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1、-机械能复习专题-第 13 页专题五 机械能机械能专题复习解题方法机械能方面的知识是高中物理重点内容之一，对于“功能”方面的问题分析常用方法归纳如下：一、“四法”求力做的功要点提示:在计算功是一般有以下四种方法：1.公式法： ，注意F为恒力，S为相对地面的位移. 或由公式W=Pt求，不论力F是恒力还是变力，只涉及功率和时间，利用W=Pt来求. 2.动能定理法：合外力的功等于物体的动能变化，3.功能关系法：涉及多种能量形势的情况，已知能量的变化，求某变力的功4.机械能守恒法：从机械能发生变化原因列方程例1汽车发动机的额定功率是60kW，汽车质量是5t，当汽车在水平路面上行驶时，设汽车所受的阻力是
2、车重的倍，若汽车从静止开始保持以1m/s2的加速度作匀加速直线运动，取g=10m/s2.试问：这一过程能维持多长时间？ 在该过程中机车克服摩擦力做了多少功？分析：此类问题关键是发动机的功率是否达到额定功率，若在额定功率下起动，则一定是交加速运动，因为牵引力随速度的增大而减小求解时不能用匀变速运动的规律来解特别注意匀加速起动时，牵引力恒定当功率随速度增至预定功率时的速度（匀加速结束时的速度），并不是车行的最大速度此后，车仍要在额定功率下做加速度减小的加速运动（这阶段类同于额定功率起动）直至a=0时速度达到最大解： 机车所受的滑动摩擦力为：f = =0.1500010 = 5000N 设机车的牵引
3、力为F，由牛顿第二定律得：F-fma即：F=ma+f=50001+5000= 10000N由P = Fv可得机车所能达到的最大速度：v=P/F=60000/10000 = 6m/s由v = at 可得机车在这一过程维持的时间为：t=v/a=6/1 = 6 s 下面通过几种方法来求在该过程中机车克服摩擦力做的功：方法1根据功的定义求机车在此过程中通过的位移为：=18m摩擦力做的功为：Wf=fs=500018=90000J方法2根据动能定理求由动能定理可得：，由此可得：=90000J方法3根据能的转化与守恒求机车的牵引力所做的功有两个去向，一部分转化为机车的动能，另一部分转化为克服摩擦力做的功，根
4、据能的转话与守恒可得：=90000J方法4根据公式W=Pt求在此过程中，机车所做的总功为：W=Pt=600006=360000J根据能的转话与守恒可得：=90000J点评：WFscos是用来计算恒力的功，若是计算变力作的功，常用的思维方法有：通过将变力转化为恒力，再用WFscos计算；根据功和能关系求变力的功如根据势能的变化求对应的力做的功，根据动能定理求变力做的功；根据功率恒定，求变力的功，W=Pt.。图1例2. 如图1所示，一个质量m=2kg的物体，受到与水平方向成37角斜向上方的力=10N作用，在水平地面上移动的距离L=2m,物体与地面间的滑动摩擦力，求外力对物体所做的总功。分析：物体物
5、体的受力分析如图2所示：物体受重力G、支持力、拉力和滑动摩擦力四个力的作用，在这四个力中图2解法1：四个力在水平方向的合力：F合=F1cos370F2W合=F合解法2：为别求各个力对物体做的功拉力对物体所做的功为W1=F1L cos370=16J摩擦力对物体所做的功为W2=F2L cos1800重力G和支持力FN对物体不做功外力对物体所做的总功点评：求多个力做的总功的方法：一是先用平行四边形定则求出合外力，再根据WF合scos计算功。是合外力与位移S间的夹角；二是先分别求各个外力的功：W1F1 scos1，W2=F2scos2再求各个外力的功的代数和。即W=W1+W2+W3+使用此方法时，应特
