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1、-相交线与平行线提高题-第 15 页【例题】如图，直线AB与CD相交于点O，OMAB，且OM平分NOC若BOC=4NOB，求MON的度数【分析】遇到类似“BOC=4NOB”这样条件，常设NOB=2x，BOC=8x（目的为了计算和书写方便，也为了更好理解，是常法强烈建议），则有CON6x，再根据“垂直的定义、角平分线的定义”可得到CON=3x，BOM=MON+NOB=3x+2x=90，求出x的值，进一步即可得MON的度数【解】设NOB=2x，BOC=8x，则CON=COBBON =8x2x=6x.OM平分CON，CON=3x，OMAB，AOM=90，BOM=MON+NOB=3x+2x=90， 解
2、得x=180，MON=3x=318=54，即MON的度数为54【点评】本题涉及到对顶角、邻补角的概念和性质，熟练掌握对顶角相等、垂直的定义、角平分线的定义是解题的关键，同时务必要注意解题规范，几何书写入门必须严格掌握【练习】如图，已知AB、CD相交于点O，OB平分COE，OFAB于O，（1）若EOF=120，求AOD的度数；（2）若BOE=1/4EOF，求DOE的度数【解】（1）OFAB，BOF=90又EOF=120BOE=EOFBOF=30OB平分COEBOC=BOE=30AOD=BOCBOC=30；（2）设BOEx,则EOF=4xBOF=EOFBOE =4xx=3x.BOF=90，3x=9
3、0，解得:x=30OB平分COE，COE=2BOE=2x=60DOE=180COE=120【例题】如图，直线EF，CD相交于点O，OAOB，且OC平分AOF，(1)若AOE=40，求BOD的度数；(2)若AOE=，求BOD的度数(用含的式子表示)；(3)从(1)(2)的结果中能看出AOE和BOD有何关系？（1）AOE+AOF=180（邻补角的定义），AOF=180AOE，1800400140；又OC平分AOF，AOF=70，EOD=FOC=70（对顶角相等）；而BOE=AOBAOE=50，BOD=EODBOE=20；（2）AOE+AOF=180，（邻补角的定义）AOF=180AOE=180；又
4、OC平分AOF，AOF=90，EOD=FOC=90（对顶角相等）；而BOE=AOBAOE=90，BOD=EOD；（3）从（1）（2）的结果中不难观察出：AOE=2BOD【反思】利用对顶角、邻补角的概念和性质，熟练掌握对顶角相等、垂直的定义、角平分线的定义是解题的关键，注意领会解题思路和解题过程和格式.几何入门书写必须严格规范.【练习】O为直线DA上一点，OBOF，EO是AOB的平分线（1）如图（1），若AOB=130，求EOF的度数；（2）若AOB=，90180，求EOF的度数；（3）若AOB=，090，请在图（2）中画出射线OF，使得（2）中EOF的结果仍然成立【解答过程】（1）EO是AOB
5、的平分线，AOB=130，AOB650.OBOF，BOF=90，AOF=AOBBOF=13090=40，EOF=AOEAOF=6540=25；（2）AOB=，90180， EO是AOB的平分线，BOF=90，AOF=90，EOF=AOEAOF（90）=900；（3）如下图示，AOB=，090，BOE=，BOF=90，EOF=BOFBOE =900【试题】如图，ABCD，AE平分BAD，CD与AE相交于F，CFE=E求证：ADBC【分析】可利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于ADBC的条件：内错角2和E相等.证明：AE平分BAD， 1=2， ABCD， 1=CFE CFE=E， 2=E
6、， ADBC【点评】本题是角平分线的性质以及平行线的判定定理的综合运用【拓展】如图，ABCD，AE平分BAD，CD与AE相交于F，CEF=F求证：ADBC【分析】可利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于ADBC的条件：内错角2和E相等.证明：AE平分BAD， 1=2， ABCD， 1=CFE CEF=F， 2=E， ADBC【反思】注意体会拓展与原题(试题内容和解答过程)的区别与联系，再结合图形思考，展开想象，探寻动与静的规律与联系.【例题】已知：如图，点B在直线AC上，BE和AD交于F点，A=ADE，C=E（1）若EDC=3C，求C的度数（2）求证：BECD（1）A=ADE， ACD
