fybnDxy bbaa例例7 7组成的三棱锥台组成的三棱锥台是由六个顶点是由六个顶点，其中，其中计算计算)4 , 2 , 2(),0 , 2 , 2(),0 , 0 , 2(),2 , 1 , 1(),0 , 1 , 1(),0 , 0 , 1(:122FEDCBAdvyx 解解,ABEDxoy 面上的投影为梯形面上的投影为梯形在在 为顶的柱体为顶的柱体以梯形以梯形为底，为底，是以梯形是以梯形ACFDABED ,轴轴所在平面过所在平面过梯形梯形xACFD, 0 zy 设其方程为设其方程为xyzCAFEDBO. 02,)2 , 1 , 1( yzC得其方程为得其方程为点点又因过又因过. 21;

12、0;20: xxyyz yxdzdyyxdxdvyx20022212211 xdyyxydx022212 2122ln)2ln(dxxx. 2ln 例例8 8所所围围成成的的与与由由其其中中，计计算算22221)(yxzyxzdvzx 解解利用球面坐标利用球面坐标奇函数，奇函数，的的为为面为对称，面为对称，关于关于xxzyxfyoz ),(. 0 xdv有有 zdvdvzx)( 1024020sincosdrrrdd.8 例例. 1:222 zyxdvez，计计算算 解解法法，故采用先二后一，故采用先二后一为圆域为圆域的函数，截面的函数，截面被积函数仅为被积函数仅为2221)(zyxzDz 上

13、上dvedvezz2 10)(2dzedxdyzzD 102)1(2dzezz.2 例例1010.)()(21)(02000 xxvudttftxdvdudttf证明证明 证证思路：从改变积分次序入手思路：从改变积分次序入手 vvtvudutfdtdttfdu000)()( vdttftv0,)()( xvxvudttftvdvdvdudttf00000)()()( xxtdvtftvdt0)()(.)()(2102 xdttftx思考与练习思考与练习1.1. ),( D化为二次积分化为二次积分将将 dyxf ; 1 , 1 ,1 )1(围成的闭区域围成的闭区域由直线由直线 yxyxy; 1

14、, )2(22围成的闭区域围成的闭区域由抛物线由抛物线xyxy . 0 ,2 ,4 )3(22围成的闭区域围成的闭区域由由 xxxyxy.2 )4(2xxyx 闭区域闭区域2. 改变下列二次积分的积分次序：改变下列二次积分的积分次序：; ),( )1(2121dyyxfdxx . ),( )2(221110dxyxfdyyy 1.1. ),( D化为二次积分化为二次积分将将 dyxf ; 1 , 1 ,1 : )1(围成围成 yxyxyD解解D 是是 Y型。型。将将 D 向向 y 轴投影。轴投影。 . 10,11 :yyxyD dxdyyxf ),(Ddxyxfyy ),(11 10 dy;

15、1 , : )2(22围成围成xyxyD oxy11 121xy 2xy oxy121xy 11 xy求交点：求交点： .1,22xyxy于是，于是， .1 ,2222 :22xyxxDD 是是 X型。型。将将 D 向向 x 轴投影。轴投影。得得).21 ,22( )21 ,22(， ; 1 , : )2(22围成围成xyxyD oxy11 121xy 2xy 求交点：求交点： .1,22xyxy2222 dxdyyxf ),(Ddyyxfxx ),(221 2222 dx. 0 ,2 ,4 : )3(22围成围成 xxxyxyDoxy1222xxy 24xy 2在极坐标系中，闭区域在极坐标系

16、中，闭区域D 可表示为可表示为. 2cos2 r ,20 D ),( dyxf Ddrdrrrf )sin ,cos(. )sin ,cos(2cos220 drrrrfd sincosryrxoA cos2 r2 r于是，于是， dxdyyxf ),(Ddyyxfxx ),(221 2222 dx.2 : )4(2xxyxD Ddrdrrrf )sin ,cos(. )sin ,cos(2cos220 drrrrfd sincosryrxoA cos2 rxy1122xxy xy 2o在极坐标系中，在极坐标系中，D 可表示为可表示为.cos20 r,24 D ),( dyxf Ddrdrrr

