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1、,5.2 二元函数的偏导数与全微分,一、偏导数 二、高阶偏导数 三、全微分 四、全微分在近似计算中的应用,5.2 二元函数的偏导数与全微分,一、偏导数,1、偏导数的定义,5.2 二元函数的偏导数与全微分,5.2 二元函数的偏导数与全微分,5.2 二元函数的偏导数与全微分,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如函数 在点 处,5.2 二元函数的偏导数与全微分,例1 求,解法1,解法2,在点(1 , 2)处的偏导数.,5.2 二元函数的偏导数与全微分,例2 设,证,例3 求,的偏导数 .,解,求证:,5.2 二元函数的偏导数与全微分,偏导数记号是一个,例4 已知理想气体的状态方程,求证:,证,说明
2、:,(R 为常数) ,不能看作,分子与分母的商 !,此例表明,整体记号,5.2 二元函数的偏导数与全微分,2.偏导数的几何意义,如图,5.2 二元函数的偏导数与全微分,（1）几何意义:,5.2 二元函数的偏导数与全微分,（2）偏导数存在与连续的关系,？,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在 连续.,一元函数中在某点可导 连续，,多元函数中在某点偏导数存在 连续，,则称它们是z = f (x , y),5.2 二元函数的偏导数与全微分,二、高阶偏导数,设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,的二阶偏导数 .,按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导,
3、数:,5.2 二元函数的偏导数与全微分,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如， z = f (x , y)关于x 的三阶偏导数为,z = f (x , y)关于x的 n 1 阶偏导数 , 再关于y 的一阶,偏导数为,第二、三个偏导数称为混合偏导数.,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,5.2 二元函数的偏导数与全微分,解,5.2 二元函数的偏导数与全微分,例6 求函数,解,注意:此处,但这一结论并不总成立.,的二阶偏导数及,5.2 二元函数的偏导数与全微分,问题,例如, 对三元函数u = f (x , y , z) ,当三阶混合偏导数,在点 (x , y , z) 连续时, 有,5.2 二
4、元函数的偏导数与全微分,证,5.2 二元函数的偏导数与全微分,例8 证明函数,满足,证,利用对称性,有,方程,5.2 二元函数的偏导数与全微分,三、全微分,全增量,5.2 二元函数的偏导数与全微分,定义2 如果函数 z = f ( x, y )在点( x , y ),可表示成,其中A , B不依赖于 x , y ,仅与 x , y 有关，,称为函数,在点 (x, y) 的全微分, 记作,若函数在域 D 内各点都可微,则称函数,f ( x, y )在点( x, y) 可微，,的全增量,则称此函数在D 内可微.,5.2 二元函数的偏导数与全微分,证,“可微”与“连续”的关系？,5.2 二元函数的偏
5、导数与全微分,“可微”与“偏导数存在”的关系？,5.2 二元函数的偏导数与全微分,同样可证,证 由全增量公式,得到对x 的偏增量,因此有,5.2 二元函数的偏导数与全微分,反例: 函数,易知,但,注: 定理3 的逆定理不成立 .,偏导数存在函数 不一定可微 !,因此,函数在点 不可微 .,5.2 二元函数的偏导数与全微分,定理4 (可微的充分条件),若函数,的偏导数,则函数,在点,连续，,在该点可微 . 且,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,.,例如, 三元函数,的全微分为：,5.2 二元函数的偏导数与全微分,例9 计算函数,在点(2,1)处的全微分.,解,例10 计算函数,的全微分.,
6、解,5.2 二元函数的偏导数与全微分,可知当,*四、全微分在数值计算中的应用,近似计算:,由全微分定义,较小时,及,有近似等式:,(可用于近似计算; 误差分析),(可用于近似计算),5.2 二元函数的偏导数与全微分,例11 计算,的近似值.,解 设,则,取,则,5.2 二元函数的偏导数与全微分,半径由 20cm 增大,解 已知,即受压后圆柱体体积减少了,例12 有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm ,则,高度由100cm 减少到 99cm ,体积的近似改变量.,求此圆柱体,5.2 二元函数的偏导数与全微分,偏导数的定义,偏导数的计算、偏导数的几何意义,高阶偏导数,（偏增量比的极限）,纯偏导,混合偏导,（相等的条件）,内容小结,5.2 二元函数的偏导数与全微分,思考练习,则（ ）,(A),(C),为,曲线 在点,的切向量,为,5.2 二元函数的偏导数与全微分,思考练习,(D),曲线 在点,的切向量,为,答案（C）,