6、别注意各个力做功的正负此方法优点是不用考虑各个力的作用时间，可同时，也可有先后。二、分析“功能问题”的三把利剑（一）机械能守恒定律要点提示:机械能守恒定律的表达式一般有两种：（1）系统初态的总机械能E1等于末态的总机械能E2：E1= E2，即 （2）系统减少的总重力势能等于系统增加的总动能，即-EP减=EK增 用式时，需规定零势能面，用式时则不需要一般来说，单个物体（除地球外）机械能守恒时用式，（用式也可），多个物体则一般用式。图3例3.如图3所示，质量均为m的小球A、B、C，用两根长为l的轻绳相连，置于高为h的光滑水平面上，lh，A球刚跨过桌边，若A球、B球相继下落着地后均不再反弹，求C球刚
7、离开桌边时的速度大小。分析：三个小球在下落过程中只有重力做功，则机械能守恒。本题可用机械能守恒定律的总量不变表达式E2=El和增量表达式EP=-EK分别给出解答，以利于分析比较掌握其各自的特点解法一：取地面为零势能面，设A球落地时速率为v1，从A球开始运动到落地的过程中，A、B、C三球组成的系统机械能守恒，有：解得设B球落地时速率为v2，从A球落地后到B球落地的过程中，B、C两球组成的系统机械能守恒，有：解得：此速度就是C球离开桌边时的速度。这是从守恒的角度列式，分别写出系统的初末状态的动能和势能，再列方程求解，这种思路清晰明了，简单易行，需要注意的是能量要一一弄清，不能丢三落四。解法二：在A
8、球落地的过程中，系统减少的势能为Ep减=mgh，系统增加的动能为，由机械能守恒定律得：在B球落地的过程中，系统减少的势能为Ep减=mgh，系统增加的动能为，由机械能守恒定律得：解得：这是从势能和动能转化的角度列式，思路也很清晰，需要注意的是势能的减少或动能的增加是系统的，而不是某个物体的。点评：应用机械能守恒定律列方程的两条基本思路：（1）守恒观点：初态机械能等于末态机械能。即Ek1+Ep1=Ek2+Ep2；（2）转化观点：动能（或势能）的减少量等于势能（或动能）的增加量。即Ek1-Ek2=Ep2-Ep1 或 Ep1-Ep2=Ek2-Ek1；另外在利用机械能守恒定律处理多过过程的运动问题时，一
9、定要找到前一个过程与紧更的下一过程的桥梁，这个桥梁就是前一个过程的末速度和紧更的下一过程的初速度。图4例3.如图4所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为的足够长的光滑斜面(斜面体固定不动)。AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为L的均匀柔软链条开始时静止的放在ABC面上，其一端D至B的距离为La。现自由释放链条，则： 链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由； 链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？解：链条机械能守恒。因为斜面是光滑的，只有重力做功，符合机械能守恒的条件。图5 D端刚刚滑到B点时，其状态图如图5所示。设链条质量为m：始末状态的重力势能变化可认为是由La段下降高度
10、h引起的，即： 而该部分的质量为：即重力势能变化量为：因为软链的初速度为零，所以有：由机械能守恒定律Ep减=Ek增得：即：点评：象液柱、绳、链条这类物体不能被看做质点，由于发生形变，其重心位置对物体来说，不是固定的，能否确定其重心的位置是解决这类问题的关键此题初态的重心位置不在滑轮的顶点，由于滑轮很小，可视作对折来求重心，至于零势能参考面可任意选取，但常以系统初或末态重心位置为参考面（二）功能关系要点提示: 功能关系的几种具体表现形式及其应用如下：（1）合外力的功等于动能变化： W合外外=Ek，这就是动能定理对动能定理的理解要点：.动能定理的公式是标量式，v为物体相对于同一参照系的瞬时速度；.
