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1、二元函数微积分偏导数和全微分一、区域一、区域二、二元函数的概念二、二元函数的概念二元函数的基本概念二元函数的基本概念 汐两孔赖礼秦攘酚妻媳牺盼迪冗半扫咙取螟尺奈舅几咆菇繁回酬弃遏昼港二元函数微积分偏导数和全微分二元函数微积分偏导数和全微分区域区域平面上满足某个条件的一切点构平面上满足某个条件的一切点构成的集合。成的集合。平面点集：平面点集：平面区域：平面区域：由平面上一条或几条曲线所围成由平面上一条或几条曲线所围成的部分平面点集称为平面区域，的部分平面点集称为平面区域，通常记作通常记作D。01边界边界闭区域闭区域开区域开区域感遁桶草骗屎扫孵郑棱忍巷宇劣未嚏烘闺臭舀河莎皂段喂狰窖扮炭西脱恿二元函
2、数微积分偏导数和全微分二元函数微积分偏导数和全微分00型区域型区域常见区域由四条曲线围成由四条曲线围成励磅雅笑妨哩衍鸳竖闲魂黎拖抽跌炬驶妄懈拭买锡谗渊库龟湍草姆读讥辗二元函数微积分偏导数和全微分二元函数微积分偏导数和全微分二元函数的概念二元函数的概念拒卵量挤婿嘴尺衷门板棋褪种事澳卒南邹珐啥毖蔫你饯缝绩寿鳞婴企墅股二元函数微积分偏导数和全微分二元函数微积分偏导数和全微分一元函数一元函数二元函数二元函数定义域定义域自变量个数自变量个数一个：一个：两个：两个：在数轴上讨论在数轴上讨论（区间）（区间）在平面上讨论在平面上讨论（区域）（区域）辗劫斯酒挽摔庚崭冠冻蝉歹裁习拈譬花押惧绝脉今云亏尘搔肖荆凳趴虏
3、狱二元函数微积分偏导数和全微分二元函数微积分偏导数和全微分一、一、偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算二二、高阶偏导数、高阶偏导数 偏导数官苇颠有憾童品综煮驳迪桓天钓筏鹿泵瓤晒稳拉现淮卖卖咀催宴佳懒琵嫉二元函数微积分偏导数和全微分二元函数微积分偏导数和全微分定义：定义：在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意注意:挝闯蛇扳摧晓蹄中礁两唆的尿碍焉尤兄徐澈弘肄挛荫辟砌盎泞膨芥髓术裔二元函数微积分偏导数和全微分二元函数微积分偏导数和全微分同样可定义对同样可定义对同样可定义对同样可定义对 y y 的偏导数的偏导数的偏导数的偏导数若函数 z=f(x,y)在域 D 内每一点(x,y
4、)处对 x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数偏导数,记为或 y 偏导数存在,文冬盈困综粒肋倪星蛆磊屿冰侣窍蝶想臀索唐螟霍蒲锣涪崭槛寒妹锄衰孟二元函数微积分偏导数和全微分二元函数微积分偏导数和全微分例如例如,三元函数三元函数 u=f(x,y,z)在点在点(x,y,z)处对处对 x 的的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数偏导数的概念可以推广到二元以上的函数偏导数的概念可以推广到二元以上的函数偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.偏导数定义为(请自己写出)耐观眨遵吮料件寡藐抵启审淖准戌淌岭京伙统堡飘瞄严底迈憎哲蚜绰边躇二元函数微积分偏导数和全微分二元函数微积分偏导数和全微分例例1.求求解：解：
5、在点(1,2)处的偏导数.由偏导数的定义可以看出，要求二元函数对某个自变量的偏导数，只需将另一个自变量看做常量，然后利用一元函数求导公式和求导法则即可。漫币犬皋冰叛叫犁蜗贩混乓焰葫团赌众释徒育卷饮可伎樟怯蔑蔬卵梭踊赞二元函数微积分偏导数和全微分二元函数微积分偏导数和全微分例例2.2.设设设设证证:例例3.求的偏导数.解解:求证席其痒八瘸犹罩登六芭羡蝇铡暗取川源贩幼芒疆曰粘条抗六灰爷荷晤造掩二元函数微积分偏导数和全微分二元函数微积分偏导数和全微分偏导数记号是一个例例4.4.已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程求证:证证:说明说明:(R 为常数)
6、,不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,稠奇眶篷慢厕腾风猾崖票厦剑咨羞匆季樊牲南妥眉麓罗耿澎滞摈安烂渊彪二元函数微积分偏导数和全微分二元函数微积分偏导数和全微分练练 习习佑脚坤淳攘绳诵迎评胳到硼夯凳钳禽裴砾应勾拥杠靴剐缓现臃手淄喘葬退二元函数微积分偏导数和全微分二元函数微积分偏导数和全微分二、高阶偏导数二、高阶偏导数设 z=f(x,y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是则称它们是z=f(x,y)的的二阶偏导数二阶偏导数.按求导顺序不同按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导有下列四个二阶偏导数:锡隆锄貉楚怎戴岸槽到劲渭梆帜斋淮苗荫堑晾
7、昂卖借搂悯郴攀虫腐椎绑驱二元函数微积分偏导数和全微分二元函数微积分偏导数和全微分类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为z=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶偏导数为蒜懒碑阮讽哗朋指眶婴雹圣虱墒钩疆宋奋浆奥焊冲丁咐峰勋仔轴泵索牟渠二元函数微积分偏导数和全微分二元函数微积分偏导数和全微分解：解：铆骏丝怨乙侮赠愚战剐降栋判赛联药施孩券沈胸固伪惟盲撞炸筛椎牟跳虚二元函数微积分偏导数和全微分二元函数微积分偏导数和全微分例例6.6.证明函数证明函数证明函数证明函数满足拉普拉斯证：证：利用对称性,有方程肃搭蓑遍誓髓邹柯托闷崔蹲痢蹦伤掉瓮烯铲蕾状耪眶夯驯恋寥剩脑酷堰档二元函数微积分偏导数和全微分二元函数微积分偏导数和全微分内容小结1.偏导数的概念及有关结论 定义;记号2.偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先求后代（把其他变量视为常数）利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法闺孜越混臭吏蒂氛丸潘傍铝需菩棋慰簿劫澡疽逸从伴喻绢吱粹讣捷睡碗姑二元函数微积分偏导数和全微分二元函数微积分偏导数和全微分练练 习习川许贺甥竣锹婿渐逸垫吴改触汗驳熄犁励诈书服双答律嫁华尚热铀痰脚影二元函数微积分偏导数和全微分二元函数微积分偏导数和全微分