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1、-等腰直角三角形的性质-第 8 页课 题：等腰三角形的性质和判定义务教育课程标准实验教科书数学（苏科版）九年级上册第一章第1节设计：连云港市连云区教研室 马 敏点评：连云港市教育局教研室 孙朝仁【设计说明】本节课是苏科版教材九（上）第一章图形与证明（二）的第1节，从知识本身来看，学生在八年级时曾利用轴对称性发现了等腰三角形的相关性质，因此，学生对于结论很熟悉；从证明过程来看，由于在学习图形与证明（一）时已接触过有条理地思考与表达，因此，用综合法书写证明过程的基本格式学生也并不陌生；从活动经验来看，学生已初步体验到观察、操作、实验、猜想得到的结论有时是不全面的、不深入的，甚至是错误的，已体会到证
2、明的必要性，但这些感受还是较肤浅的，并且刚上九年级的学生其演绎推理的能力还比较薄弱，思维的广阔性、严密性、灵活性比较欠缺。因此，本节课的教学是从学生原有的认知基础出发，以学生自主探索、合作交流为主要方式，让学生经历数学知识的形成与应用的过程。具体来说，一是要通过创设具有启发性的、学生感兴趣的、有助自主学习和探索的问题情境，使学生在思维积极的状态中进行主动探究，发现证明等腰三角形的性质和判定定理的证明思路，明确“怎么想”与“怎么写”之间的关系；二是通过此探索活动进一步理解合情推理和演绎推理都是获得数学结论的重要途径，体会证明的必要性，发展学生合乎逻辑的思考和有条理地表达能力；三是通过设计思考一个
3、命题的逆命题的真假和对例题的拓展，引导学生发现数学结论的另一个途径，教会学善于从正反两个不同的角度研究问题；四是通过积累活动经验，进一步理解“观察猜想概括论证”这一数学发现的过程，同时为后续的有关三角形、四边形中相关定理的证明提供了经验储备和证明依据。【教学目标】1能证明等腰三角形的性质定理和判定定理；了解分析与思考的方法。2经历思考、猜想以及对操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受证明的必要性，同时积累数学活动经验，发展逻辑推理能力。 3在动手实践、自主探索、合作交流中获得成功的体验，建立自信心；感受数学推理的严密性，数学语言的简洁性。【教学重点、难点】教学重点：等腰三角形的性质定理、判定
4、定理的分析与证明方法。教学难点：学会分析问题、解决问题，理解合情推理和演绎推理的作用【教学过程】一、 创设情境，引入新课1动画演示折叠等腰三角形纸片的过程，提出如下问题：我们在八年级时曾通过折叠等腰三角形纸片，发现了一些性质，你能说说看吗？2点明课题：由此可见，观察、操作都是我们发现一些结论的重要途径，但仅仅通过观察、操作所得到的结论有时是不全面的，甚至是错误的，所以有必要对所得到的结论进行验证。下面我们就用说理的形式来证明这两个结论。【通过动画再现折叠过程，回忆等腰三角形的性质，一方面活泼、熟悉地画面能激发学生的兴趣，激起学习的欲望，另一方面可以自然地引入本节课的主题，即证明由合情推理得出的
5、结论的正确性，此外，这一操作过程可以为下面的证明提供思路，特别是为如何添加辅助线提供方法。】二、合作交流，探索新知（一）等腰三角形的性质定理1画出图形，并用几何语言表示命题：等腰三角形的两个底角相等。已知：如图，在ABC中,AB=AC.求证:B=C【学生在八（下）的学习中虽然已经涉及到文字题的证明，但对不少学生来说也还是较为困难的，因此此处可让学生在独立思考的基础上合作完成，让其进一步在情境中理解文字题的证明步骤：先根据题意画出图形，再根据命题，结合图形写出已知、求证。】2探索证明思路师：能说说你的证明思路吗？【要证明B=C，学生通常会想到证明这两角所在的两个三角形全等，而图中只有一个三角形，
