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1、-正弦定理典型例题与知识点-第 5 页正弦定理教学重点：正弦定理教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用,边角转化。多解问题1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即= 2. 三角形面积公式 在任意斜ABC当中SABC=3.正弦定理的推论：=2R（R为ABC外接圆半径）4.正弦定理解三角形1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角；2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。3）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:（多解情况）若A为锐角时:若A为直角或钝角时:1、已知中，则角等于 ( D)A B C D2、ABC的内角A、B、C所对的边分别为a
2、、b、c，若sinA=，b=sinB，则a等于( D )A3 B C D1. 在中，若，则一定是( )A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、等腰或直角三角形解析： 3.在ABC中，C=，则的最大值是_.解析 在ABC中，C=， ，时，取得最大值。4. 若中，则角C的大小是_解析ABC中，已知，试判断ABC的形状。解：由正弦定理得：，所以由可得：，即：。又已知，所以，所以，即，因而。故由得：，。所以，ABC为等边三角形。在中，是成立的 ( C ) 必要不充分条件 充分不必要条件充要条件 既不充分也不必要条件1.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=，b=，B=120,则
3、 a等于（ ）A.B.2C.D.答案 DA.ABC中，a=7，b=14，A=30,有两解B.ABC中，a=30,b=25,A=150，有一解C.ABC中，a=6,b=9，A=45，有两解D.ABC中，b=9,c=10,B=60,无解答案 B4. 在ABC中，若2cosBsinA=sinC,则ABC一定是（ ）A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形D.等边三角形答案 B10. 在ABC中，已知a=,b=,B=45,求A、C和c.解 B=4590且asinBba,ABC有两解.由正弦定理得sinA= =,则A为60或120.当A=60时，C=180-(A+B)=75,c=.当A=120
4、时，C=180-(A+B)=15,c=.故在ABC中，A=60,C=75,c=或A=120,C=15,c=.12. 在ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.解 方法一 已知等式可化为a2sin（A-B）-sin（A+B）=b2-sin（A+B）-sin(A-B)2a2cosAsinB=2b2cosBsinA由正弦定理可知上式可化为：sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinAsinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0sin2A=sin2B,由02A,2B2得2A=2B
5、或2A=-2B,即A=B或A=-B,ABC为等腰或直角三角形.方法二 同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcosB由正、余弦定理,可得a2b= b2a a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0a=b或a2+b2=c2ABC为等腰或直角三角形.2在ABC中，已知B45，c2，b，则A等于()A15 B75 C105 D75或15解析：根据正弦定理 ，sin C.C60或C120，因此A75或A15.答案：D例1已知a、b为ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且，求 的值.解：(这是角的关系)， (这是边的关系)于是，由合比定理得例2已知ABC中，三边a、b、c所对的角分别是A、B、C，且a、b、c成等差数列求证：sinAsinC2sinB证明：a、b、c成等差数列，ac2b(这是边的关系)又将、代入，得整理得sinAsinC2sinB(这是角的关系