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1、-中考专题-数与式-第 13 页科目：数学年级：初三教师：张立平第二学期第五周中考专题复习一数与式一、知识网络：1、实数2、实数的大小比较方法3、4、5、6、7、二、本周学习目标： 1理解相反数、绝对值、有理数、无理数、数轴的意义，知道实数与数轴上的点一一对应. 2.掌握实数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）；理解实数的运算律，能运用实数的运算解决简单的问题. 3.了解近似数与有效数字的概念；在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值,会用科学记数法表示数. 4.在现实情境中理解用字母表示数的意义,能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示.会求代数
2、式的值，会进行简单的整式混合运算. 会推导乘法公式,了解公式的几何背景，并能进行简单计算. 5. 会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）. 6. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算.三、命题热点： 1. 实数的有关概念历来是中考考查的基本内容，涉及相反数、绝对值、有理数、无理数、数轴等概念，多以填空、选择题的形式出现. 2. 灵活运用实数运算法则和运算律进行化简与混合运算是中考的常考内容. 3. 科学记数法和近似数、有效数字往往以解决实际问题为背景，有较强的应用性，是近几年考查的热点. 4. 因式分解主要考
3、查会用提公因式法、公式法进行分解，直接考查的题型以填空、选择为主. 5. 分式作为单独的知识进行考查，其难度在逐年下降，重点考查对分式概念的理解和基本运算.四、考点扫描：考点.实数1、实数的分类：实数2、实数和数轴上的点是一一对应的3、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数 若a、b互为相反数，则a+b=0， （a、b0）4、绝对值：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离5、近似数和有效数字:一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字. 注意：精确度的形式有两种：（1）精确到哪一
4、位数；（2）保留几个有效数字；一个数的近似数，常常要用科学记数法来表示.6、科学记数法：把一个数记成a10n的形式，其中1a10，这种记数法叫做科学记数法，在一个数的科学记数法中，10的指数比原数的整数位数少1.7、整数指数幂的运算： （a0） 负整指数幂的性质： 零整指数幂的性质： （a0）8、实数的开方运算：9、实数的混合运算顺序： 加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算，这三级运算的顺序是三、二、一.如果有括号的先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右依次进行运算.*10、无理数的错误认识：无限小数就是无理数如1414141(41 无限循环）；（2）带根号
5、的数是无理数如；（3）两个无理数的和、差、积、商也还是无理数，如都是无理数，但它们的积却是有理数；（4）无理数是无限不循环小数，所以无法在数轴上表示出来，这种说法错误，每一个无理数在数轴上都有一个唯一位置，如，我们可以用几何作图的方法在数轴上把它找出来，其他的无理数也是如此考点.整式1、代数式的有关概念(1)代数式是由运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子(2)求代数式的值的方法：化简求值，整体代人2、整式的有关概念(1)单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式(2)多项式：几个单项式的和，叫做多项式(3)多项式的降幂排列与升幂排列(4)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同
6、的项，叫做同类顷3、整式的运算(1)整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接整式加减的一般步骤是：(2)如果遇到括号按去括号法则先去括号：括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉。括号里各项都不变符号，括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉括号里各项都改变符号(3)合并同类项： 同类项的系数相加，所得的结果作为系数字母和字母的指数不变4、乘法公式(1).平方差公式:(2).完全平方公式: 5、因式分解(1).多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止(2).分解因式的常用方法有：提公因式法和运用公式