6、这就让学生的思维推向了“边缘”。而由前面的折叠过程知，折痕两边的三角形显然全等，这就为学生打开了思路，即可通过作出折痕这条辅助线，从而可以构造出两个全等三角形，而此时的折痕就是顶角的平分线,也是底边上的中线,还是底边上的高.】在学生回答的基础上，教师板书下列内容：要证B=C， 只需证ABDACD。只需有 AB=AC， BAD=CAD，AD=AD。【完整的数学证明学生没有实质接触，而且这又是以前感受过的定理证明，既熟悉又陌生，所以学生会一时摸不着头绪。故此处要留给学生充分的思考时间和空间，引导学生分析过程，帮助学生逐步完善证明思路，不断发展学生合乎逻辑思考的能力。其实在证明题中，以上过程只是探索
7、的一个大脑活动，并不要书写，因为初次接触，所以有必要要板书过程。】3有条理的表达（1）讨论思考与表达之间的关系怎么想怎么写要证B=C， 只需证ABDACD。只需有 AB=AC， BAD=CAD，AD=AD。【规范正确的证明书写格式，即怎样将头脑想的思路转化成数学语言，怎么描述，是困扰许多学生的一个问题。在学生讨论的交流的基础上，教师添加“箭头” ，重现“小黑板”，点明“怎么想”是我们证明的思路，是从结论入手的，而写出它的证明过程要从已知条件入手，也就是将“怎么想“的过程逆过来，二者是互逆关系。】（2）书写证明过程D证明：作BAC的平分线AD.在ABD和ACD中,AB=AC(已知)，BAD=CA
8、D(辅助线画法)，AD=AD(公共边.ABDACD.(SAS)B=C（全等三角形的对应角相等）。【以上是通过作BAC的平分线构造两个全等三角形的证明过程，当然，学生也可能通过作底边上的中线或底边上的高来证明。】（3）师：拿到一个命题，分析的时候从“结论”入手，而书写的时候从“已知”入手，正好相反。以后我们会经常用到这些方法。4数学归纳：以前我们通过折叠发现“等腰三角形的两个底角相等”这一结论，今天我们又通过说理的方式证明了这一结论，因此把它称之为“定理”，简称“等边对等角”。【通过等腰三角形的其中一个性质的证明，从用数学语言表述题目，到思考证明的思路，再到书写证明过程，这一完整的数学活动才结束
9、。同时从合情推理发现结论，到用演绎推理证明结论，展示了得出定理的全过程，这也为今后学生的探索活动积累了活动经验。】5思维拓展：从上面的证明过程中,你还能得到其他结论吗?【学生易从上述证明中,得到BD=DC,ADBC,从而说明了等腰三角形的顶角平分线既是底边上的中线也是底边上的高因此,即可得出定理“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”在此过程中，也让学生感受到只要多观察，多思考，就可能获得一些数学结论，从而激起数学探究的欲望和兴趣。】（二）等腰三角形的判定定理1提出探索方向：师：刚才我们证明了“等腰三角形的两个底角相等”。接下来我们来研究它的逆命题，请你写出这个逆命题，并证
10、明它是正确的。 2个别学生展示。3数学归纳：定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。【有了前面的活动积累，解决此问题对学生来说不是难事，故此处可先分组，让学生在组内交流证明思路，后由学生独立完成此证明过程，教师巡回指导学困生。通过这一过程，一是巩固证明命题的思考方法与表达形式，二是让学生学会从正反两个不同的角度研究问题，引导学生体会这也是获得数学结论的一个途径。此外，此活动形式也有利于开阔学生的视野，形成一个既有独立思考，又有互相合作，广泛交流的学习氛围，培养了学生合作精神。】三、例题讲解，应用新知已知：EAC是ABC的外角，AD平分EAC ，且AD
