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_* 2016 学年第一学期余杭实验中学数学寒假作业（1） 班级 姓名 学号 一、选择题：本大题共选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分。分。 1.已知集合，，则 （ ） }2|{xyxP)}1ln(|{xyxQQP A． B． C． D．{ | 12}xx { | 12}xx { | 12}xx { | 12}xx 2.若复数，其中 为虚数单位，则z = （ ） i z 1 2 i A．1−B．1+ C．−1+D．−1−iiii 3. “一条直线 与平面内无数条直线异面”是“这条直线与平面平行”的 （ ）l A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4. 二项式的展开式中常数项为 （ ） 6 1 ()x x A． B． C． D．15152020 5.若向量,且，则的值是 （ ）(sin2 ,cos),(1,cos)ab 2 1 tana b A． B． C． D．2 5 8 5 6 5 4 6.点 P 为直线上任一点，，则下列结论正确的是 （ ） 3 4 yx 12 ( 5,0),(5,0)FF A． B． 12 |||||| 8PFPF 12 |||||| 8PFPF C． D．以上都有可能 12 |||||| 8PFPF 7.设函数，若关于 x 的方程恰有三个不同的实数根，则实数 2 log (),0 ( ) 2 ,0 x x x f x x 2( ) ( )0fxaf x a 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． [0,)(0,)(1,)[1,) 8.已知数列的首项，前 n 项和为，且满足，则满足的 n 的{} n a 1 1a n S 1 22 nn aS 2 100111 100010 n n S S 最大值是 （ ） A．8B．9C．10D．11 9.在中，点 A 在 OM 上，点 B 在 ON 上，且，，若，OMN/ /ABMN2OAOMOPxOAyOB _* 则终点 P 落在四边形 ABNM 内（含边界）时，的取值范围是 （ ） 2 1 yx x A． B． C． D． 1 [ ,2] 2 1 [ ,3] 3 3 [ ,3] 2 4 [ ,4] 3 10.点 P 为棱长是 2 的正方体的内切球 O 球面上的动点，点 M 为的中点，若满足 1111 ABCDABC D 11 BC ，则动点 P 的轨迹的长度为 （ ）DPBM A． B． C． D． 5 5 2 5 5 4 5 5 8 5 5 二、填空题二、填空题: :本大题共本大题共 7 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 4 分，共分，共 3636 分。分。 11.某几何体的三视图是如图所示的直角三角形、半圆和等腰三角形， 各边的长度如图所示，则此几何体的体积是______，表面积是 ____________. 12.袋中有 3 个大小、质量相同的小球，每个小球上分别写有数字 ， 2 , 1 , 0 随机摸出一个将其上的数字记为，然后放回袋中，再次随机摸 1 a 出 一个，将其上的数字记为，依次下去，第 n 次随机摸出一个，将 2 a 其上的数字记为记，则（1）随机变量的期望 n a nn aaa 21 2 是_______；（2）当时的概率是_______。 1 2 n n 13.设是定义在 R 上的最小正周期为的函数，且在上)(xf 7 6 5 [,) 63 ，则______ ,__________. 5 sin ,[,0) 6 ( ) cos,[0,] 3 x x f x xa x a 16 () 3 f 14.若的垂心恰好为抛物线的焦点，O 为坐标原点，点 A、B 在此抛物线上，则OAB(1,0)H 2 2ypx 此抛物线的方程是_______，面积是________。OAB 15.对于任意实数和 b，不等式恒成立，则实数 x 的取)0(aa|)2||1(|||||||xxababa 值范围是________。 16.设有序集合对满足：，记分别表示集合( , )A B{1,2,3,4,5,6,7,8},ABAB,CardA CardB 第 11 题 _* 的元素个数，则符合条件的集合的对数是________.,A B,CardAA CardBB 17.已知 A 是射线上的动点，B 是 x 轴正半轴的动点，若直线 AB 与圆 相切，0(0)xyx 22 1xy 则的最小值是________.