7、法考点.分式1分式：整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式注：（1）若B0，则有意义；（2）若B=0，则无意义；（2）若A=0且B0，则=0 2分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变3约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分4通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分5分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算6分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分
8、子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘7通分注意事项：（1）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；（2）易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉8分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的9对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值考点. 数的开方及二次根式1平方根和算术平方根 （1）一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根; （2）正数的正平方根叫做算术平方根; （3）算术平方根的符号表示法：
9、当a0时，表示a的算术平方根. =a= a（a0）， a（a0） 2立方根 （1）一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根. （2）一个数的n次方（n为整数，且n1）等于a，这个数就叫做a的n次方程. （3）正数a的正n次方根叫做a的n次算术根. 3二次根式 （1）式子（a0）叫做二次根式. （2）二次根式的性质：a0时，0，当a=0时，=0，即（a0）是一个非负数 （）2=a（a0）五、典型例题与分析： 【例1】32的相反数是() A、9B、9C、6D、6 解：A 【例2】实数m、n在数轴上的位置如图所示，则下列不等关系正确的 是（ ） （A）nm （B） n2m2 （C）n0m0 （D）
10、| n | m | 解：A 【例3】在实数的原有运算法则中我们补充定义新运算“”如下：当ab时，abb2；当ab时，aba则当x2时，(1x)x(3x)的值为 (“ ”和“”仍为实数运算中的乘号和减号)分析：由于12，所以(1x)x=12=2 ， 又32，所以(3x)=22.答案：2【点拨】1 若a、b两互为相反数，则和为0；2 涉及数轴知识的问题，注意数形结合;3 “定义新运算”的题目，要搞清运算规则,如“”不是“+”【例4】随着中国综合国力的提升，近年来全球学习汉语的人数不断增加，据报道，2005年海外学习汉语的学生的人数已达38200000人，用科学记数法表示为 人（保留3个有效数字）解
11、析：近似数和有效数是中考的一个重要内容，根据科学记数法定义知：382000003.82107保留3个有效数字。可写为3.82107.答案：填3.82107.【例5】某种感冒病毒的直径是0000 000 12米，用科学记数法表示为 米解析：由于0000 000 12左边第一个不是零的数字前有7个零，故 0.000 000 12= 答案： 【点拨】所谓科学记数法就是把一个数表示成的形式，其中，是整数，当时，等于的整数位数减去1；当时，是负数，它的相反那数等于的左边第1个有效数字前所有零的个数（包括小数点前面的那个零,千万不要漏数） 【例6】（2007年荆州市）有一个数值转换器，原来如下：当输入的x
12、为64时，输出的y是（ ） A、8 B、 C、 D、析解：本题通过数值转换器所给的计算程序来考察算术平方根、无理数的概念答案：B【例7】（2007年福春县）已知，则以x，y为两边长的等腰三角形的周长是 析解：由非负数性质，得x30，y60，解得x3，y6 由于腰与底指向不明，诱发分类讨论： 当3为腰时，三角形三边为3，3，6，因为3+36，所以这种情况不存在 当6为腰时，三角形三边为6，6，3，此时三角形的周长为21 【例8】(2007年浙江省) 当x=2，代数式的值为_解析： 这是一个代数式求值的基本问题, 理解2x表达的含义是2与x的积即可答案：当x=2时，=22-1=3. 【例9】（20
13、08大连市）下列运算中，结果正确的是 ( ) A B C D解析：本题主要考查同底数幂的乘除法和加减法，A中指数应该相加，B中指数应该相减，C中两项不是同类项，不能相加答案:D 【例10】(2007年邵阳市)已知是有理数，是无理数，请先化简下面的式子，再在相应的圆圈内选择你喜欢的数代入求值：解析：本题是一道答案不唯一的开放型创新设计题，只要先化简, 再按照要求选择适当的有理数和无理数代入求值即可例如：取=1, -3等等均可 【点拨】本题是考查学生的综合创新能力，它的结果很多，只要符合要求即可,但要注意的是,其结果与无关【例11】用砖砌成如图所示的墙，已知每块砖长一定，宽为b cm,则图中留出方
