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1、-等腰三角形三线合一典型题型1-第 9 页等腰三角形三线合一 专题训练 姓名 例1：如图，四边形ABCD中，ABDC，BE、CE分别平分ABC、BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。变1：如图，ABCD，A90，AB2，BC3，CD1，E是AD边中点。求证：CEBE。变2：如图，四边形ABCD中，ADBC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分BAD、ABC. （1）求证：AEBE； （2）求证：E是CD的中点； （3）求证：AD+BC=AB.BCEAD变3：ABC是等腰直角三角形 ，BAC=90,AB=AC.若D为BC的中点，过D作DMDN分别交AB、AC于M、N，求证：（1）DMD
2、N。若DMDN分别和BA、AC延长线交于M、N。问DM和DN有何数量关系。(1) 已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于点D求证：DE=DF(2)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF的中点求证：BE=CF利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PDAB于D，PEAC于E，CFAB于F，那么PD+PE与CF相等吗？变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。1、已知等腰三角形的两边长分别为4、
3、9，则它的周长为（ ）A 17 B 22 C 17或22 D 13根据等腰三角形的性质寻求规律例1在ABC中，AB=AC，1=ABC，2=ACB，BD与CE相交于点O，如图，BOC的大小与A的大小有什么关系？ 若1=ABC，2=ACB，则BOC与A大小关系如何？若1=ABC，2=ACB，则BOC与A大小关系如何？会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例2如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长利用等腰三角形的性质证线段相等例3如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作PBQ=60，且BQ=
4、BP，连结CQ （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断PQC的形状，并说明理由例1、等腰三角形底边长为5cm，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分，则腰长为（ ）A、2cm B、8cm C、2cm或8cm D、不能确定ABC例2、已知AD为ABC的高，AB=AC，ABC周长为20cm，ADC的周长为14cm，求AD的长。例3、如图，已知BC=3，ABC和ACB的平分线相交于点O，OEAB，OFAC，求OEF 的周长。ABFCOE例4、如图，已知等边ABC中，D为AC上中点，延长BC到E，使CE=CD，连接DE，试说
5、明DB=DE。ABCDE例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为450，则这个三角形是（ ）A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形例6、（1）等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为 。 （2）直角三角形的周长为12cm，斜边的长为5cm，则其面积为 ； （3）若直角三角形三边为1，2，c，则c= 。例7、下列说法：若在ABC中a2+b2c2，则ABC不是直角三角形；若ABC是直角三角形，C=900，则a2+b2=c2；若在ABC中，a2+b2=c2，则C=900；若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。正确的有 （把你认为正确
6、的序号填在横线上）。例8、正三角形ABC所在平面内有一点P，使得PAB、PBC、PCA都是等腰三角形，则这样的P点有（）（A）1个（B）4个（C）7个（D）10个例9. 四边形ABCD中，AB=BC，ABC=CDA=90，BEAD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（）A2B3CD例10. 已知ABC为正三角形，P为其内一点，且AP=4，BP=，CP=2，则ABC 的边长为 （ ）（A） （B） （C）4 （D）三巩固练习1、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于9，求它的周长。2、在ABC中，AB=AC，B=400，则A= 。3、等腰三角形的一个内角是700，则它的顶角为 。4、有一
7、个内角为40的等腰三角形的另外两个内角的度数为 .140呢 DCBA5、如图，在RtABC中，C105o，直线BD交AC于D，把直角三角形沿着直线BD翻折，点C恰好落在斜边AB上，如果ABD是等腰三角形，那么A等于 （ ）(A)40o (B) 30o (C) 25o (D )15o6、若ABC三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则ABC的形状为（ ）（A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等腰直角三角形 （D）等边三角形7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是 （ ）。A、有一腰和一角对应相等 B、有两边对应相等 C、有顶角和一个底角对应相等 D、有两角对应
8、相等8、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ）A、顶角 B、底角 C、顶角的一半 D、底角的一半9、在等腰三角形ABC中，A与B度数之比为52，则A的度数是（ ）A、100 B、75 C、150 D、75或10010、如图，P、Q是ABC边BC上的两点，且QCAPAQBPPQ，则BAC（ ）A、1250 B、1300 C、900 D、120011、如图，ABC中，ABAC，BD、CE为中线，图中共有等腰三角形（ ）个。10题图11题图12题图A、4个 B、6个 C、3个 D、5个12、如图，ABAC，AEEC，ACE280，则B的度数是（ ） A、600 B、700 C、760 D、45
9、013、如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上（端点A、C除外），设甲虫P到另外两边距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是（ ） 【解题方法指导】 例1. 已知，如图，ABACCD，求证：B2D 例2. 已知，如图，ABC是等边三角形，AD/BC，ADBD，BC6，求AD的长。【考点指要】 等腰三角形、等边三角形及含30角的直角三角形是应用非常广泛的图形，因此，在中考试题中经常以证明题或计算题频频出现，而且经常把它们结合在一道题中加以应用，虽然题目的难度不是很大，但也要善于分析，找出图形中有关的性质。【典型例题分析】 例1. （2005年 苏州） 如图，等腰三角形A
