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1、-浙江省温州市十校联合体2017届高三上学期期末考试数学试题-第 12 页2016学年第一学期余杭实验中学数学寒假作业（1）班级 姓名 学号 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。1.已知集合，则 （ ） A B C D2.若复数，其中为虚数单位，则 = （ ）A1B1+ C1+D13. “一条直线与平面内无数条直线异面”是“这条直线与平面平行”的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件4. 二项式的展开式中常数项为 （ ）A B C D5.若向量,且，则的值是 （ ）A B C D2上任一点，则下列结论正确的是 （ ）A B C D以上都有
2、可能7.设函数，若关于x的方程恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是 （ ）A B C D 8.已知数列的首项，前n项和为，且满足，则满足的n的最大值是 （ ）A8B9C10D119.在中，点A在OM上，点B在ON上，且，若，则终点P落在四边形ABNM内（含边界）时，的取值范围是 （ ）A B C D 10.点P为棱长是2的正方体的内切球O球面上的动点，点M为的中点，若满足，则动点P的轨迹的长度为 （ ）A B C D二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。11.某几何体的三视图是如图所示的直角三角形、半圆和等腰三角形， 各边的长度如图所示，则此几何体的体积是
3、_，表面积是 _.第11题12.袋中有3个大小、质量相同的小球，每个小球上分别写有数字， 随机摸出一个将其上的数字记为，然后放回袋中，再次随机摸出一个，将其上的数字记为，依次下去，第n次随机摸出一个，将其上的数字记为记，则（1）随机变量的期望 是_；（2）当时的概率是_。13.设是定义在R上的最小正周期为的函数，且在上，则_ ,_.14.若的垂心恰好为抛物线的焦点，O为坐标原点，点A、B在此抛物线上，则此抛物线的方程是_，面积是_。15.对于任意实数和b，不等式恒成立，则实数x的取值范围是_。16.设有序集合对满足：，记分别表示集合的元素个数，则符合条件的集合的对数是_.17.已知A是射线上的
4、动点，B是x轴正半轴的动点，若直线AB与圆 相切，则的最小值是_.三、 解答题: 本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（1）求角A的值；（2）求函数在区间的值域。19. (本题满分15分)如图四边形PABC中，现把沿AC折起，使PA与平面ABC成，设此时P在平面ABC上的投影为O点（O与B在AC的同侧），（1）求证：平面PAC；（2）求二面角PBCA大小的正切值。20. (本题满分15分)定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界。已知函数，（1）当时，求函数在D上的上界的最小值；（2）记函数，若函数在区间上是以
5、3为上界的有界函数，求实数的取值范围。21. (本题满分15分)椭圆的离心率为，左焦点F到直线：的距离为，圆G：，（1）求椭圆的方程；（2）若P是椭圆上任意一点，EF为圆N：的任一直径，求的取值范围；（3）是否存在以椭圆上点M为圆心的圆M，使得圆M上任意一点N作圆G的切线，切点为T，都满足？若存在，求出圆M的方程；若不存在，请说明理由。22. (本题满分15分)已知数列满足，(1)若数列是常数列，求m的值；（2）当时，求证：；（3）求最大的正数，使得对一切整数n恒成立，并证明你的结论。2016学年第一学期温州十校联合体高三期末考试数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
6、序号12345678910答案CABBACDBDC5.解：A。.6.若，则点P的轨迹是以为焦点的双曲线，其方程为。因为直线是它的渐近线，整条直线在双曲线的外面，因此有。7.作出函数的图象.因为由方程,得或.显然有一个实数根,因此只要有两个根(不是),利用图象可得, 实数a的取值范围是.8.当 时，得 。当 时，有，两式相减得 。再考虑到，所以数列是等比数列，故有。因此原不等式化为，化简得，得 ，所以n的最大值为9.9.利用向量知识可知，点落 在平面直角坐标系中两直线及x轴、y轴围成的四边形（含边界）内。又因为，其中 表示点 与点Q连线的斜率。由图形可知，所以。10.直线DP在过点D且与BM垂直