14、孔(图中阴影部分)的面积之和是多少？分析：求图中阴影部分的面积有两种方法：一种直接求，只要求出三个阴影部分小正方形的边长就可，其边长恰为每块砖的长与宽的差；另一种是间接求，三个阴影部分的面积等于墙的面积减去22块砖的面积，但也需求出砖的长才可求出.解：方法一(直接法)：设砖的长为x cm,根据题意，列方程得5x=3x+3b2x=3bx=b所以阴影部分每个小正方形的边长为bb=b(cm),阴影部分的面积为3(b)2=b2(cm2).方法二(间接法)：同方法一求出砖的长为b cm,整个墙的面积为S墙=(5b)(3b+b)=33b2(cm2)22块砖的面积为S砖=22bb=33b2(cm2)所以图中
15、留出方孔的面积S阴=33b233b2=b2(cm2) 【例12】分解因式：（2a+b）2-（a-2b）2. 分析：若把2a+b和a-2b视为整体，则原式可以看作两项，符合平方差公式的条件. 解： （2a+b）2-（a-2b）2 =2a+b+（a-2b）2a+b-（a-2b）=（3a-b）（a+3b）. 【例13】(2008年北京市)一组按规律排列的式子：，（），其中第7个式子是 ，第个式子是 （为正整数）解析：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出那些部分发生了变化，是按照什么规律变化的， 对于本题而言，有三处发生变化：分子、分母、分式的符号，其次是观察字
16、母指数的变化规律答案：、 【例14】(2008年深圳市)先化简代数式，然后选取一个合适的a值，代入求值 解析: 方法一： 原式方法二：原式取a1，得 原式5 答案不唯一如果求值这一步，取a2或2，则分式无意义数与式单元检测一、填空题：（每小题5分，共30分）1、 请写出你熟悉的两个无理数_2、 在数轴上，离原点距离等于3的数是_。3、 已知实数、b在数轴上的对应点如图所示，则+=_。abo4、 分解因式：mx2+2mx+m=_5、 用计算器探索：按一定规律排列的一组数：， ，如果从中选出若干个数，使它们的和大于0 .5，那么至少需选_个数。6、当x=时，代数式的值为零。二、选择题：（每小题5分
17、，共30分）7、我国自行研制的“神舟七号”载人飞船成功发射，并环绕地球飞行约590520千米，用科学记数法表示为（ ）A、59.052千米 B、 5.9052千米C、5.9052千米 D、5.9052千米8、一台电视机成本价为元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台实际售价为（ ）A、(1+25%)(1+70%)元 B、70%(1+25%)元C、(1+25%)(170%)元 D、(1+25%+70%)元 9、下列等式成立的是（ ）A、 += +b B、=C、= D、=b10、观察下列数表：1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 根据
18、数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的应为（ ）A、2n1 B、2n+1C、n21 D、n211、按下面的程序计算。若开始输入的值为x=3，则最后输出的结果是（ ）否是 计算的值100输出结果输入x12、今年春节期间，为了调查某一路口某时段的汽车流量，小明记录了10天同一时段通过该路口的汽车辆数，其中有2天是150辆，3天是145辆，5天是155辆。那么这10天在该时段通过该路口的汽车平均辆数为（ ）A 145 B 150 C 151 D 155三、解答题：(每小题8分,共40分)13、计算：+(3)14、请你先化简再选取一个使原式有意义而你又喜爱的数代入求值。15、某拖拉机开始耕地时油箱存
19、油40千克，耕地时间t与油箱剩油Q之间关系如下：时间t （小时）12345剩油Q（千克）3428221610写出时间t与剩测量Q的函数关系式。当Q为25千克时，t是多少？16、电灯的瓦数是 ，用t 小时的电量为度。如果平均每天用电5小时，使用一个15瓦的节能灯比使用一个60瓦灯泡（光线效果一样）每月（30天）可节约多少度电？17、(11分) 社会的信息化程度越来越高 , 计算机网络已进入普通百姓家 , 某市电信局对计算机拨号上网用户提供三种付费方式供用户选择( 每个用户只能选择其中一种付费方式 ) ; 甲种方式是按实际用时付费,每小时付信息费4元, 另加付电话费每小时1元2角 ; 乙种方式是月
20、包制, 每月付信息费100元 , 同样加付电话费每小时1元2角；丙种方式也是月包制 , 每月付信息费250元,但不必再另付电话话费。（1）设某户某月上网时间为t小时，试用t的代数式表示三种付费公式y ；（2）试判断哪种付费方式优惠；（3）小王为选择合适的付费方式，连续记录了7天中每天上网所花的时间(单位：分钟) ：第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天上网时间62403574276080根据以上结论，你认为小王应选哪种方式付费比较合适？并说明理由：参考答案一、填空题：1、，等2、33、bab4、m(x+1)25、76、2二、选择题：7、C 8、B 9、D 10、A 11、D 12、C13、1114、化简得2x1，当x=2时，原式=221=315、Q=406t，2.5小时16、6.75（度）17、(1) y(甲)=5.2t y(乙)=100+1.2t y(丙)=250 (2) 5.2t=100+1.2t t=25 250=100+1.2t t=125所以当每月上网低于25小时时，选择甲种付费方式优惠；当t=25小时时，甲乙付费一样，当25t125小时时，选择乙种付费方式适宜；当t=125小时时，乙、丙两种付费方式相同；当t125小时时，选择丙种付费方式合算。 (3)由表中数据知：该户这月上网时间约为：因为2527125所以小王应选择乙种方式付费较为合算。