11、适用于恒力做功，也适用于变力做功；力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用。只要求出在作用的过程中各力所做功的总和即可；.若物体运动过程中包含几个不同的过程，应用动能定理时可以分段考虑，也可以将全过程视为一个整体来考虑. 例5.如图6所示，AB与CD为两个对称斜面，其上部足够长，下部分别与一个光滑的圆弧面的两端相切，圆弧圆心角为120，半径R为，一个物体在离弧底E高度为h=3.0m处，以初速沿斜面运动。若物体与两斜面的动摩擦因数为，则物体在两斜面上（不包括圆弧部分）一共能走多长路程？g=10m/s2。图6分析：由几何知识可知，斜面的倾角为=60，由于物体在斜面上所受到的滑动摩擦力小
12、于重力沿斜面的分力（mgcos60mgsin60），所以物体不能停留在斜面上，物体在斜面上滑动时，由于摩擦力做功，使物体的机械能逐渐减小，物体滑到斜面上的高度逐渐降低，直到物体再也滑不到斜面上为止，最终物体将在B、C间往复运动。解：设物体在斜面上运动的总路程为s，则滑动摩擦力所做的总功为-mgscos60，末状态选为B（或C），此时物体速度为零，对全过程由动能定理得：mgh-R(1-cos60)- mgscos60=0-mv02.解得物体在斜面上通过的总路程为s=280m点评：动能定理不仅适用于一个单一的运动过程，也适用于由几个连续进行的不同过程组成的全过程，当物体参与两个以上的运动过程时，既
13、可分阶段分别列式计算求解，也可以对全过程列方程求解，且对全过程列方程更方便，简单；若物体在外力F大小不变而方向改变的条件下作往复运动，此时公式中的S是指物体在F作用下通过的路程。（2）非重力做的功与机械能的变化：W其=E机，（W其表示除重力以外的其它力做的功，E机为变化的机械能），若W其0而只有重力做功，就是机械能守恒定律了. 图7要点提示:重力之外的力做功过程是机械能和其他形式的能相互转化的过程，重力之外的力做的功是机械能与其他形式的能量转化的量度，即WG外=E2-E1。例6. 如图7所示，一长为l的轻杆，其左端与右端分别固定着质量都是m的A、B两小球，杆可绕离左端处的水平轴O无摩擦转动。开
14、始时，将杆拉至水平状态。求杆由静止释放至A球转至最高点的过程中轻杆对A球所做的功。分析：以A球为研究对象，A球转至最高点的过程中，A球的重力势能和动能都增加，所以OA杆对A球做正功，球A机械能增加，A球增加的机械能等于杆对它做的功。解：设A球在最高点的速度为vA，杆对A球做功为WF，对A球应用动能定理有：再以A、B两球为系统，由于该系统没有发生机械能与其他形式能的转化，所以A、B组成的系统机械能守恒。以B球达到的最低点所处的水平面为零势能参考面，根据机械能守恒定律可得： 由于A、B球的角速度总是相等的，所以有vB=3vA 联立式解得点评：本题中若单独以A球或B球为研究对象，那么在转动的过程中，
15、机械能是不守恒的，因为杆对其中的任一个球都要做功；若以两球为一个系统研究的话，系统内只用重力做功，因此系统的机械能是守恒的。（3）弹力做功与弹性势能的变化：WN= -EP弹簧 .要点提示:当弹簧的弹力对外界做正功时，弹簧的弹性势能减小，弹性势能变成其他形式的能；当弹簧的弹力对外做负功时，弹簧的弹性势能增大，其他形式的能转化为弹簧的弹性势能，这一点与重力做功跟重力势能变化的关系相似。图8例7.如图8所示，一个物体以速度v0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩，在此过程中以下说法正确的是（ ）A. 物体对弹簧做的功与弹簧的压缩量成正比B. 物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功