11、BC求证：AB=AC1师生共同审题【在此过程中采用师问生答的形式，如看到AD平分EAC，你会想到什么？看到ADBC，你会想到什么？通过这种形式，一是通过由因探果，培养了学生的联想能力；二是形式活泼，能激发学生的学习热情。】2相互讨论，交流证明思路【当部分同学找到了问题的突破口，而少数找不到思路的同学也充分感知了困难后，及时组织学生进行合作探究和交流，教师并作为合作者参与到学生的交流之中，小组合作交流后，请小组一名代表上台讲解，在此处要给学困生提供上台机会，让他们尝到成功的喜悦。要想证明B=C，只需证B=C已知AD=，只需证AD=，在这一过程中，一是通过执果索因，培养了学生的分析能力；二是可以激
12、发学困生的自信心，增强他们学好数学的信念。】3写出证明过程（个别学生板演）4提出问题：刚才我们研究了等边对等角，同时又研究了它的逆命题，仿照我们刚才研究问题的思路，请你将例题中一个条件与结论互换，看命题是否还成立，并说明理由。【虽然前面学生已体会到研究一个命题时，不仅要研究其正确性，有时还要研究其逆命题，也有可能获得数学结论。但此处让学生主动地提出问题，有些困难，因此，教师此时就要引导学生向这一方向去思考。故此问题即指明了研究方向，又留给了学生探究的空间，学生可能会有两种猜想：一是将AD平分EAC与AB=AC互换，二是将ADBC与AB=AC互换，此处课件中可演示动态互换，这样更具有直观性。】5
13、成果展示：方案一：如果“AB=AC，ADBC”，那么“AD平分EAC ”证明：ADBC，=，D=，=.=.即AD平分EAC方案二：如果AD平分EAC，那么ADBC证明：AD平分EAC，C=2D，=.又EAC是ABC的外角，C=B+=2.D=ADBC【在整个过程中要提供学生充分讨论和交流的机会，展现学生的思路，并通过讨论，引导学生体会推理的思考方法，并由学生自己逐步完善证明的思路。教师要注重学生的分析问题的过程，并要指出学生的书写过程中的问题。并且通过设计这个例题与拓展延伸，再一次引导学生体会构造一个命题的逆命题，这也是获得数学结论的一个途径，从而逐步发展数学思考的能力。】四、总结回顾，内化提升
14、1本节课你有哪些收获?你认为重点是什么?2本节课所运用的学习方法对你今后学习有什么启示?谈谈你的看法。3你还有什么疑惑吗？【这样进行课堂小结，关注学生个体差异，使每一个学生都有成功的学习体验，得到相应的提高和发展，进一步培养学生的主体意识，锻炼学生的归纳总结能力。但学生的小结一般只停留在零散的知识层面上，因此教师有必要在学生小结的基础上，从思想方法以及活动经验上加以提炼。】师：本节课我们就通过证明得到了等腰三角形的性质定理和判定定理在此证明过程中，操作得到的结论等腰三角形的性质和判定定理证明操作过程发现证明思路（作辅助线的方法）证明思路（怎么想）逆过来证明过程（怎么写）我们还发现：操作过程可以
15、为我们的证明提供思路，特别是为如何添加辅助线提供方法；拿到一个命题，分析的时候从“结论”入手，而书写的时候从“已知”入手，过程恰好相反；此外，对于一个命题来说，我们不仅要思考它的正确性，也常常要思考它的逆命题是否正确。也就是说，我们要学会从正反两个不同的角度研究问题。五、课后拓展，升华认识1举例说明运用等腰三角形性质定理及推论能够解决的实际问题。 2举例说明“逆推”这种思想方法在数学或生活中的应用。评析：纵观本节课的教学设计，体现出以下三个特点：一是多元化目标有机融于教学流程之中。设计者所确立的教学目标既有具体实在的“能证明等腰三角形的性质定理和判定定理”等结果性达成目标，也有操作可行的“经历
16、思考、猜想以及对操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受证明的必要性，积累数学活动经验，发展逻辑推理能力”等过程性揭示目标，还有模糊受用的“在动手实践、自主探索、合作交流中获得成功的体验，建立自信心”等情感性孕育目标。这种课堂教学目标设置的多元化，是新课程背景下课堂教学促进学生全面、和谐、持续发展的重要体现。那么如何达成所预设的多元化目标呢？设计者从理性角度提出了三个层次的构想和设计。首先，课堂教学立足于学生已有的知识经验，从“折叠等腰三角形”出发，由合情推理得到其性质，继而引出如何用演绎推理来规范证明的问题，遵循了启发式教学原则；其次，依据原则选择立足于学生自我获取知识的引导发现式教学法，辅