17、f )sin ,cos(. )sin ,cos(cos2024 drrrrfd2. 改变下列二次积分的积分次序：改变下列二次积分的积分次序：; ),( )1(2121dyyxfdxx . ),( )2(221110dxyxfdyyy 解解(1) 积分区域为积分区域为 .1, 21 :2xyxD . 41, 2 :yxyD 2121 ),( xdyyxfdx D),( dyxf. ),( 241 ydxyxfdy将将 D 向向 y 轴投影。轴投影。oxy1212xy 4积分区域为积分区域为 . 10 ,11 :22yyxyD .10, 11 :2xyxD将将 D 向向 x 轴投影轴投影,. ),

18、( )2(221110dxyxfdyyy xy11o1 122 yx dxyxfdyyy ),(221110. ),( 21011 xdyyxfdx D),( dyxf3.3.围成围成由由其中其中计算计算2,1, .22 xxyxyDdyxD 4.4. 10, 11: .2 yxDdxyD其中其中计算计算 5.5.sin 21231 xdyydx计算计算6.6. )cos1( . 22）所围的面积（取圆外部所围的面积（取圆外部线线和心脏和心脏是由圆是由圆其中其中计算计算 ararDdyxD7.)()(11)()(12 banxanbadyyfybndyyfyxdx证明证明3.3.解解围成围成由

19、由其中其中计算计算2,1,.22 xxyxyDdyxD dyxD22dxyxxx1212 213)(dxxx.49 . ,1, 21 :xyxxDD 是是 X型。型。将将 D 向向 x 轴投影。轴投影。oxyxy 22 xxy1 1 xxdyyxdx12221解解先去掉绝对值符号，先去掉绝对值符号，4.4. 10, 11: .2 yxDdxyD其中其中计算计算 1D时，时，当当 2yx . 02 xy . 1, 11 : 21yxxD记记时，时，当当 2xy . 02 xy .0, 11 : 22xyxD记记2D dxydxydxyDDD 21 )( )( 222oxy11 1 2202111

20、211)()(xxdyyxdxdyxydx.1511 . 1, 11 : 21yxxD记记时，时，当当 2xy . 02 xy .0, 11 : 22xyxD记记 dxydxydxyDDD 21 )( )( 222 11411242 )212(dxxdxxx5.5.sin 21231 xdyydx计算计算解解积分区域为积分区域为 . 21, 31 :yxxD . 20,11 :yyxD将将 D 向向 y 轴投影。轴投影。oxy1221 xy3dxdyydyydxDx 221231sinsin ydxydy11220sin 202sindyyy.24cos1 解解 drdrrdyxDD 22 6

21、.6. )cos1( . 22）所围的面积（取圆外部所围的面积（取圆外部线线和心脏和心脏是由圆是由圆其中其中计算计算 ararDdyxD在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为).cos1( ara,22 )cos1(22 aardrrdoAa2a2 2 22331)cos1(31 da).2922(3 a drdrrdyxDD 22 )cos1(22 aardrrd 证证7.)()(11)()(12 banxanbadyyfybndyyfyxdx证明证明积分区域为积分区域为 ., :xyabxaD ., :byabxyD将将 D 向向 y 轴投影。轴投影。oxyaxy b

22、ab dyfyxdyyfyxdxDnxanba )()()()(22 dyyxnyfbabyn 1)(11)(.)()(111 bandyyfybn bynbadxyfyxdy)()(2 ., :byabxyD dyfyxdyyfyxdxDnxanba )()()()(22 8.8.10.10. )(3 4 2222所所围围成成的的立立体体的的表表面面积积和和锥锥面面求求由由上上半半球球面面yxzyxz . 6 4 2Vyxz限限上上的的体体积积所所围围成成的的立立体体在在第第一一挂挂及及三三个个坐坐标标面面，平平面面求求由由抛抛物物柱柱面面 9.9.1 部分的面积部分的面积的有限的有限，被三

