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1、-二次函数的存在性问题(相似三角形的存在性问题)-第 8 页二次函数的存在性问题（相似三角形）1、已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。(1)求抛物线的解析式；(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；AABBOOxxyy图图(3)连接OA、AB，如图，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得OBP与OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。2、设抛物线与x轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m，0)，与y轴交于点C.且ACB=90 (1)求m的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(
2、1，n )在抛物线上，过点A的直线交抛物线于另一点E若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与AEB相似，求点P的坐标(3)在(2)的条件下，BDP的外接圆半径等于_解：(1)令x=0，得y=2 C(0，一2)ACB=90，COAB, AOC COB,OAOB=OC2；OB= m=43、已知抛物线经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点.（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点B的直线与抛物线相交于点C（2，m），请求出OBC的面积S的值.（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC
3、于点E. 直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED（如图），是否存在点P，使得OCD与CPE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）由题意得： 解得故抛物线的函数关系式为（2）在抛物线上， 点坐标为（2，6），、C在直线上 解得直线BC的解析式为设BC与x轴交于点G，则G的坐标为（4，0）（3）存在P，使得 设P， 故若要，则要或 即或解得或又在抛物线上，或解得或 故P点坐标为和4、如图，抛物线与轴的交点为直线与轴交于，与轴交于若两点在直线上，且，为线段的中点，为斜边上的高（1）的长度等于 ； ， （2）是否存在实数，使得抛物线上有一点，满足以为顶点的三角形与相似？
4、若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的点（简要说明理由）；并进一步探索对符合条件的每一个点，直线与直线的交点是否总满足，写出探索过程解：（1）；，（2）设存在实数，使抛物线上有一点，满足以为顶点的三角形与等腰直角相似以为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以为直角边的等腰直角三角形，另一类是以为斜边的等腰直角三角形若为等腰直角三角形的直角边，则由抛物线得：，的坐标为把代入抛物线解析式，得抛物线解析式为即若为等腰直角三角形的斜边，则，的坐标为把代入抛物线解析式，得抛物线解析式为，即当时，在抛物线上存在一点
5、满足条件，如果此抛物线上还有满足条件的点，不妨设为点，那么只有可能是以为斜边的等腰直角三角形，由此得，显然不在抛物线上，故抛物线上没有符合条件的其他的点当时，同理可得抛物线上没有符合条件的其他的点当的坐标为，对应的抛物线解析式为时，和都是等腰直角三角形，又，总满足当的坐标为，对应的抛物线解析式为时，同理可证得：，总满足5、如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M，使MOB的面积是AOB面积的3倍；（3）连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使OBN与OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由解：
6、（1）由题意可设抛物线的解析式为 抛物线过原点 抛物线的解析式为 即. yxOABENA（2）AOB与MOB同底不等高 又SMOB=3 SAOB MOB的高是AOB高的3倍 即点M的纵坐标是 解得 ，（3）由抛物线的对称性可知：AO=AB若OBN与OAB相似， 必须有， 显然 直线ON的解析式为， 由，得， 过N作NEx轴，垂足为E. 在RtBEN中，BE=2，NE=3， 又OB=4 NBOBBONBNO OBN与OAB不相似，同理说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N点.故在抛物线上不存在N点，使得OBN与OAB相似6、如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以
7、CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CMCEEO，再以CM、CO为边作矩形CMNO.(1)试比较EO、EC的大小，并说明理由；(2)令，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由；(3)在(2)的条件下，若CO1，CE，Q为AE上一点且QF，抛物线ymx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式.(4)在(3)的条件下，若抛物线ymx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与AEF相似?若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在，请说明理由。解（1）EOEC，理由如下：由折叠知，EO=EF，在RtEFC中，
8、EF为斜边，EFEC， 故EOEC （2）m为定值。S四边形CFGH=CF2=EF2EC2=EO2EC2=(EO+EC)(EOEC)=CO(EOEC)S四边形CMNO=CMCO=|CEEO|CO=(EOEC) CO （3）CO=1， EF=EO= cosFEC= FEC=60， EFQ为等边三角形， 作QIEO于I，EI=，IQ= IO= Q点坐标为 抛物线y=mx2+bx+c过点C(0，1)， Q ，m=1，可求得，c=1 抛物线解析式为 （4）由（3）， 当时，AB P点坐标为 BP=AO 方法1：若PBK与AEF相似，而AEFAEO，则分情况如下：时， K点坐标为或；时，K点坐标为或 故
9、直线KP与y轴交点T的坐标为 方法2：若BPK与AEF相似，由（3）得：BPK=30或60，过P作PRy轴于R，则RTP=60或30当RTP=30时， 当RTP=60时，7、如图，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴相交于点连结两点的坐标分别为、，且当和时二次函数的函数值相等（1）求实数的值；（2）若点同时从点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为秒时，连结，将沿翻折，点恰好落在边上的处，求的值及点的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以为项点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说
10、明理由8、已知：在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴于A、B两点，交轴于点C，且对称轴为直线（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若点P（0，t）是轴上的一个动点，请进行如下探究：探究一：如图1，设PAD的面积为S，令WtS，当0t4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与RtAOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由yxOCBADMP图1解：（1）抛物线（）的对称轴为直线，（2）探究一：当时，有最大值抛物线交轴于两点，交轴于点，当时，作轴于，则 当时，有最大值，探究二：存在分三种情况
11、：当时，作轴于，则，轴，轴，此时，又因为， 当时，存在点，使，此时点的坐标为（0，2）当时，则，与不相似，此时点不存在当时，以为直径作，则的半径，圆心到轴的距离，与轴相离不存在点，使综上所述，只存在一点使与相似9、矩形在平面直角坐标系中位置如图13所示，两点的坐标分别为，直线与边相交于点（1）求点的坐标；（2）若抛物线经过点，试确定此抛物线的表达式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线交于点，点为对称轴上一动点，以为顶点的三角形与相似，求符合条件的点的坐标解：（1）点的坐标为（2）抛物线的表达式为（3）抛物线的对称轴与轴的交点符合条件抛物线的对称轴，点的坐标为过点作的垂线交抛物线的对称轴于点对称轴平行于轴，点也符合条件，点在第一象限，点的坐标为，符合条件的点有两个，分别是，