7、E， EDC+C=180，又EDC=3C，4C=180，即C=45；（2）ACDE，E=ABE，又C=E，C=ABE，BECD【反思】 (1)要能回答出上面每一步推理的根据，特别要注意逻辑顺序. (2)本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用，解题时应注意判定与性质的区别，不可用错【拓展】已知：如图，点B在直线AC上，BE和AD交于F点，A=ADE，DCB=DEB（1）若DCB =3EDC，求DCB的度数（2）求证：BECD【例题】如图，D、E在ABC的边AB上，F点在边BC上，已知AGD=ACB，1=2求证：CDEF【拓展1】如图，D、E在ABC的边AB所在的直线上，F点在边BC所在直线上，
8、已知AGD=ACB，1=2求证：CDEF【拓展2】如图，D、E在ABC的边AB所在的直线上，F点在边BC所在直线上，已知AGD=ACB，1=2求证：CDEF【拓展3】如图，D、E在ABC的边AB所在的直线上，F点在边BC所在直线上，已知AGD=ACB，1=2求证：CDEF【例题】如图，A、B、C三点在同一直线上，D、E、F也在同一直线上，已知A=F，C=D，求证BDCE【拓展1】如图，A、B、C三点在同一直线上，D、E、F也在同一直线上，已知A=AFD，C=D，求证BDCE【拓展2】如图，A、B、C三点在同一直线上，D、E、F也在同一直线上，已知CAF=F，C=D，求证BDCE【拓展2】如图，
9、A、B、C三点在同一直线上，D、E、F也在同一直线上，已知CAF=AFD，C=D，求证BDCE【例题】如图，直线ab， ACBC，2=55，求1的度数【分析】1与2均不是“三线八角”的角，因此通过ab，想方设法构造“三线八角”，建立1、2及ACB之间的联系，从而求出2的度数.法一：如下图示，法二：（图解）如下图示，【反思与拓展】【拓展1】如图，直线ab， ACBC，2=55，求1的度数（不可用“三角形内角和定理”）【拓展2】如图，直线ab， ACBC，2=55，求1的度数8.【例题】已知，如图，DEAC于E，AGF=ABC，1+2=180，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由理由：AGF=A
10、BC， BCGF 1=3； 又1+2=180， 2+3=180， BFDE； AFBAED DEAC， AED90 AFB90 BFAC【点评】本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角，并正确运用平行线的判定和性质是正确答题的关键解题时要注意几何语言书写格式与过程，同时要注意思路与正确解答之间的关系.【拓展1】已知，如图，DEAC于E，AGF=ABC，12，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由【拓展2】已知，如图，DEAC于E，AGF=ABC，12，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由【拓展3】已知，如图，DEAC于E，AGF=ABC，BDEBFC，试判
11、断BF与AC的位置关系，并说明理由【例题】如图，CDAB，DCB=70，CBF=20，EFB=130，（1）问直线EF与AB有怎样的位置关系？并加以证明；（2）若CEF=70，求ACB的度数【拓展1】如图，CDAB，DCB=30，CBF=20，EFB=130，（1）问直线EF与AB有怎样的位置关系？并加以证明；（2）若CEF=110，求ACB的度数【拓展2】如图，CDAB，DCB=80，CBF=20，EFB=80，（1）问直线EF与AB有怎样的位置关系？并加以证明；（2）若CEF=70，求ACB的度数【试题】如图，已知1+2=180，B=3，求证：DEBC【拓展1】如图，已知12，DBF=DE