7、的平面内。又点P在内接球的球面上，故点P的轨迹是正方体的内切球与过D且与BM垂直的平面相交得到的小圆。可求得点O到此平面的距离为，截得小圆的半径为，所以以点P的轨迹的长度为。二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。11. 、 12. 、 13. 、 14. 、15. 16. 44对 17. 分析：0124p11.解： ， 。易知此几何体是半个圆锥。12.解：， 。可以求得随机变量的分布列如表所示，期望为。当时的概率是13.解： ；。由于的周期为，则 ，即，解得。 此时。14.解：。因为焦点为，所以抛物线的方程是 。设，由抛物线的对称性可知， 。又因为 ，得 ，解得
8、（不妨取正值），从而可得。15.解：。原不等式可化为恒成立，因此只要求 的最小值。因为，所以，且当时取到最小值为2. 因此有，解得16.解：44对。由条件可得。当时，显然不成立；当时，则，所以，符合条件的集合对有1对；当时，则，所以A中的另一个元素从剩下6个数中选一个，故符合条件的集合对有对；当时，则，所以A中的另两个元素从剩下6个数中选2个，故符合条件的集合对有对；当时，则，矛盾；由对称性，剩下的几种情况类似，故符合条件的集合的对数是对。17.解一：。设，则直线AB的方程是。因为若直线AB与圆相切，所以，化简得，利用基本不等式得，即，从而得，当，即时，的最小值是 解二：在中，设，则利用面积可
9、得，得。由余弦定理得，即，解得，即有解三：设切点C点，则，即，整理得 ，解得，即的最小值是。三、 解答题: 本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18. (本题满分14分)已知三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，（1）求角A的值；（2）求函数在区间的值域。解：（1） 因为，由正弦定理得，2分即。因为，得， 4分所以，6分解得 7分（2）由上可得， 8分所以。11分因为，所以，12分故函数的值域为。 14分19. (本题满分15分)如图四边形PABC中，现把沿AC折起，使PA与平面ABC成，设此时P在平面ABC上的投影为O点（O与B在AC的同侧），（1）求证：
10、平面PAC；（2）求二面角PBCA大小的正切值。解：（1）连AO，因为平面ABC，得。又因为，得平面PAO，。3分因为是PA与平面ABC的角，。因为，得。在中，故有，6分从而有，得平面PAC。 8分（2）过O作BC的垂线交CB延长线于G点，连PG，则是二面角PBCA的平面角。在中，易知，所以15分另解：（1）同上（2）以OB、OA、OP为x、y、z轴，建立坐标系，可得。可求得平面ABC的法向量是，平面PBC的法向量是，所以二面角PBCA大小的余弦值是，即 20. (本题满分15分)定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界。已知函数，（1）当
11、时，求函数在D上的上界的最小值；（2）记函数，若函数在区间上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围。解：（1）因为，得， 1分得或， 2分故可得函数在区间上单调递增，区间是单调递减。 3分因为，所以 ， 5分，故有上界，即上界的最小值是。7分（2）因为， 8分故有函数，令，因为，得。因为函数在区间上是以3为上界的有界函数，得在区间上恒成立 ，即 ，11分得在区间上恒成立。 12分记 ，当时，单调递增，所以；单调递减，所以实数的取值范围是。 15分（另解：利用函数的最值求解。当时，函数在区间上单调递增，所以只要 ，解得 ，所以；当时，函数在区间上单调递减，在区间 单调递增，所以只要 ，解得 ，
12、所以；当时，函数在区间上单调递减，所以只要 ，解得 ，所以综上可知，实数的取值范围是）21. (本题满分15分)椭圆的离心率为，左焦点F到直线：的距离为，圆G：，（1）求椭圆的方程；（2）若P是椭圆上任意一点，EF为圆N：的任一直径，求的取值范围；（3）是否存在以椭圆上点M为圆心的圆M，使得圆M上任意一点N作圆G的切线，切点为T，都满足？若存在，求出圆M的方程；若不存在，请说明理由。解：（1） 3分（2），因为 ，所以，即的取值范围是。8分（3）设圆M，其中，则。 10分由于，则， 12分即，代入，得对圆M上任意点N恒成立。只要使，即，经检验满足，故存在符合条件的圆，它的方程是。 15分22.
13、 (本题满分15分)已知数列满足，(1)若数列是常数列，求m的值；（2）当时，求证：；（3）求最大的正数，使得对一切整数n恒成立，并证明你的结论。得。显然，当时，有。 3分（2）由条件得，得。5分又因为，两式相减得。 7分显然有 ，所以与同号，而，所以，从而有。9分（3）因为， 10分所以 。这说明，当时，越来越大，显然不可能满足。所以要使得对一切整数n恒成立，只可能。12分下面证明当时，恒成立。用数学归纳法证明：当时，显然成立。假设当时成立，即，则当时，成立。由上可知对一切正整数n恒成立。因此，正数m的最大值是2. 15分数学第21题第二问中的EF改为AB，N改为G数学第21题第二问的参考答案为两个（如图），无论哪个都判定为正确。答案中的E、F、N无论用什么其他字母代替也都判定为正确。