16、不相等C. 弹力做正功，弹簧的弹性势能减小D. 弹簧的弹力做负功，弹性势能增加分析：物体在压缩弹簧的过程中，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，物体的动能减少。解：由功的计算公式W=Fscos知，恒力做功时，做功的多少与物体的位移成正比，而弹簧对物体的弹力是一个变力F=kx，所以A选项不正确。弹簧开始被压缩时弹力小，弹力做的功也少，弹簧的压缩量变大时，物体移动相同的距离做的功多，故B正确。物体压缩弹簧的过程，弹簧的弹力与弹力作用点的位移方向相反，所以弹力做负功，弹簧的压缩量增大，弹性势能增大，故C选项错误，D选项正确。答案：B、D点评：在分析弹簧弹力做功的问题时，除了明确弹力的功与弹性势能的
17、变化关系外，还要明确弹簧的弹力在做功过程中是一个变力做功的过程。（4）摩擦力总功与系统内能的增加：f s=Q . (s是两个接触面相对滑动的距离或相对路程.)要点提示:一对滑动摩擦力做功的代数和必不为零，且等于滑动摩擦力的大小与两物体间相对位移的乘积，即，所以系统因摩擦而损失的机械能等于滑动摩擦力的大小与两物体间的相对位移的乘积，这就是摩擦力做的功，也是系统内能的增加：f s=Q。当物体做往复运动时公式f s=Q中的s是指两物体之间的相对路出。例7.如图9所示，质量为m的小铁块A以水平速度v0冲上质量为M、长为、置于光滑水平面C上的木板B，正好不从木板上掉下，已知A、B间的动摩擦因数为，此时木
18、板对地位移为s，求这一过程中：(1)木板增加的动能；(2)小铁块减少的动能；(3)系统机械能的减少量；(4)系统产生的热量. 分析：在此过程中A和B所受摩擦力分别为f1、f2，且f1=f2=mg，A在f1的作用下做匀减速直线运动，B在f2的作用下做匀加速直线运动；当A滑动到B的右端时，A、B达到一样的速度v，就正好不掉下.设此时B的位移为s，则A的位移为s+l，如图10所示。解：（1）对B根据动能定理得：从上式可知B增加的动能为：EKB=mgs这就是摩擦力f2对B做的功：Wf2=EKB=mgs （2）滑动摩擦力f1对小铁块A做负功，根据动能定理得可得：EKA=-mg(s+l ) 即小铁块减少的
19、动能为即 上式为摩擦力对校铁块做的功： （3）系统机械能的减少量：（4）m、M相对位移为，根据能的转化与守恒可知系统减少的动能转化为系统产生的热量：Q=mgsl 点评：由两式可以看出一对滑动摩擦力做功的代数和必不为零，且等于滑动摩擦力的大小与两物体间的相对位移的乘积；系统机械能的减少刚好等于滑动摩擦力与它们之间相对位移的乘积，也等于系统之间产生的热量。（三）能量的转化与守恒定律要点提示:能量的转化与守恒定律应从下面两方面去理解：（1）某种形式的能减少，一定存在其它形式的能增加，且减少量和增加量一定相等；（2）某个物体的能量减少，一定存在其它物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。以上两点也是
20、我们列能量守恒定律方程式的两条基本思路图11例8.如图11所示，A B和C D为半径为R的1/4圆弧形光滑轨道，B C为一段长为L的水平轨道质量为m的物块从轨道A端由静止释放，若物体与水平轨道B C间的动摩擦因数为，以物块和轨道为一个系统，则系统最后获得的内能为( )A2mgR BmgRCmgL D0分析：物块在圆弧部分没有能量消耗，只用在水平方向由于摩擦力做功使物块的能量减少，使得物体开始的能量最后全部转化为内能这个过程满足能量转化与守恒定律。解：物块在光滑的圆弧轨道AB、CD两段机械能守恒，在BC段由于摩擦力的存在，使物块的动能转化为内能，最后物块将停在BC段上物体开始的能量为mgR，最后