||AB 3 3、、解解答题答题: : 本大题共本大题共 5 5 小题，共小题，共 7474 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. （本题满分 14 分）已知三内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且ABC ，[来源:Z_xx_k.Com]cos3csin0aCAbc （1）求角 A 的值； （2）求函数在区间的值域。( )cos24sinsinf xxAx 23 [,] 74 [来源:学。科。网 Z。X。X。K] 19. (本题满分 15 分)如图四边形 PABC 中，，，现把90PACABC 2 3,4PAABAC 沿 AC 折起，使 PA 与平面 ABC 成，设此时 P 在平面 ABC 上的投影为 O 点（O 与 B 在PAC60 AC 的同侧） ， （1）求证：平面 PAC；/ /OB （2）求二面角 P－BC－A 大小的正切值。 _* 20. (本题满分 15 分)定义在 D 上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有( )f xxD0M ，则称是 D 上的有界函数，其中 M 称为函数的上界。已知函数|( )|f xM( )f x( )f x ， （1）当时，求函数在 D 上的上界的最小值； 32 1 ( )1 3 f xxaxx 5 ,[ 1,3] 3 aD ( )f x （2）记函数，若函数在区间上是以 3 为上界的有界函数，求 / ( )( )g xfx 1 [( ) ] 2 x ygD[0,) 实数的取值范围。a 21. (本题满分 15 分)椭圆的离心率为，左焦点 F 到直线 ：的距离为， 22 22 1(0) xy ab ab 1 3 l9x 10 圆 G：， 22 (1)1xy （1）求椭圆的方程； （2）若 P 是椭圆上任意一点，EF 为圆 N：的任一直径，求的取值范围； 22 (1)4xyPE PF （3）是否存在以椭圆上点 M 为圆心的圆 M，使得圆 M 上任意一点 N 作圆 G 的切线，切点为 T，都 满足？若存在，求出圆 M 的方程；若不存在，请说明理由。 || 2 || NF NT [来源:学科网 ZXXK] 22. (本题满分 15 分)已知数列满足，{} n a 2 11 1 1, 8 nn aaam (1)若数列是常数列，求 m 的值；{} n a （2）当时，求证：；1m 1nn aa _* （3）求最大的正数，使得对一切整数 n 恒成立，并证明你的结论。m4 n a _* 2016 学年第一学期温州十校联合体高三期末考试 数学参考答案 一、选择题：本大题共选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分。分。 序号序号 1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010 答案答案 C CA AB BB BA AC CD DB BD DC C 5.解：A。. 2 sin2cosa b 2 222 2 1 21 2sincoscos2tan18 2 1 sincostan15 ( )1 2 6.若，则点 P 的轨迹是以为焦点的双曲线，其方程为 12 |||||| 8PFPF 12 ( 5,0),(5,0)FF 。因为直线是它的渐近线，整条直线在双曲线的外面，因此有。 22 1 169 xy 3 4 yx 12 |||||| 8PFPF 7.作出函数的图象.因为由方程,得或.显然( )yf x 2( ) ( )0fxaf x( )0f x ( )f xa 有一个实数根,因此只要有两个根(不是),利用图象可得, 实数 a 的取值范( )0f x 1x ( )f xa1x 围是.[1,) 8.当 时，，得 。当 时，有，两式相减得 1n 11 22aS 2 1 2 a 2n 1 22 nn aS 1 1 2 nn aa 。再考虑到，所以数列是等比数列，故有。因此原不等式化为 21 1 2 aa{} n a 1 22 ( ) 2 n n S ，化简得，得 ，所以 n 的最大值为 9. 2 1 22 ( ) 100111 2 1 100010 22 ( ) 2 n n 111 ( ) 1000210 n 4,5,6,7,8,9n 9.利用向量知识可知，点落 在平面直角坐标系中两直线及 x 轴、y 轴围( , )Q x y1,2xyxy 成的四边形（含边界）内。又因为，其中 表示点 与点 21 11 11 yxy k xx 1 1 y k x ( 1, 1)R Q 连线的斜率。由图形可知，所以。 1 3 3 k 42 4 31 yx x 10.