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1、二次函数,图像的平移,二次函数y=ax2的性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2 (a0),y= ax2 (a0),（0，0）,（0，0）,y轴,y轴,在x轴的上方(除顶点外),在x轴的下方( 除顶点外),向上,向下,当x=0时,最小值为0.,当x=0时,最大值为0.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,忆一忆,x,y,o,y=2x2,-4,-3,-2,-1,1,2
2、,3,4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1、画出函数y=2x2的图象,做一做,函数y=2x2的图象是什么形状? 它的开口方向对称轴和顶点坐标分别是什么?,y,o,y=2x2,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,x,y=2x2+1,函数y=2x2+1的图象是什么形状? 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?,2、画出函数y=2x2+1的图象,5,y=2x2+1,y=2x2,y=2x2+1与y=2x2的图象有什么关系?,0.25.,0.5.,0.75.,1.,y,-0.25.,-0. 5.,-0.75.,-1.,y=3x2,想一想,你知道 函数 y
3、=3x2-1的大 致图象和位 置吗?,0.25.,-0.25.,-0. 5.,-0.75.,-1.,y=3x2-1,二次函数y=3x2-1图像可以由y=3x2 的图象向下平移一个单位得到,y=3x2,这两函数的图像有什么关系？,二次函数y=ax2与y=ax2+c的图象有什么关系？,二次函数y= ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象 当c 0 时 向上平移c个单位得到. 当c 0 时 向下平移-c个单位得到.,函数,y=ax2+c,y=ax2,开口方向,a0时,向上,a0时,向下,对称轴,y轴,y轴,顶点坐标,（0,0）,（0,c）,a0时,向上,a0时,向下,上加下减,1、完成下表,函数
4、y=3(x-1)的图像是什么? 它与y=3x的图像有什么关系？,比较y=3x和y=3(x-1)的值,它们之间有什么关系?,y=3(x-1)的值比y=3x的值落后,想一想,在下列平面直角坐标系中，做出y=（3x-1）的图像,2、观察图象,回答问题,(1)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?,把y=3x的图像沿轴向右平移1个单位就得到y=3(x-1)的图像,一起探索,图象是轴对称图形 对称轴是平行于 y轴的直线:x=1.,顶点坐标 是点(1,0).,(2)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么共同点？其对称轴和顶点坐标分别是什么?,合作交流,合作交流,猜一猜,在
5、同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?,列表看一看,我能行,y=3(x-1)的值比y=3x的值落后， y=3(x+1)的值比y=3x的值提前。,画图看一看,把y=3x的图像沿轴向右平移1个单位就得到y=3(x-1)的图像,把y=3x的图像沿轴向左平移1个单位就得到y=3(x+1)的图像,猜一猜,函数y=-3(x-1),y=-3(x+1)2和y=-3x的图象的位置和形状.,理由是：它们分别和y=3x,y=3(x-1), y=3(x+1)互为相反数,二次函数y=a(x-h)2的性质,抛物线,顶点坐标,对称轴,开口方向,y随x 变化规律,最值,y=a(x-h)2 (a0),y
6、=a(x-h)2 (a0),（h，0）,（h，0）,直线x=h,直线x=h,向上,向下,当x=h时,最小值为0.,当x=h时,最大值为0.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,归纳与总结,二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的关系,二次函数y=a(x-h)2的图象可以看作是抛物线y=ax2先沿着x轴向右平移后得到的 当h 0 时 向右平移h个单位得到.,左加右减,在同一坐标系中作出函数y=3x,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象,它们之间有何关系.？,
7、1、完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x-1)2+2值,它们之间有何关系?,对称轴仍是平行于y轴的直 线(x=1);增减性与y=3x2类似.,顶点是(1,2).,二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x,y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?,开口向上,当 X=1时有最小 值:且最小值=2.,先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?,X=1,二次函数y=3(x-1)2+2的图象可以看作是抛物线y=3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1上平移2个单位后得到的,对称轴仍是平行于y轴的直线 (x
8、=1);增减性与y=3x2类似.,顶点是(1,-2).,二次函数y=3(x-1)2-2的图象与抛物线y=3x2和y=3(x-1)2有何关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,开口向上, 当x=1时y有 最小值:且 最小值= -2.,想一想,二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3x,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?再作图看一看,X=1,二次函数y=3(x-1)2-2的图象可以看作是抛物线y=3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1向下平移2个单位后得到的,对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y= -3x2类似.,
9、顶点分别是 (1,2)和(1,-2).,二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线y=-3x,y=-3(x-1)2有什么关系? 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?,开口向下, 当x=1时y有 最大值:且 最大值= 2 (或最大值=-2).,y,X=1,二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2+2的图象可以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向右平移1个 单位,再沿直线x=1向上(或向下)平移2个单位后得到的.,合理推测,函数y=3(x-1)+1的图像有什么特点 ？,函数y=-3(x+1)+1的图像呢？,图像是,抛物线,顶点是,（1.1）,对称
10、轴,直线x=1,开口方向,向上,理由是,y=3(x-1)+1的图像可以看成是y=3(x-1)平移得到的,1.,2.,二次函数y=a(x-h)+k与y=ax的关系,(2)都是轴对称图形.,(3)都有最(大或小)值.,(4)a0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .,(2)对称轴不同:分别是直线x= -h和y轴.,3.联系: y=a(x-h)+k(a0) 的图象可以由y=ax的图象平移得到。,(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).,只是位置不
11、同,(1)顶点不同:分别是(-h,k)和(0,0).,(3)最值不同:分别是k和0.,x轴,|h|,对称轴,先 沿 整体向左(右)平移 个单位(当h0时,向右平移;当h0时向上平移;当k0时,向下平移)得到的.,知识小结,相同点:,不同点:,1.函数y=x2-1的图象，可由y=x2的图象向平 _ 移 个单位. 2.把函数y=3x2+2的图象沿x轴对折，得到的图 象的函数解析式为_. 3.已知（m,n)在y=ax2+a的图象上，（- m,n ） _（在，不在）y=ax2+a的图象上. 4. 若y=x2+（2k-1）的顶点位于x轴上方，则 K_,例题讲解,下,1,y=-3x2-2,在,0.5,1.
12、 一次函数y=ax+b与y=ax2-b在同一坐标系中的大致图象是（ ）,思维与拓展,y,x,0,x,0,x,0,x,x,y,y,y,B.,A.,C.,D.,B,2. 函数y=ax2+a与y= （a0)在同一坐标系中 的大致图象是（ ）,思维与拓展,y,A.,C.,D.,D.,思维与拓展,.,3.抛物线y=ax2向左平移一个单位,再向下平移8个单位且y=ax2过点(1,2).则平移后的解析式为,y=2(x+1)2-8,4.将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到y=x2.,逆向思考,由y=x2-6x+4 =(x-3)2-5知:先向左平移3个单位,再向上平移5个单位.,结束寄语,读书要从薄到厚,再从厚到薄.,再见,