21、这部分能量全部转化为内能Q根据能量的转化与守恒定律有：Q=mgR。答案：B评点：用能量守恒定律解题的关键是：确定研究的对象和范围，分析在研究的过程中有多少种不同形式的能发生变化；找出减少的能并求总的减少量E减，找出增加的能并求总的增加量E增；由能量守恒列式，E减=E增。二、经典再现（一）、功的定义及是否做功的判断1.运动员在百米赛跑中，主要有起跑加速、途中匀速和冲刺三个阶段，运动员的脚和地面间不会发生相对滑动，以下说法正确的是（ ）cA.加速阶段地面对人的摩擦力做正功，人的动能增加B.匀速阶段人做正功，地面对人的摩擦力做负功，人的动能不变C.由于人的脚与地面间不发生相对滑动，所以不论加速还是匀
22、速，地面对人的摩擦力始终不对人做功D.无论加速还是匀速阶段，地面对人的摩擦力始终做负功2某人从一楼匀速率上到三楼的过程中，下述说法正确的是cd A地板对人的支持力做功等于人的重力势能的增加 B地板对人的支持力做功等于人的机械能的增加 C地板对人做的功为零 D人克服重力做的功等于其重力势能的增加3.如图所示，木板OA水平放置，长为L，在A处放置一个质量为m的物体，现饶O点缓慢抬高到A端，直到当木板转到与水平面成角时停止转动，这时物体受到一个微小的干扰便开始缓慢匀速下滑，物体又回到O点静止，在整个过程中：（ ）acOAA4如图所示，物体A的质量为m，的右端连接一个轻弹簧，弹簧原长为，劲度系数为，物
23、体静止在粗糙的水平面上，与地面的动摩擦因数为，与地面间的最大静摩擦力可以按滑动摩擦力计算，。现将弹簧的右端点缓慢的向右拉动，使点向右移动，移动的距离为，此时，物体也已在地面上移动了一段距离，则下列说法正确的是（d）A B拉弹簧的力对系统作功为系统的内能增加系统的机械能增加系统增加的机械能与增加的内能之和小于FmM5长度为L，质量为M的木板，放在光滑的水平地面上，另有一质量为m，可视为质点的小物块，通过一根不计质量的轻绳绕过定滑轮与M相连，如图所示，小木块与木板间的动摩擦因数为，开始时木块在木板左端，现用水平向右的力将m向右匀速拉到木板的右端，拉力做功为（ a ）A B 2 C D （M+）（二
24、）正功、负功的判断，6如图所示，一物体在水平恒力作用下沿光滑水平面做曲线运动，当物体从M点运动到N点时，其速度方向恰好改变了900，则物体从M点到N点的运动过程中，物体的动能将（c）MvNNvM不断增大不断减小先减小后增大先增大后减小7. 如图，站在汽车上的人用手推车的力为F，脚对车向后的摩擦力为，当车向前运动时（人与车始终保持相对静止），下列说法中正确的是acA、当车匀速运动时，F和对车做功的代数和为零B、当车加速运动时，F和对车做的总功为负功C、当车减速运动时，F和对车做的总功为正功D、不管车做何种运动，F和对车做功的总功率都为零（三）、功能关系8如图所示，由理想电动机带动的传送带以速度保
25、持水平方向的匀速转动，传送带把处的无初速度放入的一个工件（其质量为）运送到处。、之间的距离为（足够长）。那么该电动机每传送完这样一个工件多消耗的电能为（d）A 9如图所示，一轻弹簧左端固定在长木板的左端，右端与小木块相连，且、及与地面间接触光滑。开始时，与均静止，现同时对、施加等大反向的水平恒力和。在两物体开始运动以后的整个运动过程中，对、和弹簧组成的系统（整个过程弹簧形变不超过其弹性限度），正确的说法是（d）由于、等大反向，故系统机械能守恒由于、分别对、做正功，故系统的动能不断增加由于、分别对、做正功，故系统的机械能不断增加当弹簧弹力大小与、大小相等时，、的动能最大H10. 如图所示，固定在
26、地面上的半圆轨道直径ab水平，质点P从a点正上方高H处自由下落，经过轨道后从b点冲出竖直上抛，上升的最大高度为2H/3，空气阻力不计，当质点下落再经过轨道a点冲出时，能上升的最大高度h为（ d ）Ah BhCh Dh FF11. 如图所示，在倾角为的斜面上第一次用平行于斜面向上的恒力F向上拉物体，第二次用平行于斜面向下同样大小的恒力F向下拉同一物体，物体沿斜面移动的距离两次均为s，则两次拉动过程中（ abd ）12木块在水平恒定的拉力F作用下，由静止开始在水平路面上前进s，随即撤销此恒定的拉力，接着又前进了2s才停下来。设运动全过程中路面情况相同，则木块在运动中获得动 能的最大值为( d )A