直线 DP 在过点 D 且与 BM 垂直的平面内。又点 P 在内接球的球面上，故点 P 的轨迹是正方体的 内切球与过 D 且与 BM 垂直的平面相交得到的小圆。可求得点 O 到此平面的距离为，截得小圆的半 5 5 _* 径为，所以以点 P 的轨迹的长度为。 2 5 5 4 5 5 二、填空题二、填空题: :本大题共本大题共 7 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 4 分，共分，共 3636 分。分。 11. 、 12. 、 1624(84 13) 2 1E 3n n 13. 、 14. 、1 2 3 xy4 2 510 15. 2 5 2 1 x 16. 44 对 17. 22 2 分析： 11.解： ， 。易知此几何体是半个圆锥。1624(84 13) 12.解：， 。可以求得随机变量的分 2 1E 3n n 2 布列如表所示，期望为 。当时的概率是1 1 2 n n 3n n 13.解： ；。由于的周期为，则 ，即1 2 3 )(xf 7 6 5 ()() 36 ff ，解得。 此时。 5 cossin() 36 a 1a 16223 ()()sin() 3332 ff 14.解：。因为焦点为，所以抛物线的方程是 。设 2 4 ,10 5yx(1,0)H 2 4yx ，由抛物线的对称性可知， 。又因为 ，得 ， 22 (,2 ), (,2 )A aa B bbba AHOB 22 22 1 1 ab ab 解得（不妨取正值） ，从而可得。5a 15.解：。原不等式可化为恒成立，因此只要求 2 5 2 1 x |||| (|1||2|) || abab xx a 的最小值。因为，所以，且当 |||| || abab y a |||| |()()| 2||ababababa2y 时取到最小值为 2. 因此有，解得()()0ab ab2|2||1|xx 2 5 2 1 x 16.解：44 对。由条件可得。当时，显然不成立；当,CardAB CardBA0,8CardACardB 时，则，所以，符合条件的集合对有 11,7CardACardB7,1AB{7},{1,2,3,4,5,6,8}AB 0124 p 9 5 9 1 9 2 9 1 _* 对；当时，则，所以 A 中的另一个元素从剩下 6 个数中选一个，故2,6CardACardB6,2AB 符合条件的集合对有对；当时，则，所以 A 中的另两个元素 1 6 6C 3,5CardACardB5,3AB 从剩下 6 个数中选 2 个，故符合条件的集合对有对；当时，则 2 6 15C 4,4CardACardB ，矛盾；由对称性，剩下的几种情况类似，故符合条件的集合的对数是4,4AB 对。2(0 16 15)044 17.解一：。设，则直线 AB 的方程是。22 2(, ),( ,0)( ,0)Aa a B ba b()0axab yab 因为若直线 AB 与圆相切，所以，化简得，利 22 1xy 22 1 () ab d aab 2222 22ababa b 用基本不等式得，即，从而得 2222 222 22a babababab22 2ab ，当，即时，的最小 22 ||()22 2ABabaab2ba22,42 2ab||AB 值是 22 2 解二：在中，设，则利用面积可得，得AOB||,||OAa OBb 11 sin135|| 1 22 abAB 。 2 || 2 ABab 由余弦定理得，，即，解得 222 ||2cos135ABabab 2222 1 222 2 a babababab ，即有42 2ab 2 ||22 2 2 ABab 解三：设切点 C 点，，，则，,AOCBOC||,||ACa BCbtan,tanab ，即，整理得 ，解得tan()1 1 ab ab 2 1()1 2 ab abab 2 ()4()40abab ，即的最小值是。22 2ab||AB22 2 3 3、、解答题解答题: : 本大题共本大题共 5 5 小题，共小题，共 7474 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本题满分 14 分) 已知三内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且，ABCcos3csin0aCAbc （1）求角 A 的值； （2）求函数在区间的值域。( )cos24sinsinf xxAx 23 [,] 74 _* 解：（1） 因为，cos3csin0aCAbc 由正弦定理得，…………………………2 分sinAcos3sinCsinsinsin0CABC 即。