10、BC的顶角为120，腰长为10，则底边上的高AD_。 例2. 已知，如图，ABC中，C90，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，AD8，A30，求CD的长。 例3. 已知，如图，ABC是等边三角形，E是AB上一点，D是AC上一点，且AECD，又BD与CE交于点F，试求BFE的度数。【综合测试】 1. 已知，如图，ABAC，ABDACD，求证：DBDC 2. 已知，如图，D、E是BC上两点，ABAC，ADAE，求证：BDCE 3. 已知，如图，ABC中，DE/BC，ABAC，求证：ADAE 4. 已知，如图，ABC中，ABAC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，DE交BC于F，又BDCE
11、，求证：DFEF 5. 已知，如图，D是BC上一点，ABC、BDE都是等边三角形，求证：ADCE 6. 已知，如图，ABC中，B90，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，又C15，EC10，求AB的长。例6、如图11，在ABC中，A90，ABAC，D为BC边中点，E、F分别在AB、AC上，且DEDF，求证：AEAF是一个定值.证明：连接AD， ABAC，D为BC中点，ADBC，BAC90，ABAC， BC45，BAD45，CAD45，ADBDCD，EDF90，EDAADF90，又由ADBC得BDEADE90，BDEADF，在BDE和ADF中，BDAF，BDAD，BDEADF，BDEADF，
12、BEAF，AEAFAEBEAB（定值）.思考：四边形AEDF的面积是否也是定值呢？为什么？例4、如图9，已知AD为ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BFAC，FDCD，你认为BE与AC之间有怎样的位置关系?你能证明它吗？证明：线段BEAC，理由如下：ADBC，ADBADC90，FBDBFD90， 在RtBDF和RtADC中，BFAC，FDCD，RtBDFRtADC，BFDC，FBDC90，BEC180（FBDC）1809090，即BEAC.例5、如图10，在ABC中，ACB90，ACBC，M是AB上一点，求证：.证明：过C作CDAB于点D，ACB90，ACBC，CDAB，AB45
13、，ACDBCD45，AACD，BBCD，ADBD，BDCD，即ADBDCD，CDAB，思考：请同学们试试用另外的方法来证明本题.例1、如图5，在ABC中，ABAC，点O在ABC内，OBOC，求证：AOBC.证明：延长AO交BC于点D，ABAC，OBOC，OAOA，ABOACO，BAOCAO，即BADCAD，ADBC，即AOBC.例2、如图6，在等边ABC中，D、E分别在边BC、BA的延长线上，且AEBD，求证：CEDE.证明：过E作EFCD于点F，ABC是等边三角形，B60，BEF30，BE2BF，即BAAEBCBD2BCCD2（BCCF），CD2CF， CFDF，在CEF和DEF中，CFDF
14、，CFEDFE90，EFEF，CEFDEF，CEDE.例3、如图7，已知在ABC中，ABAC，P为底边BC上任意一点，PDAB于点D，PEAC于点E，求证：PDPE是一个定值.解：连接AP，过点C作CFAB于点F，由，得：，即，（定值）.说明：本例的结论可用文字语言叙述为：等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高.拓展：如果点P不是在边BC上，而是在BC的延长线上，其它条件保持不变，那么PD与PE之间又有怎样的关系呢？解：连接AP，过点C作CFAB于点F，（如图8）由，得：，即,（定值）.即，当点P在BC延长线上时，PD与PE之差为一定值.基础训练：1、填空题：（1）等腰三角形中，如果
15、底边长为6，一腰长为8，那么周长是 。（2）如果等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是 ；如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是 。（3）等腰三角形的对称轴最多有 条。2、填空题：（1）如果ABC是等腰三角形，那么它的边长（或周长）可以是（ ）A、三条边长分别是5，5，11 B、三条边长分别是4，4，8C、周长为14，其中两边长分别是4，5 D、周长为24，其中两边长分别是6，12（2）等腰三角形一边长为2，周长为5，那么它的腰长为（ ）A、3 B、2 C、1.5 D、2或3、已知等腰三角形的腰长是底边的3倍，周长为35cm，求等腰三角形各边的长。4、已知：如图，AD
16、平分BAC，AB=AC，请你说明DBC是等腰三角形。ABCDx+2y=43x+y=75、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组 的解，求这个三角形的各边长。（1）等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。（2）等腰三角形有一个角是120，那么其他两个角的度数是 和 。（3）ABC中，A=B=2C，那么C= 。（4）在等腰三角形中，设底角为x，顶角为y，则用含x的代数式表示y，得y= ；用含y的代数式表示x，得x= 。 2、选择题：（1）等腰三角形的一个外角为140，那么底角等于（ ）A、40 B、100 C、70 D、40或70（2）等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ）A、顶角 B、底角
17、C、顶角的一半 D、底角的一半（3）在等腰三角形ABC中，A与B度数之比为52，则A的度数是（ ）A、100 B、75 C、150 D、75或100（4）等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则“ADBC，BD=DC，B=C，BAD=CAD”中，结论正确的个数是（ ）A、4 B、3 C、2 D、13、如图，已知ABC中，D在BC上，AB=AD=DC，C=20，求BAD。ABCDABCDE4、如图，已知ABC中，点D、E在BC上，AB=AC，AD=AE。请说明BD=CE的理由。1、填空题：（1）在ABC中，A的相邻外角是110，要使ABC是等腰三角形，则B= 。（2）在一个三角形中，等角对 ；等边对 。（3）如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等，则它的各内角的度数是 。ABCD（4）如图，AB=AC，BD平分ABC，且C=2A， 则图中等腰三角形共有 个。2、选择题：如图，在ABC中，AB=AC，BAC=108，ADB=72，ABCDEDE平分ADB，则图中等腰三角形的个数是（ ）A、3 B、4 C、5 D、6ABCO3、如图，在ABC中，B和C的平分线相交于点O，且OB=OC，请说明AB=AC的理由。ABCDE124、如图，已知EAC是ABC的外角，1=2，ADBC，请说明AB=AC的理由。ABCD5、如图，AB=AC，ABD=ACD，请你说明AD是BC的中垂线。