27、BCFsD13如图所示，质量为M、长度为l的小车静止在光滑的水平面上，质量为m的小物块（可视为质点）放在小车的最左端，用水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动，物块和小车之间的摩擦力为f。物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为s，在这个过程中，以下结论正确的是（abc ）FmMA.物块到达小车最右端时具有的动能为（F-f）（l+s）B. 物块到达小车最右端时，小车具有的动能为fsC.物块克服摩擦力所做的功为f（l+s）D物块和小车增加的机械能为FsFBA 14如图所示，一块长木板B放在光滑水平地面上。在B上放一个木块A，现以恒定的水平力F拉B。由于A、B间摩擦力的作用，A
28、将在B上滑动，以地面为参照物，A、B都向前移动一段距离，在此过程中（ bd ）A外力F做功等于系统动能增量BB对A的摩擦力所做的功等于A的动能增量CA对B的摩擦力所做的功等于B对A的摩擦力所做的功D外力F对B所做的功等于B的动能增量与B克服摩擦力所做功之和（四）、计算题1如图所示，质量8.0的小车放在光滑的水平面上，给小车施加一水平向右的恒力F=8.0N。当向右运动到速度达到v=1.5m/s时，有一物块以水平向左的初速度v0滑上小车的右端。小物块的质量m=2.0kg，物块与小车表面的动摩擦因数=0.20。设小车足够长，重力加速度g取10m/s。求：（） 物块从滑上小车开始，经过多长时间速度减小
29、为零；（） 物块在小车上相对小车滑动的过程中，物块相对地面的位移；（） 物块在小车上相对小车滑动的过程中，小车和物块组成的系统机械能变化了多少？1.（）（）（）J提示：系统增加的机械能等于增加的动能，即解析：（1）由牛顿第二定律得：=ma1 v0=a1t1联立得：t1（2）小车的加速度为a2，FMa2 a1t2v+a2(t1+t2) 得t2 在t1内物块位移s10.25m 方向向左 在t2内物块位移s21.36m 方向向右所以物块在小车上相对小车滑动的过程中，物块相对地面的位移ss2s1法二：s=v0(t1+t2) 取向右为正方向v01 2m/s2（3）系统增加的机械能等于增加的动能联立得J法
30、二：在达到相对静止前物块的位移为小车的位移为 其中t= t1t2 有功能关系知产生热能F对小车坐做的功联立得JOA 2(功能关系)如图所示，一根轻弹簧竖直放置在地面上，上端为O点。某人将质量为m的物块放在弹簧上端O处，使它缓缓下落到A处，放手后物块处于平衡状态，在此过程中物块克服人的作用力做功为W。如果将物块从距弹簧上端O点h高处释放，物块自由落下，落到弹簧上端O点后，继续下落将弹簧压缩，那么物块将弹簧压缩到A处时物块速度的大小是多少？解析：由动能定理得：第一过程：mgx0 W第二过程：mg(h+x)0联立得：Mm3如图，轻绳的一端挂一质量为M的物体，另一端挂以质量为m的环套在竖直固定的细杆上
31、，定滑轮与竖直细杆相距0.3m，将环拉到与滑轮，若不计一切阻力，（g取10m/s2）求：（1） 物体M与m的质量之比（2） 环下落0.3m时，环的速度v1和物体M的速度v2分别为多少？答案：M/m2/1，v1=0.72m/s，v24.某货场两站台A、B之间的水平传送装置如图所示，两站台与传送带处于同一水平面上，A、B之间的水平距离s04m（等于传送带的长度），传送带的运行速度v05m/s，方向如图，现将一质量m10kg的货物自A端由静止开始运送到B端，求摩擦力对货物做功的平均功率（已知货物与传送带之间的摩擦因数0.2，g10m/s2）解析：设运动过程中货物加速度为a，根据牛顿第二定律得=ma设达到B端时速度为v，所用时间为t，则 解得v4m/sv0 根据功能关系得Pt联立得：P40W思考：若物体在传送带上先加速后匀速，则求平均功率时应用物体运动的总时间还是只用加速时间？