3sinCsincossinsin0AACC 因为，得， ………………………………………………4 分sin0C 3sincos1AA 所以，………………………………………………………………………6 分 1 sin() 62 A 解得 …………………………………………………………………………………7 分 3 A （2）由上可得， ………………………………………………………………8 分 3 sin 2 A 所以。…11 分 22 35 ( )cos24sinsin1 2sin2 3sin2(sin) 22 f xxAxxxx 因为， 23 x[,] 74 所以，…………………………………………………………………………12 分 2 sin[,1] 2 x 故函数的值域为。 ……………………………………………………………14 分( )f x 5 [ 6, ] 2 19. (本题满分 15 分) 如图四边形 PABC 中，，，现把沿 AC 折起，90PACABC 2 3,4PAABACPAC 使 PA 与平面 ABC 成，设此时 P 在平面 ABC 上的投影为 O 点（O 与 B 在 AC 的同侧） ，60 （1）求证：平面 PAC；/ /OB （2）求二面角 P－BC－A 大小的正切值。 _* 解：（1）连 AO，因为平面 ABC，得。PO POCA 又因为，得平面 PAO，。………………………………………3 分CAPACA CAAO 因为是 PA 与平面 ABC 的角，。PAO60PAO 因为，得。2 3PA 3OA 在中，，故有，………………………………6 分OAB903060OAB OBOA 从而有，得平面 PAC。 ……………………………………………………8 分/ /OBAC/ /OB （2）过 O 作 BC 的垂线交 CB 延长线于 G 点，连 PG，则是二面角 P－BC－A 的平面角。PGO 在中，易知，Rt PGO 3 3 3, 2 POOG 所以…………………………15 分 2 3 tan 3 PO PGO OG 另解：（1）同上 （2）以 OB、OA、OP 为 x、y、z 轴，建立坐标系，可得 。(0, 3,0),(3,0,0),C(4, 3,0),(0,0,3)ABP 可求得平面 ABC 的法向量是，平面 PBC 的法向量是，所以二面角(0,0,1)m (1, 3, 3) P－BC－A 大小的余弦值是，即 321 cos 717 2 3 tan 3 20. (本题满分 15 分) 定义在 D 上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有，则称( )f xxD0M |( )|f xM 是 D 上的有界函数，其中 M 称为函数的上界。已知函数，( )f x( )f x 32 1 ( )1 3 f xxaxx （1）当时，求函数在 D 上的上界的最小值； 5 ,[ 1,3] 3 aD ( )f x （2）记函数，若函数在区间上是以 3 为上界的有界函数，求 / ( )( )g xfx 1 [( ) ] 2 x ygD[0,) 实数的取值范围。a _* 解：（1）因为，， 32 1 ( )1 3 f xxaxx 5 ,[ 1,3] 3 aD 得， ……………………………………………………………………1 /2 10 ( )10 3 fxxx 分 得或， ………………………………………………………………2 分3x 1 3 故可得函数在区间上单调递增，区间是单调递减。 ………………3 分( )f x 1 [ 1, ] 3 1 [ ,3] 3 因为， 194 ( 1)2,( ),(3)2 381 fff 所以 ， ……………………………………………………5 分 94 2( ) 81 f x ，故有上界，即上界的最小值是。……………………………………7 分|( )| 2f x 2M 2 （2）因为， …………………………………………………………8 分 2 ( )21g xxax 故有函数， 2 111 [( ) ][( ) ]2 ( )1 222 xxx yga 令，因为，得。 1 ( ) 2 x tx[0,)(0,1]t 因为函数在区间上是以 3 为上界的有界函数， 1 [( ) ] 2 x ygx[0,) 得在区间上恒成立 ，|( )| 3g t (0,1]t 即 ，……………………………………………………………………11 分 2 3213tat 得在区间上恒成立。 ………………………………………12 分 21 22 tt a tt (0,1]t 记 ， 21 ( ),q(t) 22 tt p t tt 当时，单调递增，(0,1]t 2 ( ) 2 t p t t 所以；单调递减，， max 5 ( ) 2 p t 1 q( ) 2 t t t min 1 ( ) 2 q t 所以实数的取值范围是。 ……………………………………………15 分a 51 22 a （另解：利用函数的最值求解。 2 (t)21(01)gtatt 当时，函数在区间上单调递增，0a (t)g(0,1] 所以只要 ，解得 ，所以； (1)223 (0)13 ga g 1 2 a 1 0 2 a _* 当时，函数在区间上单调递减，在区间 单调递增，10a (t)g(0,a][,1]a 所以只要 ，解得 ，所以； 2 (1)223 (0)13 ()13 ga g gaa 1 2 2 a 10a 当时，函数在区间上单调递减，1a (t)g(0,1] 所以只要 ，解得 ，所以 (1)223 (0)13 ga g 5 2 a 5 1 2 a 综上可知，实数的取值范围是）a 51 22 a 21. (本题满分 15 分) 椭圆的离心率为，左焦点 F 到直线 ：的距离为，圆 G： 22 22 1(0) xy ab ab 1 3 l9x 10 ， 22 (1)1xy （1）求椭圆的方程； （2）若 P 是椭圆上任意一点，EF 为圆 N：的任一直径，求的取值范围； 22 (1)4xyPE PF （3）是否存在以椭圆上点 M 为圆心的圆 M，使得圆 M 上任意一点 N 作圆 G 的切线，切点为 T，都 满足？若存在，求出圆 M 的方程；若不存在，请说明理由。 || 2 || NF NT 解：（1） ………………………………………………………………3 分 22 1 98 xy （2）， 2 22222 81 1(1)1(1)(8) 1(3)1 93 PE PFPNxyxxx 因为 ，所以，即的取值范围是。…………8 分33x [3,15]PE PF PE PF [3,15] （3）设圆 M，其中， 222 ()()(0)xmynrr 22 1 98 mn 则。 ………………………………………………10 分 22222 22xymxnymnr 由于，则， ………………………………12 分 || 2 || NF NT 2222 (1)2[(1)1]xyxy 即，代入， 22 610 xyx 22222 22xymxnymnr 得对圆 M 上任意点 N 恒成立。 222 2(3)210mxnymnr _* 只要使，即， 222 30 0 1 m n rmn 3 0 10 m n r 经检验满足，故存在符合条件的圆，它的方程是。 ……15 分 22 1 98 mn 22 (3)10 xy 22. (本题满分 15 分)已知数列满足，{} n a 2 11 1 1, 8 nn aaam (1)若数列是常数列，求 m 的值；{} n a （2）当时，求证：；1m 1nn aa （3）求最大的正数，使得对一切整数 n 恒成立，并证明你的结论。m4 n a 解：（1）若数列是常数列，则，[来源:Z#xx#k.Com]{} n a 2 21 11 1 88 aamm 得。显然，当时，有。 …………………………………………3 分 7 8 m 7 8 m 1 n a （2）由条件得，得。………………5 分 2 2111 17 ()0 88 aaamam 21 aa 又因为，， 2 1 1 8 nn aam 2 21 1 8 nn aam 两式相减得。 ……………………7 分 22 21111 11 ()()() 88 nnnnnnnn aaaaaaaa 显然有 ，所以与同号，而，所以，从而有0 n a 21nn aa 1nn aa 21 0aa 1 0 nn aa 。…………………………………………………………………………………………9 分 1nn aa （3）因为， …………………10 分 22 1 11 (4)22 88 kkkkk aaaamamm 所以 。 1211 ()()1 (1)(2) nnn aaaaaanm 这说明，当时，越来越大，显然不可能满足。2m n a4 n a 所以要使得对一切整数 n 恒成立，只可能。…………………………………12 分4 n a 2m 下面证明当时，恒成立。用数学归纳法证明：2m 4 n a 当时，显然成立。1n 1 1a 假设当时成立，即，nk4 k a 则当时，成立。1nk 22 1 11 2424 88 kk aa _* 由上可知对一切正整数 n 恒成立。4 n a 因此，正数 m 的最大值是 2. …………………………………………………15 分 数学第 21 题第二问中的 EF 改为 AB，N 改为 G 数学第 21 题第二问的参考答案为两个（如图） ，无论哪个都判定为正确。答案中的 E、F、N 无论用 什么其他字母代替也都判定为正确。
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