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1、7.5 7.5 二元函数偏导数的应用二元函数偏导数的应用 在几何上的应用在几何上的应用在几何上的应用在几何上的应用 二元函数极值的求法二元函数极值的求法二元函数极值的求法二元函数极值的求法 小结小结小结小结 思考与练习思考与练习思考与练习思考与练习 1.空间曲线的切线与法平面n n 在几何上的应用在几何上的应用在几何上的应用在几何上的应用即即例例1解解于是，切线方程为法平面方程为2.曲面的切平面方程与法线方程为例例2解解或法线方程为1、二元函数的极值二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决。定理定理7.7(极值存在必要条件极值存在必要条件)使n n 二元函数极值的求法二元函数极值的求法二元
2、函数极值的求法二元函数极值的求法定理定理7.8（极值存在充分条件）（极值存在充分条件）令第一步第二步第三步 例例3解解（1）求驻点解方程组（2）判断驻点是否极值点，若是，说明取得极值情况又由于2.条件极值与拉格朗日乘数法在前面所讨论的极值中，除对自变量给出定义域外，并无其它条件限制，我们把这一类极值称为无条件极值，而把对自变量还需附加其他条件的极值问题称为条件极值。条件条件极值问题有如下两种解法。方法方法1例例4解解由一元函数极值存在的必要条件，得所以方法方法2 （拉格朗日数乘法）（拉格朗日数乘法）这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。至于如何确定所求得的点是否为极值点，是极大值点还是极小值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。例例5解解作辅助函数令由前三式，得即当长方体的长、宽、高相等时，长方体的体积最大。注注注注:求二元函数极值的方法求二元函数极值的方法求二元函数极值的方法求二元函数极值的方法(1)(1)换元法。换元法。换元法。换元法。(2)(2)拉格朗日数乘法。拉格朗日数乘法。拉格朗日数乘法。拉格朗日数乘法。n n 作业作业作业作业P142 P142 习题习题习题习题1818 习题习题习题习题1919 习题习题习题习题2121