23、个坐标面所割出，被三个坐标面所割出求平面求平面 czbyax8.8. 6 4 2Vyxz限限上上的的体体积积所所围围成成的的立立体体在在第第一一挂挂及及三三个个坐坐标标面面，平平面面求求由由抛抛物物柱柱面面 oxyz426解解 所求立体可以看成是一个所求立体可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为曲顶柱体，它的曲顶为,42xz . 60, 20:yxD底为底为于是，于是， dxVD )4(2 dyxdx 60220 )4( 20602)4( dxyx 202)4(6dxx.32 9.9.).0 , 0 , 0( 1 cbaczbyax部分的面积部分的面积的有限的有限，被三个坐标面所割出，被三个坐标面

24、所割出求平面求平面oxyzcab221 yzxz 解解,1222222cacbbaab 平面方程平面方程. ybcxaccz ,acxz ,bcyz axyoxyDbdxdyyzxzAxyD 122 所求面积所求面积221 yzxz ,1222222cacbbaab axyoxyDbdxdyyzxzAxyD 122 所求面积所求面积dxdycacbbaabxyD 2222221abcacbbaab211222222 .21222222cacbba 10.10. )(3 4 2222所所围围成成的的立立体体的的表表面面积积和和锥锥面面求求由由上上半半球球面面yxzyxz xyzo解解所求表面分成

25、所求表面分成和和，如图。，如图。第一块（第一块（ ）在半球面）在半球面上，上， 422yxz 第二块（第二块（ ）在锥面）在锥面, )(322上上yxz 记为记为 A。记为记为 A 。.面面上上的的投投影影区区域域先先求求它它们们在在xoy , )(3,4 2222yxzyxz由由. 1 :22 yxDxy.面面上上的的投投影影区区域域先先求求它它们们在在xoy , )(3,4 2222yxzyxz由由, 122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去xyzo因此，曲面因此，曲面和和在在 xoy 面上面上的投影区域均为圆域：的投影区域均为圆域：xoy11xyDA的曲面方程为的曲面方程为， 422

26、yxz 221 yzxz ,4222yx Dxy 极坐标系下表示：极坐标系下表示：,20 . 10 r xyDdxdyyx2242dxdyyzxzxyD 122 AAo1xyDA的曲面方程为的曲面方程为， 422yxz 221 yzxz ,4222yx A xyDdxdyyx2242 xyDrdrdr 242A xyDdxdyyx2242 xyDrdrdr 242 1022042drrrd ).32(4 dxdyyzxzxyD 122 AA 的曲面方程为的曲面方程为221 yzxz , 2 , )(322yxz xyDdxdy2xoy11xyD.2 所求面积所求面积 A = A+ A).325

27、(2 一、选择题一、选择题: : 1 1、 xdyyxfdx1010),(=( )=( ) (A) (A) 1010),(dxyxfdyx； (B) (B) xdxyxfdy1010),(； (C) (C) 1010),(dxyxfdy； (D) (D) ydxyxfdy1010),(. . 2 2、设、设D为为222ayx , ,当当 a( )( )时时, , Ddxdyyxa222. . (A) 1 (A) 1 ； (B) (B) 323 ； (C) (C) 343； (D) (D) 321 . .测测 验验 题题 3 3、当、当D是是( )( )围成的区域时围成的区域时, ,二重积分二重

28、积分 Ddxdy=1.=1. (A) (A)x轴轴, ,y轴及轴及022 yx；( (B)B)31,21 yx ； (C) (C)x轴轴, ,y轴及轴及3, 4 yx；(D)(D). 1, 1 yxyx 4 4、 Dxydxdyxe的值为的值为( ).( ).其中区域为其中区域为D 01, 10 yx. . (A) (A) e1 ； (B) (B) e ； (C) (C) e1 ； (D) 1 . (D) 1 . 5 5、设设 DdxdyyxI)(22, ,其其中中D由由222ayx 所所 围围成成, ,则则I= =( ( ) ). . ( (A A) )40220ardrada ; ;( (

29、B B) )4022021ardrrda ; ; ( (C C) )3022032adrrda ; ;( (D D) )402202 aadrada . . 6 6、设设 是是由由三三个个坐坐标标面面与与平平面面zyx 2= =1 1 所所围围成成的的 空空间间区区域域, ,则则 xdxdydz= =( ( ) ). . ( (A A) ) 481 ； ( (B B) ) 481 ； ( (C C) ) 241 ； ( (D D) ) 241 . . 7 7、设、设 是锥面是锥面, 0(222222 abyaxcz)0, 0 cb与平面与平面 czyx , 0, 0所围成的空间区域在第一卦限所