12、F，求证：DEBC【拓展2】如图，已知12，4+DEF1800，求证：DEBC【例题】如图，ABCD，ABE=70，DCE=144，求BEC的度数【分析】图中虽有ABCD，但无法直接得到“三线八角”，因此必须添加“辅助线”，将已知和所求的角进行联系，想方设法构造出“三线八角”的基本图形，然后根据平行线的性质和判定进行转化.方法有多种：分别说明如下：法一：过E点往右侧作EFCD，如下图示：法二：过E点往左侧作EFCD，如下图示：法三：过B点作BFCD，交DC的延长线于F，如下图示：法四：过C点作CFBE交AB的延长线于F，如下图示：【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定，利用已有的平行线，再构
13、造“三线八角”是解题的关键，当然如果学了三角形（或多边形）的内角和，则解法就更多了：只要能得到“三线八角”均可得解【拓展1】如图，ABCD，ABE=70，DCE=54，求BEC的度数【拓展2】如图，ABCD，ABE=35，DCE=110，求BEC的度数【拓展3】如图，ABCD，ABE=40，DCE=20，求BEC的度数【试题】已知ABCD，ABE与CDE两个角的角平分线相交于点F（1）如图1，若E=80，求BFD的度数（2）如图2中，ABM=1/3ABF，CDM=1/3CDF，写出M与E之间的数量关系并证明你的结论（3）若ABM=1/nABF，CDM=1/nCDF，设E=m，直接用含有n，m的
14、代数式表示写出M=【解析】（1）首先先求出ABE+CDE的度数，方法均有4种，下面仅提供一种解法：如下图示，过E点作EGCD，因ABCD，所以ABEGCD，得到ABE+21800，CDE+11800，从而ABE+(1+2)+ CDE3600，而BED1+2800，所以ABE+CDE2800.再求3+4的度数，因BF和DF分别平分ABE和CDE，所以有3+CDE0.5（ABE+CDE）1400. 类似上述思路，可求得BFD5+63+41400.如下图示：（2）如下图示：类似前面分析，可得到：ABE+CDE3600E，ABF+CDE0.5（ABE+CDE） 1800E，进一步，得到：3+41/3A
15、BF+1/3CDF 1/3(ABF+CDF) 1/3（1800E） 6001/6E.得到BMD7+86001/6E.即6BMD+E3600.（3）与（2）题类似，如下图示：类似前面分析，可得到：ABE+CDE3600E，ABF+CDE0.5（ABE+CDE） 1800E，进一步，得到：3+41/nABF+1/nCDF 1/n(ABF+CDF) 1/n（18000） 1800/nm0/(2n).得到BMD7+8 1800/nm0/(2n).即BMD+E(3600m0)/(2n).【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定的综合应用，关键在于“如何构造”三线八角“【拓展】已知ABCD，ABE与CDE
16、两个角的角平分线相交于点F若ABM=1/nABF，CDM=1/nCDF，设E=m，直接用含有n，m的代数式表示，写出M=【提示】解法类似，m0/(2n).【试题】已知：如图，直线ab，直线c与直线a、b分别相交于C、D两点，直线d与直线a、b分别相交于A、B两点，点P在直线AB上运动（不与A、B两点重合）（1）如图1，当点P在线段AB上运动时，总有：CPD=PCA+PDB，请说明理由；（2）如图2，当点P在线段AB的延长线上运动时，CPD、PCA、PDB之间有怎样的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上运动时，CPD、PCA、PDB之间又有怎样的数量关系（只需直接给出结论）？【图文解析】 前面已有文章分析，此类问题均有4种解法，其各种情况的结论也类似.下面也仅用一种常用方法简析： 每小题均过点P作a的平行线，根据平行线的性质进行求解.【拓展】已知：如图，直线ab，直线c与直线a、b分别相交于C、D两点，直线d与直线a、b分别相交于A、B两点，点P在直线AB上运动（不与A、B两点重合）当点P在如下图的平面各个区域内运动时，试直接到写出CPD、PCA、PDB之间的数量关系.如图，1BDC，CEAE于E，2+3180，求证：DAAE已知，如图，BCE、AFE是直线，AB/CD，12，34，求证：AD/BE如图，12，CFAB，DEAB，求证：FG/BC