17、之以多媒体等教学手段，让学生体会到“操作过程不仅可以提供证明思路，而且可以从中发现辅助线的添加方法”；第三，立足于学生的自主发展而将教法融于与之相匹配的教学流程之中，并细化或分解为可操作的教学技艺，紧紧扣住“命题的证明过程与分析过程”这一主线展开教学，最终形成“从不同的角度思考与研究问题”的认识。应该说，设计者能将多元化的教学目标，通过宏观层面的教学原则、中观层面的教学方法和微观层面的教学技艺落实在课堂教学行为之中，使原则得以体现、方法得以应用、技艺得以展示、目标得以落实。二是“思路、教路、学路”三者有机结合在教学过程之中。一个好的教学设计思路固然重要，但其体现在课堂教学中的“教路”与“学路”
18、是否与之匹配也是衡量课堂教学成功与否的关键。纵观本课的教学设计，在“设计说明”中清晰的设计思路指引下，教学过程设计中的“教路”也十分明确，即在“合作交流，探索新知”这一板块的教学中，对“等腰三角形的性质定理”的教学进行了较为详细的引导，从“仅仅通过观察、操作所得到的结论有时是不全面的，甚至是错误的，所以有必要对所得到的结论进行验证”的思想出发，逐步引导学生“画出图形并用符号语言表示出命题”并“探索证明思路”，抓住“怎么想”与“怎么写”二者之间的关系让学生进行“有条理的表达”，在此基础上引导学生“数学归纳”与“拓展思维”，揭示出本节课数学学习的本质性内容等腰三角形的性质定理以及由此得到的一些结论
19、；由于有了明确的“教路”，其“学路”也显得非常自然，表现在师生共同探索并证明了“等腰三角形的性质定理”的基础上，对“等腰三角形判定定理”的证明由学生来自完成则不是难事了，实现了“教是为了不教”的教学理想。三是教学过程设计的五个环节有机形成一个整体。本课所设计的五个教学环节，即“创设情境，引入新课”、“合作交流，探索新知”、“例题证明，应用新知”、“总结回顾，内在提升”、“课后拓展，升华认识”等形成了一个有机的整体，它们构成了一个具有特色的教学结构，即问题情境探索活动变式训练归纳总结升华认识，这也是新课程背景下初中数学课堂教学的一般结构。其中的探索活动是中心环节，问题情境是为学生进行探索创造条件
20、，而变式训练是巩固和强化探索所得的知识和技能，归纳总结是使探索获得的知识更加的明确化和系统化，而升华认识则是为了进一步提高探索活动的效果。这五个教学环节既有一定的先后顺序，又是互相渗透的。经过这样的教学活动，可以预想学生原有的“合情推理得到的结论都是正确的”的认知结构必将会被打破，而“用演绎推理证明结论的必要性”的新的认知结构一定会形成，从而较好地服务于教学目标的达成。作者简介：马敏，女，1978年生，中学一级教师，工作11年，现任连云区教育局教研室副主任.曾先后荣获“市优秀教育工作者”、“省巾帼建功先进个人”、“省师德先进个人”、“全国师德先进个人”等称号.参加全国优质课评比获一等奖，两次获
21、江苏省优质课评比一等奖，市“信息技术与课堂教学整合”优质课评比获一等奖，市说课比赛获一等奖，市专业技能大赛获一等奖等.孙朝仁 男，1967年生，江苏省中学数学特级教师，现任连云港市教育局教研室副主任。主持省教育科学“十五”规划青年专项课题、省教学研究课题以及3项市级课题的实验研究工作。在省市级以上专业刊物发表研究性文章80余篇，20篇论文在市级以上评比中获奖，主编或参编教辅用书40余本。95年获市基本功大赛一等奖；97年被评为市“百名教学能手”；98被评为第二届省“优秀青年数学教师”；99年记三等功一次；01年被评为省教育科研“先进个人”；01年获市教育局“九五”科研成果评比一等奖；02年获得市政府优秀学术论文评比三等奖；03年被评为市“数学”学科带头人，同年被确定为市“521”工程培养对象，06年被评为市教育系统“优秀共产党员”。