30、围成的空间区域在第一卦限的的 部分部分, ,则则 dxdydzzxy=( ).=( ). (A) (A) cba22361； (B) (B) bba22361； (C) (C) acb22361； (D) (D) abc361. . 8 8、计算、计算 zdvI, ,其其1,222 zyxz为为中中围成的围成的 立体立体, ,则正确的解法为则正确的解法为( )( )和和( ).( ). 9 9、曲面、曲面22yxz 包含在圆柱包含在圆柱xyx222 内部的那内部的那 部分面积部分面积 s( ).( ).(A)(A) 3； (B) (B) 2；(C)(C) 5； (D) (D) 22. . 10

31、 10、由直线、由直线2, 2, 2 yxyx所围成的质量分布均匀所围成的质量分布均匀 ( (设面密度为设面密度为 ) )的平面薄板的平面薄板, ,关于关于x轴的转动惯量轴的转动惯量 xI= =( ).( ). (A) (A) 3； (B) (B) 5； (C) (C) 4； (D) (D) 6. . (A) (A) 101020zdzrdrdI；(B)(B) 11020rzdzrdrdI； (C) (C) 11020rrdrdzdI； (D) (D) zzrdrddzI02010. .二、计算下列二重积分二、计算下列二重积分: : 1 1、 Ddyx )(22, ,其中其中D是闭区域是闭区域

32、: : .0 ,sin0 xxy 2 2、 Ddxy arctan, ,其中其中D是由直线是由直线0 y及圆周及圆周 1, 42222 yxyx, ,xy 所围成的在第一象所围成的在第一象 限内的闭区域限内的闭区域 . . 3 3、 Ddyxy )963(2, ,其中其中D是闭区是闭区 域域: :222Ryx 4 4、 Ddyx 222, ,其中其中D: :322 yx. .三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: : 1 1、 yydxyxfdydxyxfdy30312010),(),(； 2 2、 21110),(xxdyyxfdx； 3

33、3、 00)sin,cos(rdrrrfda. .四、将三次积分四、将三次积分 yxxdzzyxfdydx),(110改换积分次序为改换积分次序为 zyx. .五、计算下列三重积分五、计算下列三重积分: : 1 1、 ,)cos(dxdydzzxy: :抛物柱面抛物柱面xy 2, zxozoy及及平平面面所围成的区域所围成的区域 . . 2 2、,)(22 dvzy其中其中 是由是由xoy平面上曲线平面上曲线 xy22 绕绕x轴旋转而成的曲面与平面轴旋转而成的曲面与平面5 x所围所围 成的闭区域成的闭区域 . . 3 3、,1)1ln(222222 dvzyxzyxz其中其中 是由球面是由球面

34、 1222 zyx所围成的闭区域所围成的闭区域 . .六、求平面六、求平面1 czbyax被三坐标面所割出的有限部分被三坐标面所割出的有限部分 的面积的面积 . .七、七、 设设)(xf在在1 , 0上连续上连续, ,试证试证: : 310101)(61)()()( dxxfdxdydzzfyfxfxyx . .一、一、 1 1、D D； 2 2、C C； 3 3、A A； 4 4、A A； 5 5、B B；6 6、A A； 7 7、A A； 8 8、B,DB,D； 9 9、B B； 10 10、C.C.二、二、1 1、9402 ；2 2、2643 ；3 3、2494RR ；4 4、.25 三、三、1 1、 xxdyyxfdx3220),(；2 2、 222021010),(),(yyydxyxfdydxyxfdy；3 3、 aradrrfrdr )sin,cos(0. .四、四、 zzdxzyxfdydz0110),(. .五、五、1 1、21162 ； 2 2、 3250； 3 3、0.0.测验题答案测验题答案六六、22222221accbba . .七七、提提示示： 0)0(,)()()()(,)()(100 FdxxftFxfxFdttfxFx且且则则